Болат металының механикалық қасиеттерін зерттеу
Мазмұны
Кіріспе
I. Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері.
Деформация тензоры
Кернеу тензоры
Деформацияланудың термодинамикасы.
Гук заңы.
Біртекті деформациялар.
Температураның өзгерісіне байланысты деформация.
Изотропты денелердің тепе-теңдігінің теңдеулері.
Иілген пластинаның (табақшаның) энергиясы.
Пластинаның тепе-теңдігінің теңдеуі.
II. Металдардың серпімділік қасиетін анықтайтын шамалардың
арасындағы қатынастар.
2.1. Серпімділікті сипаттайтын негізгі шамалар.
2.2. Металдардың серпімділігі
2.3. Металл қорытпалардың серпімділік модулі.
2.4. Серпімділіктің ферромагнитті аномалиясы.
Қорытынды.
Әдебиеттер
Кіріспе
Зерттеу жұмысымыздың мақсаты – тұтас орта ретінде қарастырылатын қатты денелер механикасының серпімділік теориясын зерттеп, ол теорияның болат металының механикалық қасиеттерін анықтайтын тәжірибелерде жүзеге асырылуын қарастырып, нәтижесін есептеу. Мұнда, негізі болат металының механикалық қасиеттерін сипаттайтын деформациялар үшін Гук заңының орындалатындығын дәлелдеу.
Ғылыми – зерттеу жұмысымыздың өзектілігі – Егеменді еліміз, сүйікті Отанымыз Қазақстанда ірі құрылыстар мен өзгерістер жұмыс істеуде. Соған орай, композициялық- конструктуралық материалдарды – дербес жағдайда, болаттан жасалынатын бөлшектер мен қондырғыларды дайындауда, олардың механикалық қасиеттерін есептеудің үлкен практикалық маңызы бар.
Әсіресе, жасанды Жер серіктерін жасауда, жаңа ұшақтардың түрлерін шығаруда металдардан жасалынатын бөлшектердің (қозғалтқыштардың) температураға, қысымға тәуелділіктерін білудің, физика ғылымын жетілдіруде аса зор болашағы бар.
Болат металының механикалық қасиеттерін зерттеудің жаңалығы – болаттың сығу диаграммасы бойынша беріктік шарты және аққыштық шектері анықталды. Сонымен бірге бұрылу кезіндегі болаттың механикалық сипаттамасы алынды. Физикалық құралдарда, атап айтқанда, электротензометрлер көмегімен, металдардың кернеулері анықталып, нәтижесі теориялық есептеулермен салыстырылған.
Серпімділік теориясының негізгі теңдеулері.
Деформация тензоры.
Тұтас орта ретінде қарастырылатын қатты денелер механикасының мазмұны серпімділік теориясын құрайды. Қатты денелер түсірілген күштердің әсерінен, қандай да бір дәрежеде деформацияланады, яғни өзінің пішіні мен көлемін өзгертеді. Деформация деп дене бөлшектерінің бір-біріне қатысты ығысуын, сонымен бірге бөлшектердің орташа арақашықтықтарының өзгерісін айтады.
Дененің деформациясын математикалық сипаттау мына түрде орын алады.
Дененің әрбір нүктесінің орны қандайда бір координат жүйесінде оның r ⃗ радиус – векторымен анықталады. (r ⃗ векторының құраушылары x1=x; x2=y; x3=z). Дене деформацияланғанда оның барлық нүктесі бір-біріне қатысты ығысады. Дененің белгілі бір нүктесін алып қарастырайық: егер, деформацияланғанға дейінгі радиус – векторы r ⃗ болса, онда деформацияланған денеде радиус — векторының мәні басқаша r ⃗’ тең болады (құраушысы x_(i )^’). Деформация кезінде дененің нүктесінің ығысуы r ⃗’ — r ⃗ векторымен өрнектеледі; ол ығысуды U ⃗ деп белгілейміз:
U ⃗_i=x_i^’-x_i (1.1.1)
U ⃗ – векторы, деформация векторы деп аталады (немесе ығысу векторы). Ығысқан нүктенің x_(i )^’ координаттары сол нүктенің ығысқанға дейінгі хі координаттарының функциясы болып табылады. Сондықтан, деформация векторы U ⃗_i де хі координаттарының функциясы.
U ⃗ векторының хі координаттарының функциясы ретінде берілуі, дененің деформациясын толық анықтайды. Жоғарыда айтылғандай дененің деформациясы кезінде, оның нүктелерінің арақашықтығы өзгереді. Қандай да екі шексіз жақын нүктелерді қарастырайық. Егер олардың арасындағы деформациялануға дейінгі радиус – вектор dxi болса , онда деформацияланған денеде сол екі нүктелердің арасындағы радиус – вектор 〖dx〗_i^’=〖dx〗_i+〖dU〗_i тең болады.
Деформациялануға дейін нүктелердің арақашықтығы dl=√(〖dx〗_1^2+〖dx〗_2^2+〖dx〗_3^2 ), ал деформацияланғаннан кейінгі арақашықтық 〖dl〗^’=√(〖dx〗_1^’2+〖dx〗_2^’2+〖dx〗_3^’2 ) тең.
Ереже бойынша
〖 dl〗^2=〖dx〗_i^2 〖dl〗^’2=〖dx〗_i^’2=(〖dx〗_i+〖dU〗_i )^2
〖dU〗_i=〖∂U〗_i/〖∂x〗_k 〖dx〗_k 〖dl〗^’2-ні мына түрде жазамыз
〖dl〗^’2=〖dl〗^2+2 〖∂U〗_i/〖∂x〗_k 〖dx〗_i 〖dx〗_k+〖∂U〗_i/〖∂x〗_k 〖∂U〗_i/〖∂x〗_i 〖dx〗_k 〖dx〗_i (1.1.1а)
теңдіктің оң жағындағы екінші мүшеде i және k индекстері бойынша қосынды алынытындықтан, мынаны жазуға болады:
∂U/〖∂x〗_k 〖dx〗_i 〖dx〗_k=〖∂U〗_k/〖∂x〗_i 〖dx〗_i 〖dx〗_k
(1.1а)-теңдіктегі үшінші мүшеде i және k индекстерінің орынын алмастырсақ, біз түпкілікті dl’2 мәнін мына түрде аламыз:
〖dl〗^’2=〖dl〗^2+2U_ik 〖dx〗_i 〖dx〗_k (1.1.2)
мұндағы, Uik тензор мына түрде анықталады:
U_ik=1/2 (〖∂U〗_i/〖∂x〗_k +〖∂U〗_k/〖∂x〗_i +〖∂U〗_k/〖∂x〗_i 〖∂U〗_i/〖∂x〗_k ) (1.1.3)
Бұл өрнектермен дененің деформациялануы кезінде ұзындықтың элементтерінің өзгерісі анықталады.
Uik тензоры — деформация тензоры деп аталады. Тензордың анықтамасынан, оның симметриялы екендігі көрінеді, яғни
Uik=Uki (1.1.4)
Бұлай болатын себебі, біз dl’2 өрнегінде 2 〖∂U〗_i/〖∂x〗_k 〖dx〗_i 〖dx〗_k мүшені ашық симметриялы түрде жаздық.
(〖∂U〗_i/〖∂x〗_k +〖∂U〗_k/〖∂x〗_i ) 〖dx〗_i 〖dx〗_k.
Кез келген симметриялы тензор сияқты, Uik тензорын берілген әрбір нүктеде бас оське келтіруге болады.
Мұның мәні, әрбір берілген нүктеде координат жүйесін — тензордың бас осьтерін – барлық Uik құраушыларының ішінен тек қана диагональдық құраушылары U11, U22, U33 нольге тең болмайтындай етіп таңдап алу керек. Бұл құраушыларды — деформация тензорының бас мәндерін – U(1), U(2), U(3) деп белгілейміз.
Мынаны еске ұстау керек: егер Uik тензоры дененің кейбір нүктесінде келтірілген болса, онда оны қоршаған көлем элементінде ұзындықтың элементі (1.2) мына түрді қабылдайды.
〖dl〗^’2=(δ_ik+2U_ik ) 〖dx〗_i 〖dx〗_k=(1+2U^((1) ) ) 〖dx〗_1^2+(1+2U^((2)) ) 〖dx〗_2^2+
+(1+2U^’2 ) 〖dx〗_3^2 (1.1.4а)
Бұл (1.4а) өрнегі үш тәуелсіз мүшелерге ыдырайтындығын көреміз. Мұның мәні, дененің әрбір көлем элементінде деформацияны, үш өзара перпендикуляр бағыт бойынша, яғни деформация тензорының осьтері бойынша үш тәуелсіз деформациялардың жиынтығы деп қарастыруға болады.
Осы деформациялардың әрқайсысын сәйкес бағыттар бойынша қарапайым созылу (немесе сығылу) деформациялары болып табылады:
dx1 ұзындығы бас осьтердің біреуінің бағыты бойынша
〖dx〗_1^’=√(1+2U^((1)) ) dx ұзындығына айналады және осыған ұқсас басқа қалған екі осьтер үшінде орындалады. Ендеше, √(1+2U^((l))-1) шамалары осы осьтер бойынша салыстырмалы ұзару болып табылады, яғни (〖dx〗_i^’-〖dx〗_i)/〖dx〗_i ; Денелердің барлық деформациялану жағдайында деформация аз шама болып табылады.
Мұның мәні, денедегі кез-келген арақашықтықтың өзгерісі арақашықтықтың өзімен салыстырғанда аз шама екені көрінеді. Басқаша айтқанда, салыстырмалы ұзару бірлікпен салыстырғанда өте аз.
Егер дене аз деформациялануға ұшыраса, онда деформация тензорының барлық құраушылары (денедегі ұзындықтың салыстырмалы өзгерісі) аз болып табылады. Ал, деформация векторы Ui кейбір жағдайларда тіпті аз деформацияда да үлкен болуы мүмкін.
Мысалы, ұзын жіңішке стержень (білік). Біліктің екі ұшы кеңістіктікте едәуір орын ауыстырсада, күшті иілу кезінде, біліктің өзінің ішінде созылу және сығылу деформациялары мардымсыз (аз) болады.
Ерекше жағдайлардан басқа, аз деформация кезінде l деформация векторы да аз болуы мүмкін. Шынында да ешқандай үш өлшемді дене , күшті созылу және сығылу деформациясы пайда болмай, оның жеке бөліктері кеңістікте орын ауыстыратындай деформацияға ұшырауы мүмкін емес. Жеке жағдайларда, ендеше, аз деформация кезінде Ui аз болады, сондықтан, (1.3) өрнектегі соңғы мүшені, 2-ші дәрежелі аз шама ретінде ескермеуге болады. Сонымен, аз деформация жағдайында, деформация тензоры мынадай өрнекпен анықталады:
U_ik=1/2 (〖∂U〗_i/〖∂U〗_k +〖∂U〗_k/〖∂U〗_i ) (1.1.5)
Деформация тензорының бас осьтерінің бағыттары бойында ұзындық элементінің салыстырмалы ұзаруы, енді жоғары ретті шаманың дәлдігіне дейін мынаған тең
√(1+2U^((i)) )-1≈U^((i))
Яғни, тікелей Uik тензорының бас мәндеріне тең. Қандайда бір шексіз аз көлем элементін dV қарастырайық және оның dV шамасын дененің деформациялануынан кейін анықтайық. Ол үшін координат осьтері ретінде қарастырылатын нүктеде деформация тензорының бас осьтерін таңдап аламыз.
Онда, осы осьтер бойында деформацияланудан кейін ұзындықтың элементтері dx1,dx2,dx3 мынадай өрнекте өтеді 〖dx〗_1^’=(1+U^((1)) ) 〖dx〗_1 ; 〖dx〗_2^’=(1+U^((2)) ) 〖dx〗_2; т.с.с. dV көлем 〖dx〗_1 〖dx〗_2 〖dx〗_3 -тердің көбейтіндісіне тең, ал dV’ көлемі 〖dx〗_1^’ 〖dx〗_2^’ 〖dx〗_3^’ көбейтіндіге тең.
Сонымен,
dV’=dV(1+U(1))(1+U(2))(1+U(3)) тең.
Бірақ, тензордың бас мәндерінің қосындысы U_1^((1))+U_2^((2))+U_3^((3)) белгілі болғандай, оның инварианты болып табылады және кез-келген координат жүйесінде, диагональді құраушылардың қосындысына тең, яғни Uii=U11+U22+U33 -ке тең. Сонымен,
dV’=dV(1+Uii) (1.1.6)
Деформация тензорының диагональді құраушыларының қосындысы, көлемнің салыстырмалы өзгерісі (〖dV〗^’-dV)/dV болып табылады.
Кейбір жағдайда (әдетте) деформация тензорының құраушыларын декарт координаталарында емес, сфералық немесе цилиндрлік координат жүйесінде пайдаланған ыңғайлы.
Деформация тензорының құраушыларының өрнегін , ығысу векторының құраушыларының туындылары арқылы сфералық және цилиндрлік координаттарда жазайық.
Сфералық координаттарда (r,θ,φ) мына түрде жазамыз:
U_rr=〖∂U〗_r/∂r, U_θθ=1/r 〖∂U〗_θ/∂θ+U_r/r;
U_φφ=1/rsinθ 〖∂U〗_φ/∂φ+U_θ/r ctgθ+U_r/r ,
〖2U〗_(θ,φ)=1/r (〖∂U〗_φ/∂θ-U_φ ctgθ)+1/rsinθ 〖∂U〗_θ/∂φ ,
〖2U〗_rθ=〖∂U〗_θ/∂r-U_θ/r+1/r 〖∂U〗_r/∂θ; 〖2U〗_φr=1/rsinθ 〖∂U〗_r/∂φ+〖∂U〗_φ/∂r-U_φ/r .
Цилиндрлік (r,φ,z) координаттарда:
U_rr=〖∂U〗_r/∂r, U_φφ=1/r 〖∂U〗_φ/∂φ+U_r/r, U_zz=〖∂U〗_z/∂z ,
〖2U〗_φz=1/r 〖∂U〗_z/∂φ+〖∂U〗_φ/∂z, 〖2U〗_zz=〖∂U〗_r/∂z+〖∂U〗_z/∂r,
〖2U〗_rφ=〖∂U〗_φ/∂r-U_φ/r+1/r 〖∂U〗_r/φ.
Кернеу тензоры.
Деформацияланбаған денеде молекулалардың орналасуы оның жылу тепе-теңдік күйіне сәйкес келеді. Бұл күйде оның барлық бөлігі бір – бірімен механикалық тепе – теңдікте болады. Мұның мағынасы, егер дененің ішінен қандайда бір көлемді бөліп алсақ, онда осы көлемге басқа бөлшектер тарапынан әсер ететін барлық күштердің қорытқы күші нольге тең болады.
Деформациялануы кезінде молекулалардың орналасуы өзгереді де, дене тепе – теңдік күйден шығарылады. Нәтижесінде денеде, оны тепе-теңдік күйге келтіруге тырысатын күштер пайда болатын ішкі күштерді ішкі кернеулер деп атайды. Егер дене деформацияланбаған болса, онда ішкі кернеу болмайды.
Ішкі кернеулер молекулалық күштердің нәтижесінде пайда болады, яғни, дененің молекулаларының бір – бірімен өзара әсерлесу күштерінің нәтижесінде пайда болады.
Серпімділік теориясы үшін ең маңыздысы, молекулалық күштердің «әсер радиусының» аздығында (мардымсыз аздығында). Олардың әсері, оларды тудыратын бөлшектердің төңірегінде ғана, молекулааралық дәрежедегі арақашықтыққа ғана созылады. Бірақ серпімділік теориясында, микроскопиялық теория ретінде, молекулааралық дәрежедегі арақашықтықпен салыстырғанда едәуір үлкен арақашықтық қарастырылады. Сондықтан молекулалық күштердің «әсер радиусы» серпімділік теориясында нольге деп есептелінуі тиіс.
Ішкі кернеуді туғызатын күштер, серпімділік теориясында «жақыннан әсер ететін» күштер болып табылады. Бұл күштер әрбір нүктеден тек өзіне жақын нүктеге ғана беріледі. Осыдан, дененің қандай да бір бөлігіне, оны қоршаған басқа бөліктері тарапынан әсер ететін күштер, тек қана тікелей осы бөліктің беттік ауданы (немесе беті) арқылы әсер етеді.
Денеден қандайда бір көлемді бөліп аламыз және оған әсер ететін қосынды күшті қарастырамыз. Бір жағынан, бұл қосынды күш қарастырылып отырған көлемнің әрбір элементіне әсер ететін барлық күштердің қосындысына тең, яғни мынадай көлемдік интеграл түрінде берілуі мүмкін:
∫▒FdV
мұндағы, F –дененің көлем бірлігіне әсер ететін күш, яғни көлем элементі dV –ға FdV күш әсер етеді.
Іздеп отырған толық күшті, тек қана берілген көлемге дененің қоршаған басқа бөліктері тарапынан әсер ететін күштердің қосындысы ретінде қарау керек. Бірақ жоғарыда айтылғандай, бұл күштер қарастырылып отырған көлемге оның беті (беттік қабаты) арқылы әсер етеді. Сондықтан, қорытқы күш көлемнің бетінің әрбір элементіне әсер ететін күштердің қосындысы түрінде қарастырылуы мүмкін. Яғни осы бет бойынша алынатын кейбір интеграл түрінде берілуі мүмкін.
Дененің кез-келген көлемі үшін барлық ішкі кернеулердің қорытқыларының әрбір құраушысы ∫▒〖F_i dV〗 осы көлемнің беті бойынша алынатын интегралға түрленуі мүмкін.
Векторлық талдаудан белгілі болғандай, еркінше алынған көлем бойынша скалярдан алынатын интеграл, беттік аудан (бет) бойынша алынатын интегралға түрленуі мүмкін, егер бұл скаляр кейбір вектордың дивергенциясы ретінде өрнектелетін болса. Берілген жағдайда, біз скалярдан емес, вектордан алынатын интегралды қарастырып отырмыз. Сондықтан Fi векторы кейбір екінші дәрежелі (рангалы) тензор болуы тиіс, яғни мынадай түрде жазылуы тиіс:
F_i=〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k (1.2.1)
Онда, кейбір көлемге әсер ететін күш берілген көлемді қамтитын тұйық бет бойынша алынған интеграл түрінде жазылуы мүмкін:
∫▒〖F_i dV〗=∫▒〖〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k dV〗=∮▒〖σ_ik 〖df〗_k 〗, (1.2.2)
Мұндағы dfi — бет элементінің (df) ⃗ векторының құраушылары. Бұл вектор әруақытта бетке сырттай жүргізілген нормаль бойынша бағытталған. σ_ik- тензоры кернеу тензоры деп аталады.
(1.2.2)-ші формуладан көрінетіндей σ_ik 〖df〗_k-бет элементі df-ке әсер ететін күштердің і-ші құраушысы.
Дененің қандай да бір көлеміне дәрежелі, компоненттері мына Fixk-Fkxi түрде берілген антисимметриялы тензор ретінде жазуға болады, мұндағы хі – күштің түсірілген нүктесіне координаторы.
Сондықтан көлем элементі dV-ға әсер ететін күш моменті (Fixk-Fkxi )dV –ға тең, ал бүкіл көлемге әсер ететін күш моменті
M_ik=∫▒〖 (F_i x_k-F_k х_i)dV 〗
Кез-келген көлемге әсер ететін толық күш сияқты, бұл күштердің моменті де көлемнің беті бойынша алынған интеграл түрінде өрнектеледі. Fi үшін (1.2.1) формуладағы өрнекті қойып, мынаны табамыз:
〖 M〗_ik=∫▒〖(〖∂σ〗_il/〖∂x〗_l x_k-〖∂σ〗_kl/〖∂x〗_l x_i )dV=〗
=∫▒〖∂(σ_il x_k-σ_kl x_i )/〖∂x〗_i dV-∫▒(σ_il 〖∂x〗_k/〖∂x〗_i -σ_kl 〖∂x〗_i/〖∂x〗_l )dV〗
Бұл өрнектің екінші мүшесінде, бір координаттардан екінші координат бойынша алынған туындылар бірге тең, егерде екі координаттар бірдей болса (немесе тепе-тең), егерде ол координаттар әртүрлі болса.( үш компанентіде тәуелсіз айнымалылар болып табылады).
Сонымен, 〖∂x〗_k/〖∂x〗_i =σ_ki; σ_ki-бірлік тензор, σ_ik-ға көбейткенде ол σ_kl σ_il=σ_ik, σ_il σ_kl=0 береді.
Бірінші мүшедегі интеграл астында кейбір тензордың дивергенциясы тұр; бұл интегралды бет бойынша алынатын интегралға түрлендіруге болады. Нәтижесінде мынаны табамыз:
M_ik=∮▒〖(σ_il x_k-σ_kl x_i ) 〖df〗_l+∫▒(σ_ki-σ_ik )dV〗
Mik тек қана бет бойынша алынатын интегралмен ғана өрнектелуі үшін, формуладағы екінші мүше нөлге тепе – тең болуы тиіс, яғни σ_ik-σ_ki=0 болуы керек, немесе
σ_ik= σ_ki (1.2.3)
(1.2.3)-ші формуладағы маңызды қорытындыға келдік, яғни кернеу тензоры — симметриялы тензор болып табылады.
Дененің кейбір көлемі әсер ететін күш моменті енді қарапайым түрде жазылады:
M_ik=∫▒〖(F_i x_k-F_k x_i )dV=∮▒〖(σ_il x_k-σ_kl x_i ) 〖df〗_l 〗〗 (1.2.4)
Тепе – теңдікте ішкі кернеу күштері әрбір көлем элементінде өзара компенсациялануы (өзара теңеруленуі) тиіс, яғни Fi=0 тең болуы керек.
Сонымен, деформацияланған дененің тепе-теңдік теңдеуі мына түрде жазылады:
〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k =0 (1.2.5)
Деформацияланған денедегі кернеу тензорының орташа мәнін анықтайтын формуланы жазайық. Ол үшін, (1.2.5)-ші теңдеуді хк-ға көбейтеміз және дененің бүкіл көлемі бойынша интегралдаймыз:
∫▒〖〖∂σ〗_il/〖∂x〗_l x_k dV=∫▒〖∂(σ_il x_k )/〖∂x〗_l dV-∫▒〖σ_il 〖∂x〗_k/〖∂x〗_i dV=0〗〗〗 (1.2.5а)
(1.2.5а)-ның оң жағындағы бірінші интегралды дененің беті бойынша алынатын интегралға түрлендіреміз, екінші интегралды 〖∂x〗_k/〖∂x〗_l =σ_kl екенін байқаймыз. Онда, мынаны аламыз:
∮▒〖σ_il x_k 〖df〗_l-∫▒〖σ_ik dV=0〗〗 (1.2.6)
Егер Р ⃗ дененің бірлік беттік ауданына әсер ететін сызықты күш болса, онда беттің элементі dfkl *Pdf күші әсер етеді. Тепе-теңдікте ол күш — σ_ik 〖df〗_k күшпен теңеседі. Мұндағы σ_ik f_k- ішкі кернеу тензорынан сол бет элементіне әсер ететін күш. Сонымен, P_i df-σ_ik 〖df〗_k=0; мұндағы 〖df〗_k=n_k df деп жазып (n ⃗ — бірлік вектор бетке жүргізілген сыртқы нормаль бойынша бағытталған), мынаны табамыз:
σ_ik n_k=P_i (1.2.6а)
(1.2.6а)- өрнекті (1.2.6)- формуладағы 1-ші интегралға қойып, мынаны аламыз:
∮▒〖P_i x_k df=∫▒〖σ_ik dV=V(σ_ik ) ̅ 〗〗 (1.2.7)
Мұндағы V-дененің көлемі; ал (σ_ik ) ̅ –бүкіл көлем бойынша кернеу тензорының орташа мәні.
(1.2.3)-шідегі σ_ik=σ_ki пайдаланып, (7)-ші формуланы симметриялы түрде жазуға болады:
(σ_ik ) ̅=1/2V ∮▒(P_i x_k+P_k x_i )df (1.2.8)
Сонымен, кернеу тензорының орташа мәні тікелей денеге әсер ететін сыртқы күштермен анықталуы мүмкін.
Деформацияның термодинамикасы
Қандайда бір деформацияланған денені қарастырайық. Алынған дененің деформациясы өзгерсін дейік. Нәтижесінде деформация векторы (U_i ) ⃗ аз шамаға 〖δU〗_i -ге өзгереді. Осыған орай, ішкі кернеудің күштерімен орындалатын жұмысты анықтайық.
F_i=〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k күшті орын ауыстыру 〖δU〗_i-ге көбейте отырып және дененің бүкіл көлемі бойынша интегралдап, мынаны жазуға болады:
∫▒δRdV=∫▒〖〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k 〖δU〗_i dV〗 (1.3.1)
мұндағы, δR деп дененің көлем бірлігіндегі ішкі кернеу күшінің істеген жұмысын белгіледік. (1.3.1) бөліктен интегралдап мынаны аламыз:
∫▒δRdV=∮▒〖σ_ik 〖δU〗_i 〖dF〗_k 〗-∫▒σ_ik 〖∂δU〗_i/〖∂x〗_k dV
Шексіздікте деформацияланбаған, шектелмеген ортаны қарастыра отырып, бірінші интегралдағы беттік интегралдауды шексіздікке ұмтылдырамыз; нәтижесінде, ондағы σ_ik=0 және интеграл жоғалады (нөлге тең болады). σ_ik тензорының симметриялығын пайдалана отырып, екінші интегралды мына түрде жазамыз:
∫▒δRdV=-1/2 ∫▒〖σ_ik (〖∂δU〗_i/〖∂x〗_k +〖∂δU〗_k/〖∂x〗_i )dV=〗
=-1/2 ∫▒〖σ_ik δ(〖∂U〗_i/〖∂x〗_k +〖∂U〗_k/〖∂x〗_i ) 〗 dV=-∫▒〖σ_ik 〖δU〗_ik dV〗 (1.3.1а)
Сөйтіп мынаны табамыз: δR=-σ_ik 〖δU〗_ik (1.3.2)
Бұл формула деформация тензорының өзгерісі бойынша δR жұмысты анықтайды. Екі дененің деформациясы жеткілікті аз болса, деформацияның тудыратын сыртқы күштердің әсерін доғарғаннан кейін, дене өзінің бастапқы деформацияланбаған күйіне оралады. Мұндай деформацияны серпімді деп атайды. Үлкен деформация кезінде сыртқы күштердің әсерін доғару, деформацияның толық жойылуына әкелмейді, — кейбір қалдық деформация деп аталатын деформация қалып қояды. Сондықтан, дененің қалдық деформациядан кейінгі күйі, күштің әсеріне (әсер ете бастаған күйден) ұшырамаған кездегі күйінен өзгеше. Мұндай деформацияны пластиналық (серпімсіз) деформация деп атайды. Ендігі кезекте, барлық термодинамикалық шамаларды, энтропия Ѕ, ішкі энергия E және т.б. дененің бірлік көлеміне келтіреміз (масса бірлігіне емес) және оларды сәйкесінше үлкен әріптермен белгілейміз. Ішкі энергияның шексіз аз өзгерісі dE, дененің бірлік көлемі алған жылу мөлшері мен ішкі кернеудің күштерімен жасаған жұмыстың айырмасына тең. Қайтымды процессте жылу мөлшері TdS-ке тең, мұндағы Т-темература. Сонымен, dE=NdS-dR; dR-ді (3.2) деп алып, мынаны аламыз:
dE=TdS+σ_ik 〖dU〗_ik (1.3.3)
Бұл формула — деформацияланатын денелер үшін негізгі термодинамикалық қатынас.
Бірқалыпты жан-жақты сығылу кезінде кернеудің тензоры мынаған тең:
σ_ik=-pδ_ik
Бұл жағдайда
σ_ik 〖dU〗_ik=-pδ_ik 〖dU〗_ik=-p〖dU〗_ii
Біз, U_ii қосындының деформация кезінде көлемнің салыстырмалы өзгерісін көрсететінін білеміз. Егер бірлік көлемді қарастырсақ, онда U_ii тек осы көлемнің өзгерісі болып табылады, ал 〖dU〗_ii — осы өзгерістің dV элементі. Онда, термодинамикалық қатынас әдеттегі түрді қабылдайды:
dE=TdS-PdV
Ішкі Е энергияның орнына дененің бас энергиясын енгізе отырып, яғни F=E-TS, (1.3.3) қатынасты мына түрде жазамыз:
dF=-SdT+ σikdUik (1.3.4)
Соңында дененің термодинамикалық потенциалы мына түрде анықталады:
Ф=E-TS- σikUik=F- σikUik (1.3.5)
Бұл формула әдеттегі Ф=E-TS+PV’ өрнекті жалпылау болып табылады.
(1.3.5)-ті (1.3.4)-ке қойып, мынаны табамыз:
dФ=-SdT-Uikdσik (1.3.6)
(1.3.3) және (1.3.4) формулалардағы тәуелсіз айнымалылар сәйкесінше Ѕ,Uік және Т,Uік болып табылады.
Кернеу тензорының құраушыларын, E немесе F шамаларды деформация тензорының құраушылары бойынша дифференциалдап алуға болады, сәйкес энергияның немесе температураның тұрақты мәндерінде:
σ_ik=(∂E/〖∂U〗_ik )_S=(∂F/〖∂U〗_ik )_T (1.3.7)
Осыған ұқсас, Ф термодинамиканың потенциалын σік құраушылары бойынша дифференциалдап, Uік құраушыларын алуға болады:
U_ik=-(∂Ф/〖∂σ〗_ik )_T (1.3.8)
Гук заңы.
Жалпы термодинамикалық қатынастарды деформацияның әртүрлі жағдайларына қолдану мүмкіндігі болуы үшін, дененің бос энергиясы F үшін, оның деформация тензорының функциясы ретіндегі өрнегін алу керек (пайдалану керек). Бос энергияның F деформация тензорының функциясы болатын формуласын алу үшін деформациясының өте аз шама екендігін пайдалану керек және осыған сәйкес бос энергияны F Uik –ның дәрежелері бойынша қатарға жіктеу керек.
Мұнда біз изотропты денелерді қарастырамыз. Белгілі бір температурада болатын (температура бүкіл дене бойында тұрақты) деформацияланған денені қарастыра отырып, біз сыртқы күш жоқ кездегі, сол температурадағы дененің күйін деформацияланбаған деп есептейміз. Онда, U_ik=0 тең болғанда, ішкі кернеу де болмауы тиіс, яғни σ_ik=0 да нольге тең болуы керек.
σ_ik=∂F/〖∂U〗_ik болғандықтан, F бос энергияны қатарға Uik дәрежесі бойынша сызықты мүшелері болуы тиіс.
Бос энергия F скалярлық шама болғандықтан, жіктелген қатардың әрбір мүшесі скалярлық шама болуы тиіс. Бос энергияны F, Uik –ның дәрежелері бойынша қатарға жіктегенде, біз екінші ретті дәлдікке дейінгі мүшесін аламыз. Ол алынған өрнек мына түрде жазылады:
F=F_0+λ/2 U_ii^2+〖μU〗_ik^2 (1.4.1)
(1.4.1) формула- изотропты деформацияланған дененің бос энергиясы үшін өрнегі.
Бос энергия өрнегіндегі λ шамасы және μ Ламэ коэффициенттері деп аталады. Біз, деформация кезінде , көлемнің өзгерісі Uіі қосындысымен анықталатынын білеміз. Егер осы қосынды нольге тең болса, онда деформациялану кезінде берілген дененің көлемі өзгермей қалады және тек формасы (пішіні) ғана өзгереді. Мұндай көлемі өзгермейтін деформацияны жылжу деп атайды. Дефомацияның кері жағдайы, ол дененің көлемінің өзгеріп, пішінінің (формасының) өзгермеуі. Мұндай деформацияда, дененің көлемінің әрбір элементі өзіне-өзі ұқсас болып қалады.
Жоғарыда , көргеніміздей, мұндай деформацияда тензордың түрі U_ik=const*σ_ik деп жазылады. Мұндай деформация жан-жақты сығылу деп аталады.
Кез-келген деформацияны таза жылжу және жан-жақты деформациялардың қосындысы түрінде (алуға) көрсетуге болады. Бұл үшін мынадай тепе-теңдікті жазсақ жеткілікті:
U_ik=(U_ik-1/3 δ_ik U_ll )+1/3 δ_ik U_ll (1.4.2)
Теңдіктің оң жағындағы бірінші мүше, таза жылжу, себебі оның диагональді мүшелерінің қосындысы нольге тең болатындықтан. ( δ_ii=3 екенін ескерейік). Екінші мүше жан-жақты сығылумен байланысты.
Деформацияланған изотропты дененің бос энергиясы үшін өрнегі ретінде, жылжу және жан-жақты сығылу деформациялары үшін жазылған жіктеулерді пайдаланып, (1.4.1) — формуланың орнына басқа өрнек жазу ыңғайлы. Ол үшін, екі тәуелсіз скаляр шамалар ретінде, (1.4.2) –ші формуладағы бірінші және екінші дәрежелі қосындылардың квадраттарын аламыз. Онда бос энергия F мына түрде жазылады:
F=μ(U_ik-1/3 δ_ik U_ll )^2+K/2 U_ll^2 (1.4.3)
мұндағы, К және μ сәйкесінше жан-жақты сығылу модулі және жылжу модульдері деп аталады. К модулі, Ламэ коэфффициенттерімен мынадай қатынас түрінде байланысқан:
K=λ+2/3 μ (1.4.4)
Термодинамиканың тепе-теңдік күйде бос энергия шамасы, белгілі болғандай, минимум.
Егер денеге ешқандай сыртқы күш әсер етпесе, онда U_ik=0 тең болған кезде, F энергия〖 U〗_ik –ның функциясы ретінде минумум болуы тиіс. Мұның мәні(мағынасы) (1.4.3) формуладағы квадратты форма, оң таңбалы болуы тиіс.
Егер U_ik тензорды, U_ll=0 болатындай етіп таңдап алсақ, онда (1.4.3) формулада тек бірінші мүше ғана қалады; ал егер U_ik=const түріндегі тензорды таңдасақ, онда тек екінші мүше ғана қалады. Осыдан, (1.4.3) форманың оң таңбалы болуының қажетті және жеткілікті шарттары болып, К және μ коэффициенттерінің әрқайсысының оң таңбалы болулары тиістігі. Сөйтіп, біз сығылу және жылжу модульдерінің әруақытта оң таңбалы болулары керек деген нәтижеге келдік:
К>0 , μ>0 (1.4.5)
Енді, (1.3.7) формуладағы термодинамикалық қатынасты пайдаланамыз және оның көмегімен кернеу тензорын анықтаймыз. ∂F/〖∂U〗_ik туындыларын есептеу үшін, тұрақты температурада dF толық дифференциалды жазамыз:
dF=〖KU〗_ll 〖dU〗_ll+2μ(U_ik-1/3 U_ll δ_ik )d(U_ik-1/3 U_ll δ_ik ) .
Теңдіктің оң жағындағы екінші мүшеде бірінші жақшаның δ_ік-ға көбейтіндісі нольді береді, онда қалғаны мына түрде жазылады:
dF=〖KU〗_ll 〖dU〗_ll+2μ(U_ik-1/3 U_ll δ_ik ) 〖dU〗_ik
немесе, 〖dU〗_ll -ді мына түрде δ_ik 〖dU〗_ik жазып,
dF=[〖KU〗_ll 〖dU〗_ll+2μ(U_ik-1/3 U_ll δ_ik )] 〖dU〗_ik.
Осыдан, кернеу тензоры үшін:
δ_ik=〖KU〗_ll δ_ik+2μ(U_ik-1/3 δ_ik U_ll ) (1.4.6)
өрнегін аламыз. Бұл формуладағы изотропты дене үшін, деформация тензоры арқылы кернеу тензорын анықтайды. Бұл өрнектен, дербес жағдайда, егер деформациялар таза жылжу немесе таза жан-жақты сығылу болса, онда σ_ik және U_ik арсындағы байланыс сәйкесінше тек бір ғана жылжу модулімен немесе тек бір ғана жан-жақты сығылу модулімен анықталатыны көрінеді. Кері формулаларды, яғни U_ik-ны σ_ik арқылы өрнектейтін формулаларды алу қиын емес. (1.4.6) –шыдағы екінші мүше үшін, бұл қосынды нольге ұмтылады, онда σ_ik=3KU_ii, немесе
U_ii=1/3K σ_ii (1.4.7)
Осы өрнекті (1.4.6)-ға қойып және одан U_ik -ны анықтап, мынаны табамыз:
U_ik=1/9K δ_ik σ_ll+1/2μ (σ_ik-1/3 δ_ik σ_ll ) (1.4.8)
бұл деформация тензорын, кернеу деформациясы бойынша анықтайды.
(1.4.7)-ші теңдігі, изотропты дененің кез-келген деформациясында , көлемнің салыстырмалы U_ii өзгерісі, тек кернеу тензорының диагональді құраушыларымен қосындысы σ_ii-ге байланысты (тәуелді) екендігін көрсетеді, оның үстіне U_ii және σ_ii арасындағы байланыс, тек жан-жақты сығылу модулімен анықталатындығын көрсетеді.
Дененің бірқалыпты, жан-жақты сығылуында кернеу тензоры σ_ik=-рδ_ik түрде жазылады. Сондықтан бұл кезде (1.4.7) -ден:
U_ii=-P/K (1.4.9)
Деформация аз (мардымсыз) болғандықтан, онда U_ii және Р-аз шамалар, және біз көлемнің салыстырмалы өзгерісінің қысымға қатынасын, яғни U_ii/Р бөлшекті дифференциал 1/V (∂V/∂P)_T түрде жаза аламыз. Сонымен, 1/K=-1/V (∂V/∂P)_T.
1/K — шамасы жан-жақты сығылу коэффициенті деп аталады (немесе тек сығылу коэффициенті). (1.4.8)-ден, деформация тензоры U_ik-ның кернеу тензорының σ_ik сызықты функциясы болып табылатынын көреміз. Басқаша айтқанда, деформация денеге түсірілген күштерге пропорционал. Аз деформациялар үшін орын алатын бұл заң Гук заңы деп аталады. (шын мәнінде, Гук заңы барлық серпімді деформациялар үшін орындалады).
Деформацияланған дененің бос энергиясы үшін өрнегінің пайдалы формасын келтірейік. Бұл өрнек деформация тензоры бойынша, тікелей бос энергияның (F-тің) квадраттылығынан табылады. Эйлер теориясы бойынша,
U_ik ∂F/〖∂U〗_ik =2F, осыдан ∂F/〖∂U〗_ik =σ_ik болғандықтан,
F=(σ_ik U_ik)/2 (1.4.10)
Егер бұл формулаға, σ_ik құраушыларының сызықты комбинациясы түрінде өрнектелген U_ik — ны қойсақ, онда серпімді энергия σ_ik шамаларының квадратты функциясы ретінде жазылады (беріледі).
Эйлер теориясын қолданып, мынаны жазамыз:
σ_ik ∂F/〖∂σ〗_ik =2F және (1.4.10) –шы мен салыстырсақ,
U_ik ∂F/〖∂σ〗_ik (1.4.11)
екені көрінеді. (1.4.11) –ші формуланың орындалуы Гук заңының орындалуымен байланысты.
1.5. Біртекті деформациялар.
Дененің бүкіл көлемі бойынша деформация тензоры тұрақты болатын деформацияларды біртекті деформация деп атайды.
Мысалы, біздің жоғарыда қарастырған бірқалыпты жан-жақты сығылу деформациясы – біртекті деформация болып табылады.
Енді, стерженьнің (біліктің) қарапайым созылу (немесе сығылу) деформациясын қарастырайық. Стержень z осі бойымен орналасқан дейік және оның ұштарына, қарама-қарсы жаққа созатын күштер түсірілген болсын. Бұл күштер стерженьнің ұштарындағы барлық бетке бірқалыпты әсер етеді; беттің бірлік ауданына әсер ететін күшті Р дейік.
Деформация біртекті болғандықтан, яғни Uik дене бойында тұрақты, және сол сияқты кернеу тензоры да σ_ik тұрақты, сондықтан оны тікелей шекаралық шарттан анықтауға болады. (Жоғарыда атап өткендей, тепе-теңдікте болатын дененің бүкіл беті бойынша орындалуы тиіс шекаралық шарт мына түрде жазылады:
σ_ik n_k=P_i
Мұндағы n ⃗ — бетке жүргізілген сыртқы нормаль бойымен бағытталған бірлік вектор.
Стерженнің бүйір беттерінде сыртқы күштер жоқ, ендеше одан σ_ik n_k=0 өрнегі шығады.
Бірлік вектор n ⃗, бүйір бетте z осіне перпендикуляр яғни тек қана оның nx , ny құраушылары болады, σ_zz құраушысынан басқа σ_ik-ның барлық құраушылары нольге тең болады.
Стерженнің ұштарының беттерінде σ_zi n_i=P_z тең, осыдан
σ_zz=P.
Жоғарыда келтірілген (1.4.8) деформация және кернеу тензорларының құраушыларының арасындағы байланысты көрсететін өрнектен i≠k емес болатын Uik-ның барлық құраушылары нольге тең.
Басқа құраушылары үшін мынаны табамыз:
U_xx=U_yy=-1/3 (1/2μ-1/3k)P,U_zz=1/3 (1/3k+1/μ)P (1.5.1)
Uzz құраушысы z осі бойымен стерженнің салыстырмалы ұзаруын анықтайды.
Р-ның өрнегіндегі коэффициентті созылу коэффициенті деп атайды, ал оған кері шаманы- созылу модулі деп немесе Юнг модулі деп атайды. Оны Е деп белгілейді
U_zz=P/E (1.5.2)
мұндағы,
E=9Kμ/(3K+μ) (1.5.3)
Uxx және Uyy құраушылары стерженнің көлденең бағыттағы салыстырмалы сығылуын анықтайды.
Көлденең сығылудың бойлық созылуға қатынасын Пуассон коэффициенті деп атайды да, σ деп белгілейді.
U_xx=-σU_zz (1.5.4)
мұндағы,
σ=1/2 (3K-2μ)/(3K+μ) (1.5.5)
K және μ әруақытта оң, онда Пуассон коэффициенті әртүрлі заттар үшін -1 ден (k=0) 1/2 -ге (μ=0) дейінгі аралықта өзгеруі мүмкін.
Сонымен, -1≤σ≤1/2 (1.5.6)
Соңында, стерженнің созылған кездегі, көлемінің салыстырмалы ұлғаюы мынаған тең:
U_ii=P 1/3K (1.5.7)
Созылған стерженнің бос энергиясын (F) тікелей F=(σ_ik U_ik)/2 формуласын пайдаланып жазуға болады. Тек қана σ_zz құраушысы нольден айрықша болғандықтан, F=1/2 σ_zz U_zz тең, осыдан
F=P^2/2E (1.5.8)
Бұдан әрі, К және μ модульдерінің орнына Е және μ шамаларын пайдаланамыз.
(1.5.3) және (1.5.5) формулаларын пайдаланып мынаны жазамыз:
μ=E/2(1+σ) , K=E/3(1-2σ) (1.5.9)
Е және σ арқылы бірқатар шамаларды жазамыз:
Бос энергия үшін
F=E/2(1+σ) (U_ik^2+σ/(1-2σ) U_ll^2 ) (1.5.10)
Кернеу тензоры, деформация тензоры арқылы мына түрде өрнектеледі:
σ_ik=E/(1+σ) (U_ik+σ/(1-2σ) U_ll δ_ik ) (1.5.11)
Керісінше:
U_ik=1/E ((1+σ) σ_ik-σσ_ll δ_ik ) (1.5.12)
(1.5.11) және (1.5.12) формулаларын жиі қолдануға тура келетіндіктен, оларды компоненттері арқылы мына түрде жазамыз:
σ_xx=E/(1+σ)(1-2σ) [(1-σ) U_xx+σ(U_yy+U_zz )]
σ_yy=E/(1+σ)(1-2σ) [(1-σ) U_yy+σ(U_xx+U_zz )] (1.5.13)
σ_zz=E/(1+σ)(1-2σ) [(1-σ) U_zz+σ(U_xx+U_yy )]
σ_xy=E/(1+σ) U_xy; σ_xz=E/(1+σ) U_xz; σ_yz=E/(1+σ) U_yz.
және кері формулалар:
U_xx=1/E [σ_xx-σ(σ_yy+σ_zz )]
U_yy=1/E [σ_yy-σ(σ_xx+σ_zz )] (1.5.14)
U_zz=1/E [σ_zz-σ(σ_xx+σ_yy )]
U_xy=(1+σ)/E σ_xy; U_xz=(1+σ)/E σ_xz; U_yz=(1+σ)/E σ_yz.
Бүйір беттері (қабырғалары) бекітілген стерженнің сығылуын қарастырамыз. Стерженнің көлденең өлшемдері өзгере алмайды. Стерженді сығатын сыртқы күштер, оның табандарына түсірілген және ол күштер оның ұзындығы бойымен әсер етеді. Стерженнің ұзын бойы тағы да z осімен сәйкес келеді. Мұндай деформацияны біржақты сығылу деп атайды.
Стержень z осі бойымен деформацияланатын болғандықтан, U_ik барлық құраушыларының ішінен ток U_zz қана нольден айрықша.
(1.5.13) –ші формуладан енді:
σ_xx=σ_yy=Eσ/(1+σ)(1-2σ) U_zz, σ_zz=E(1-σ)/(1+σ)(1-2σ) U_zz.
Тағы да сығылу күшін Р арқылы (σ_zz=Р; Р-сығылу кезінде теріс) тікелей белгілеп мынаны аламыз:
U_zz=(1+σ)(1-2σ)/E(1-σ) P (1.5.15)
Р коэффициенті-біржақты сығылу коэффициенті деп аталады. Көлденең бағытта пайда болған кернеу үшін:
σ_хх=σ_yy=P σ/(1-σ) (1.5.16)
ал, стерженнің бос энергиясы үшін:
F=P^2 (1+σ)(1-2σ)/2E(1-σ) (1.5.17)
1.6 Температураның өзгерісіне байланысты деформация.
Дененің температурасының өзгерісімен жүзеге асатын деформацияны қарастырайық: температураның өзгерісі деформациялану кезеңінің нәтижесі және де бөгде себептерден де болуы мүмкін.
Дененің деформацияланбаған күйі сыртқы күштердің әсері жоқ, кейбір берілген Т0 температура да болсын деп есептейік. Егер дене Т0 температурадан айырықша Т температурада болса, сыртқы күштер жоқ кезде де оның жылудан ұлғаюына байланысты деформацияланады.
Сондықтан, бос энергияны F(Т) қатарға жіктегенде квадратты ғана емес, сонымен бірге деформация тензоры бойынша сызықты мүшелерде енеді. Тензордың екінші рангалы (ретті) құраушыларынан Uik бір ғана сызықты скалярлық шаманы – Uii қосындыны құрауға болады.
Біз, деформацияның орындалуына себеп болатын Т – Т0 температураның өзгерісін аз шама деп жорамалдаймыз. Онда, F бос энергияның жіктелуіндегі Uii – дегі коэффициент (Т=Т0 болғанда нольге ұмтылуы тиіс) температура айырымына Т-Т0 пропорционал.
Сонымен, бос энергия үшін мынадай формула аламыз:
F(T)=F_0 (T)-Kα(T-T_0 ) U_ll+μ(U_ik-1/3 δ_ik U_ll )^2+K/2 U_ll^2 (1.6.1)
мұндағы, Т-Т0 алдындағы коэффициент, — Kα түрінде жазылған.
μ, К, α шамаларын тұрақты деп есептеу керек. Олардың температураға тәуелділігін есепке алу, аз шаманың үлкен дәрежесіне әкелген болар еді.
Бос энергияны F-ті дифференциалдап, кернеу тензорын аламыз:
σ_ik=-Kα(Т-T_0 ) δ_ik+KU_ll δ_ik+2μ(U_ik-1/3 δ_ik U_ll ) (1.6.2)
Мұндағы, бірінші мүше дененің температурасының өзгерісіне байланысты қосымша кернеу. Дененің еркін жылулық ұлғаюында (сыртқы күштер болмағанда) ішкі кернеулер болмауы тиіс. σ_ik нольге теңеріп, Uik мынадай const〖*δ〗_ik түрге ие болатынын табамыз, оның үстіне
U_ll=α(T-T_0 ) (1.6.3)
Бірақ U_ll деформация кезіндегі көлемнің салыстырмалы өзгерісі. Ендеше, (1.6.3)-ші дегі α басқа ештеңе емес, ол дененің жылудан ұлғаю коэффициенті.
Термодинамикалық мағынада, әртүрлі деформация типтерінің (түрлерінің) арасында ең маңыздылары изотермалық және адиабаттық деформациялар. Изотермиялық деформацияда дененің температурасы өзгермейді. Осыған сәйкес (1.6.1)-де Т=Т0 деу керек, және біз әдеттегі формулаға қайта ораламыз; сондықтан К және μ коэффициенттерін изотермиялық модульдер деп атауға болады.
Адиабатикалық деформациялар, дененің әртүрлі бөліктерінің арасында, сонымен бірге дене мен қоршаған ортаның арасында жылу алмасуы болмайтын деформациялар болып табылады.
Мұнда, энтропия S тұрақты болып қалады. Бізге, энтропияның, бос энергияның температура бойынша туындысына тең екендігі белгілі, яғни ∂F/∂T — ға тең.
(1.6.1) өрнекті дифференциалдап, Uik бойынша бірінші ретті мүшенің дәлдігіне дейін табамыз:
S(T)=S_0 (T)+KαU_ll (1.6.4)
Энтропия S тұрақтыға теңгере отырып, деформация кезіндегі температураның T-T_0 өзгерісін табуға болар еді, нәтижесінде ол U_ll -ге пропорционал болар еді. Алынған өрнекті (1.6.2) формуладағы T-T_0 үшін қойып, біз σ_ik үшін әдеттегі өрнекті алған болар едік:
σ_ik=К_ад U_ll δ_ik+2μ(U_ik-1/3 δ_ik U_ll ) (1.6.5)
Мұнда μ модулі бұрынғыдай ал сығылу модулі К_ад басқаша болады.
Адиабаттық модуль К_ад мен әдеттегі изотермалық модуль К арасындағы байланысты табуға болады.
Бірақ мұндай есептеусіз – ақ, тікелей белгілі термодинамикалық формуланың көмегімен табуға болады
〖 (∂V/∂P)〗_S=(∂V/∂P)_T+(T(∂V/∂T)_P^2)/C_P
(C_P- дененің бір өлшемді көлеміндегі, қысым тұрақты болғандағы жылусыйымдылық).
Егер V көлемді, дененің деформацияға дейінгі бір өлшем кезіндегі заттың көлемі деп алсақ (немесе түсінсек) онда ∂V/∂T және ∂V/∂P туындылары сәйкесінше қыздырған кездегі және сығылған кездегі көлемнің салыстырмалы өзгерісін анықтайды. Басқаша айтқанда,
(∂V/∂T)_P=α, (∂V/∂P)_S=-1/К_ад ,(∂V/∂P)_T=-1/K
Сонымен, адиабаттық және изотермиялық модульдердің арасындағы байланыстар үшін мынадай қатынастар аламыз:
1/К_ад =1/K-〖Тα〗^2/С_Р ,μ_ад=μ (1.6.6)
Созылудың адиабаттық модульдері үшін және Пуассон коэффициенті үшін мынадай қатынастарды аламыз:
Е_ад=Е/(1-Е 〖Тα〗^2/(9С_Р )), σ_ад=(σ+Е 〖Тα〗^2/(9С_Р ))/(1-Е 〖Тα〗^2/(9С_Р )) (1.6.7)
Нақты жағдайда Е 〖Тα〗^2/(9С_Р ) әдетте аз және сондықтан жеткілікті дәлдікпен мынаны жазуға болады:
Е_ад=Е+Е^2 〖Тα〗^2/(9С_Р ) σ_ад= σ+(1+σ)Е 〖Тα〗^2/(9С_Р ) (1.6.8)
Изотермиялық деформация кезіндегі кернеу тензоры, бос энергияның туындысы ретінде мына түрде өрнектеледі:
σ_ik=(∂F/(∂U_ik ))_T.
Энтропия тұрақты болғанда мына түрде жазылады:
σ_ik=(∂ℇ/(∂U_ik ))_S,
мұндағы ℇ-ішкі энергия.
Осыған сәйкес адиабаттық деформацияларда, бос энергияға
F=μ(U_ik-1/3 δ_ik U_ll )^2+K/2 U_ll^2
ұқсас өрнек бос энергияны анықтайды, ал жәй ғана дененің бір өлшем көлеміндегі ішкі энергияны анықтайды:
ℇ=К_ад/2 U_ll^2+μ(U_ik-1/3 〖U_ll δ〗_ik )^2 (1.6.9)
1.7. Изотропты денелердің тепе – теңдігінің теңдеулері.
Изотропты қатты денелердің тепе – теңдік теңдеулерін қорытып шығарамыз. Ол үшін жалпы теңдеуге
〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k +ρg_i=0
(1.5.11)-дегі кернеу тензорының өрнегін қоямыз.
Нәтижесінде:
〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k =Eσ/(1+σ)(1-2σ) (∂U_ll)/(∂x_i )+E/(1+σ) (∂U_ik)/(∂x_k ) аламыз.
Осыған U_ik=1/2 (〖∂U〗_i/〖∂x〗_k +〖∂U〗_k/〖∂x〗_i ) формуласын қойып, тепе – теңдік теңдеуін мына түрде аламыз:
E/2(1+σ) (∂^2 U_i)/(〖∂x〗_k^2 )+E/2(1+σ)(1-2σ) (∂^2 U_l)/(〖∂x〗_i 〖∂x〗_l )+ρg_i=0 (1.7.1)
Бұл теңдеулерді векторлық белгілерде жазу ыңғайлы. Мұндай белгілерде (∂^2 U_i)/(〖∂x〗_k^2 ) шамалары ∆U векторының құраушылары болып табылады, ол (∂U_l)/(∂x_l )≡divU ⃗. Сонымен, тепе –теңдік теңдеуі мынадай түрді қабылдайды:
∆U ⃗+1/(1-2σ) grad*divU ⃗=-ρg 2(1+σ)/E (1.7.2)
Векторлық талдаудың белгілі формуласы
graddivU ⃗=∆U+rotrotU ⃗
пайдаланып, бұл теңдеуді басқа түрде жазуға болады. Онда, (1.7.2) мына түрде жазылады:
graddivU ⃗-(1-2σ)/2(1-σ) rotrotU ⃗=ρg (1+σ)(1-2σ)/E(1-σ) (1.7.3)
Тепе –теңдік теңдеуін ауырлық күшінің біртекті өрісінде жазамыз. Ауырлық күші серпімділік теориясында «көлемдік» күштер болып табылады.
Маңызды жағдайлардың бірі, деформацияның көлемдік күштермен емес, дененің бетіне (беттік ауданына) түсірілген күштердің нәтижесінде орындалуы.
Онда тепе – теңдік теңдеуі мына түрде жазылады:
(1-2σ)∆U ⃗+graddivU ⃗=0 (1.7.4)
Немесе басқа түрде
2(1-2σ) graddivU ⃗-(1-2σ)rotrotU ⃗=0 (1.7.5)
(1.7.4) теңдеуге div(дивергенция) операторын қолданып және divgrad≡∆ екенін ескеріп мынаны табамыз:
∆divU ⃗=0 (1.7.6)
Яғни divU ⃗ шамасы гармоникалық функция болып табылады. (1.7.4) теңдеуге Лаплас операторын ∆ қолданып енді мынаны аламыз:
∆∆U ⃗=0 (1.7.7)
Яғни, тепе – теңдікте деформация векторы бигармоникалық теңдеуді қанағаттандырады. Мұндай нәтижелер біртекті ауырлық күші өрісінде де күшінде қалады. Егер дене біртекті қызбаған болса, тепе – теңдік теңдеуінде қосымша мүше қосылуы тиіс. Кернеу тензорында
-Кα(Т-〖-Т〗_0 ) δ_ік мүше ескерілуі тиіс және сәйкесінше 〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k қатынаста қосымша мүше пайда болады.
-Kα ∂T/(∂x_i )=-Eα/3(1-2σ) ∂T/(∂x_i )
нәтижесінде тепе- теңдік теңдеуін мына түрде аламыз:
3(1-2σ)/(1+σ)- graddivU ⃗-3(1-2σ)/2(1+σ) rotrotU ⃗=α∇Т (1.7.8)
Жазық деформацияны қарастырайық. Мұнда бүкіл дене бойынша ығысу векторының бір құраушысы нольге тең (Uz=0), Ux, Uy құраушылары тек қана х,у –ке тәуелді. Мұнда, Uzz, Uxz, Uyz деформация тензорының құраушылары нольге ұмтылады және сонымен бірге кернеу тензорының құраушылары да σxz , σyz, нолге ұмтылады (σzz ≠0; себебі z осінің бойымен дененің ұзындығының тұрақтылығын қамтамасыз етеді).
Барлық шамалар z координатасына тәуелді болмағандықтан, тепе – теңдік теңдеуі (сыртқы көлемдік күш болмаған жағдайда) 〖∂σ〗_ik/〖∂x〗_k =0 екі теңдеуге келтіріледі:
〖∂σ〗_xx/∂x+〖∂σ〗_xy/∂y=0; 〖∂σ〗_yx/∂x+〖∂σ〗_yy/∂y=0 (1.7.9)
Осы теңдеуді қанағаттандыратын σ_xx, 〖∂σ〗_xy, 〖∂σ〗_yy функцияларының жалпы түрі мынадай:
σ_xx=(∂^2 ϰ)/(∂y^2 ), σ_xy=-(∂^2 ϰ)/∂x∂y, σ_yy=(∂^2 ϰ)/(∂x^2 ) (1.7.10)
Мұндағы ϰ- х және у айнымының функциясы. Бұл функция қанағаттандыратын теңдеуді бұлай алуға болады. (1.5.13)-ші формуланың көмегімен жазық деформация үшін мынаны аламыз:
〖 σ〗_xx+σ_yy=E/(1+σ)(1-2σ) (U_xx+U_yy ) Бірақ
σ_xx+σ_yy=∆ϰ, U_xx+U_yy=〖∂U〗_x/∂x+〖∂U〗_y/∂y≡divU ⃗
және divU ⃗ гармоникалық функция болғандықтан, ϰ функциясы мынадай теңдеуді қанағаттандырады:
∆∆ϰ=0 (1.7.11)
Яғни бигармоникалық функция болып табылады. Жазық есеп шешілгеннен кейін және ϰ функция белгілі болса, бойлық кернеу σ_zz тікелей мынадай формуламен анықталады:
σ_zz=σE/(1+σ)(1-2σ) (U_xx+U_yy )=σ(σ_xx+σ_yy )
Немесе
σ_zz=σ∆ϰ (1.7.12)
1.8. Иілген пластинаның энергиясы.
Жіңішке пластинаның деформациясын қарастырамыз. Жіңішке пластинаға тепе – теңдіктің жалпы теңдеуін қолданамыз. Пластина иілген кезде, оның ішіндегі кейбір жерлерде созылу пайда болады, ал басқа жерінде — сығылу. Пластинаның дөңес жағында созылу пайда болады, бірақ қалыңдығына қарай тереңдеген сайын созылу біртіндеп азаяды да, нольге дейін жетеді, осыдан кейін келесі қабаттарда біртіндеп сығылу көбейе бастайды.
Сонымен, пластинаның ішінде бейтарап бет пайда болады. Бұл жерде созылу болмайды. Бейтарап бет пластинаның қалыңдығының ортасына орналасады.
Бейтарап беттің қандай да бір нүктесінде және z осінде бас нүктесі орналастырылған координат жүйесін таңдап аламыз. Z осі осы бетке жүргізілген нормальдың бағытымен сәйкес келеді. х,у жазықтығы пластинаның деформацияланбаған жазықтығымен сәйкес келеді.
Бейтарап беттің нүктелерінің вертикаль (тік) ығысуын, яғни олардың z – координаттарын, ζ деп белгілейік.
Бұл нүктелердің ығысуларының х,у жазықтығындағы құраушылары,
ζ мен салыстырғанда, аздықтың (аз шаманың) екінші ретті (дәрежесі) болғандықтан, оларды нольге тең деп алуға болады. Сонымен, бейтарап беттің нүктелерінің ығысу векторы мына түрде жазылады:
u_x^((0) )=u_y^((0) )=0 u_z^((0) )=ζ(x,y) (1.8.1)
Пластина өте жіңішке болғандықтан, оны иілдіру үшін, оның бетіне салыстырмалы аса үлкен емес түсіру керек. Бұл күштер ішкі кернеуден аз болуы тиіс.
Сондықтан шекаралық шартта Р_і күштерін ескермеуге болады, яғни σ_ik n_k=0 болып қалады.
Пластина (әлсіз) аз иілгендіктен нормаль вектор z осі бойымен бағытталған. Сонымен, пластинаның екі бетінде де
〖 σ〗_xz=σ_yz=σ_zz=0 (1.8.1а)
тең болады. Пластинаның қалыңдығы аз болғандықтан, (1.8.1а) шамалардың нольге тең болғандығынан олардың мәні пластина ішінде де аз болады. Сонымен біз мынадай қорытындыға келеміз:
Бүкіл пластинада σ_xz,σ_yz,σ_zz құраушылары кернеу тензорының қалған құраушыларымен салыстырғанда аз шама.
Осы негізде, біз оларды нольге тең деп атауымызға болады және деформация тензорының құраушыларын осы шарттардан аламыз.
(1.5.13)-ші жалпы формулаға сәйкес мынаны жаза аламыз: σ_zx=E/(1+σ) u_zx, δ_zy=E/(1+σ) u_zy
〖 δ〗_zz=E/(1+δ)(1+2δ) [(1+δ) u_zz+δ(u_xx+u_yy )] (1.8.2)
Бұл өрнектерді нольге теңгеріп, мынаны табамыз:
〖∂u〗_x/∂z=-〖∂u〗_z/∂x ,〖 〖∂u〗_y/∂y=-〖∂u〗_z/∂y,u〗_zz=-δ/(1-δ) (u_xx+u_yy ) (1.8.2а)
Алдыңғы екі теңдеуге Uz үшін жеткілікті дәлдікпен ζ(х,у) қоюға болады:
〖∂U〗_x/∂z=-∂ζ/∂x , 〖∂U〗_y/∂z=-∂ζ/∂y
осыдан (1.8.3)
u_x=-z ∂ζ/∂x, u_y=-∂ζ/∂y
Интегралдау тұрақтысы нольге тең деп есептеген, сондықтан z=0 –ге сәйкес u_x=u_y=0 теңдігі орындалады. u_x және 〖 u〗_y біле отырып, біз деформация тензорының барлық құраушыларын анықтай аламыз: u_xx=-z (∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 , u_yy=-z (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 , u_zz=-z (∂^2 ζ)/∂x∂y,
〖 u〗_xz=u_yz=0 u_zz=z((∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 ) (1.8.4)
(1.5.10) –шы жалпы формуланы пайдаланып, пластинаның бірлік көлеміндегі бос энергияны F есептейміз. Қарапайым есептеу мынадай өрнекке әкеледі:
F=z^2 E/(1+σ) {1/2(1-σ) ((∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 )^2+[((∂^2 ζ)/∂x∂y)^2-(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 ]} (1.8.5)
Пластинаның толық бос энергиясы (1.8.5)- ші формуланы оның бүкіл көлемі бойынша интегралдап табамыз.
Z бойынша интегралдау — h/2 ден + h/2 -ге дейін (мұндағы h — пластина қалыңдығы) жүргізіледі, ал х,у бойынша- пластинаның бүкіл беті бойынша орындалады.
Нәтижесінде, деформацияланған пластинаның толық бос энергиясын F_толық=∫▒FdV
мына түрде табамыз:
F_толық=〖Eh〗^3/24(1-σ^2 ) ∬▒{((∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 )^2+2(1-σ)[((∂^2 ζ)/∂x∂y)^2-(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 ]}dxdy (1.8.6)
1.9. Пластинаның тепе – теңдігінің теңдеуі.
Пластинаның тепе – теңдік теңдеуін, оның бос энергиясының минимум шартынан табамыз (қорытамыз).
Ол үшін (1.8.6) өрнегінің вариациясын есептеу керек. [2].
(1.8.6) – шы формуладағы интегралды екі интегралдың қосындысы ретінде бөліп жазамыз және әрқайсысын жеке вариациялаймыз.
Бірінші интегралды мына түрде жазуға болады:
∫▒〖(∆ζ)^2 df〗,
мұндағы df=dxdy-беттің элементі, ∆=∂^2/〖∂x〗^2 +∂^2/〖∂y〗^2 — Лаплас операторы.
Осы интегралды вариациялап мынаны аламыз:
δ 1/2 ∫▒〖(∆ζ)^2 df〗=∫▒∆ζ∆δζdf=∫▒∆ζdivgradδζdf=∫▒div(∆ζ∇δζ)df—∫▒∇δζ∇∆ζdf (1.9.1)
(1.9.1) жағындағы бірінші интегралды, пластинаны қамтитын тұйық контур бойынша алынатын интегралға түрлендіреміз:
∫▒div(∆ζ∇δζ)df=∮▒∆ζ(ngradδζ)dl=∮▒〖∆ζ ∂δζ/∂n〗 dl (1.9.2)
мұндағы ∂/∂n — контурға жүргізілген сыртқы нормальдың бағыты бойынша алынған дифференциал.
Екінші интегралда дәл осындай түрлендіруді қолданып мынаны аламыз:
∫▒∇δζ∇∆ζdf=∫▒∇(δζ∇∆ζ)df-∫▒〖δζ∆^2 ζdf〗=∮▒δζ(n∇)∆ζdl-∫▒〖δζ∆^2 ζdf〗= ∮▒〖δζ ∂∆ζ/∂n dl〗-∫▒〖δζ∆^2 ζdf〗 (1.9.3)
Алынған нәтижелерді қойып, мынаны аламыз:
δ 1/2 ∫▒〖(∆ζ)^2 df〗=∫▒〖δζ∆^2 ζdf〗-∮▒〖δζ ∂∆ζ/∂n dl〗+∮▒〖∆ζ ∂∆ζ/∂n dl〗 (1.9.4)
(8.6) формуладағы 2-ші интегралды вариацияны түрлендіру ұзағырақ. Сондықтан бұл түрлендіруді векторлық түрде емес, құраушылары түрінде орындаймыз. Нәтижесінде мынаны аламыз:
δ∫▒{((∂^2 ζ)/∂x∂y)^2-(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 }df=∫▒{2 (∂^2 ζ)/∂x∂y (∂^2 δζ)/∂x∂y-(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 (∂^2 δζ)/〖∂y〗^2 -(∂^2 δζ)/〖∂x〗^2 (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 } df (1.9.5)
Интеграл астындағы өрнекті мына түрде жазуға болады:
∂/∂x (∂δζ/∂y (∂^2 ζ)/∂x∂y-∂δζ/∂x (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 )+∂/∂y (∂δζ/∂x (∂^2 ζ)/∂x∂y-∂δζ/∂y (∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 ) (1.9.6)
яғни кейбір вектордың екі өлшемді дивергенциясы ретінде. Сондықтан, вариацияны контур бойынша алынған интеграл түрінде қайта жазуға болады:
δ∫▒{((∂^2 ζ)/∂x∂y)^2-(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 }df=∮▒〖dlsinθ{∂δζ/∂x (∂^2 ζ)/∂x∂y-∂δζ/∂y (∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 }+∮▒dlcosθ{∂δζ/∂y (∂^2 ζ)/∂x∂y- -∂δζ/∂x (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 } 〗 (1.9.7)
мұндағы θ — х осімен контурға түсірілген нормаль n ⃗- нің арасындағы бұрыш.
δζ — тен х пен у бойынша туындыларды, контурға түсірілген n ⃗ нормальдің бағыты бойынша және контурға жүргізілген жанама бойынша алынған туындылар арқылы өрнектейміз
∂/∂x=cosθ ∂/∂n-sinθ ∂/∂l
∂/∂y=sinθ ∂/∂n+cosθ ∂/∂l (1.9.8)
Онда (1.9.7) формуладағы интегралдар мынадай түрді алады:
δ∫▒{…} df=∮▒〖dl ∂δζ/∂n〗 {2sinθcosθ (∂^2 ζ)/∂x∂y-〖sin〗^2 θ (∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 -〖cos〗^2 θ (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 }+∮▒〖dl ∂δζ/∂l {sinθcosθ((∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 — -(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 )+(〖cos〗^2 θ+〖sin〗^2 θ)(∂^2 ζ)/∂x∂y} 〗 (1.9.9)
Екінші интегралды бөліктеп есептеуге болады. Бұл интеграл тұйық контур бойынша алынатындықтан, интегралдау шектері бір нүктеде түйіседі. Сондықтан, мынаны аламыз:
-∮▒dlδζ ∂/∂x {sinθcosθ((∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 -(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 )+(〖cos〗^2 θ+〖sin〗^2 θ)(∂^2 ζ)/∂x∂y} (1.9.10)
Барлық алынған нәтижелерді біріктіріп және (1.8.6)-ға сәйкес, олардың алдыңғы коэффициенттерін жазып, бос энергияның вариациясы үшін қорытынды өрнекті мына түрде аламыз:
F_толық=〖Eh〗^3/24(1-σ^2 ) {∆^2 ζδζdf-∮▒δζdl [∂∆ζ/∂n+(1+δ)∂/∂l (sinθcosθ((∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 -(∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 )+(〖cos〗^2 θ+〖sin〗^2 θ)(∂^2 ζ)/∂x∂y)]+∮▒∂δζ/∂n [∆ζ+(1-δ)(2sinθcosθ (∂^2 ζ)/∂x∂y-〖sin〗^2 θ (∂^2 ζ)/〖∂x〗^2 -〖cos〗^2 θ (∂^2 ζ)/〖∂y〗^2 )]} (1.9.11)
Осыдан пластинаның тепе – теңдік теңдеуін алу үшін бос энергия варияциясы δF және әсер ететін сыртқы күштерінің болуына байланысты пластинаның потенциалдық энергиясының вариацияларының қосындысын нольге теңестіру керек.
Потенциалдық энергия вариациясы, пластинаның ығысуы кезіндегі сыртқы күштердің жасайтын жұмысының теріс таңбамен алынған мәніне тең.
Пластинаның беттік ауданының бірлігіне келетін, пластинаға әсер ететін сыртқы күшті Р деп алайық. Онда, пластинаның нүктелерінің dζ ығысуындағы, күштің жасайтын жұмысы мынаған тең:
∫▒Pδζdf
Сонымен, пластинаның толық бос энергиясының минимум болатын шарты ретінде мына теңдеуге ие боламыз
〖δF〗_толық-∫▒Pδζdf=0 (1.9.12)
Бұл теңдіктің сол жағында бет бойынша және контур бойынша интегралдар тұр. Беттік интеграл мына түрде жазылады:
∫▒{〖Eh〗^3/12(1-σ^2 ) ∆^2 ζ-P}δζdf (1.9.13)
Бұл интегралда δζ вариациясы еркінше алынған. Егер δζ алдыңғы коэффициент нольге тең болса, онда бұл вариация нольге тең, яғни
〖Eh〗^3/12(1-σ^2 ) ∆^2 ζ-P=0 (1.9.14)
Бұл сыртқы күштердің әсерінен иілетін пластинаның тепе – теңдік теңдеуі.
II . Металдардың серпімділік қасиетін анықтайтын шамалардың арасындағы қатынастар.
2.1.Серпінділікті сипаттайтын негізгі шамалар.
Серпінділік теориясының маңызды қағидалары машиналар мен ауа,су корабльдерін және түрлі агрегаттарды жасауда есептеу үшін пайдаланылады.Тәжірибелік мақсатта,материалдарды (қазіргі заманға сай,реактивті самолеттерді,ракеталарды,жер серіктерін жасау үшін жаңа композициялық материалдарды алу)сипаттайтын серпінділік тұрақтыларын білу керек.Сонымен бірге,осы материалдық тұрақтыларды дәл өлшеу физиктер мен физик-инжинерлерге атомдар арасындағы өзара әсерлесуді және заттардың фазалық айналымдары туралы түсініктерді талдауға мүмкіндік береді. Серпінділік,заттардың басқа физикалық қасиеттері сияқты,металдар мен олардың құймаларын зерттеу үшін және металдарға кіріспе бағытындағы ғылымның есептерін шешу үшін пайдаланылады.Серпінділік теориясында келтіргеніміз бойынша,заттардың серпінділік қасиетін сипаттайтын негізгі шамалар мыналар болып табылады:
Е-Юнг модулі
G-жылжу модулі
D-жанжақты сығылу модулі
μ-Пуссон коэффициенті
Бұл төрт шама өзара екі қатынастармен байланысқан.
σ=E/2(μ+1) (2.1.1)
D=E/3(1-2μ) (2.1.2).
Үш,(Е,G,D) модульдер сәйкес созылу,жылжу,жан жақты сығылу кезіндегі кернеу мен серпілуі арасындағы пропорциональдықты сипаттайды.
Бұл,серпінділік облыстағы деформация үшін элементарлық Гук заңының салдары болып табылады.
S=Eε, t=Gg және P=D ∆V/V (2.1.3)
Мұндағы S,t және Р-кернеу:қалыпты,жанама және жан-жақты сығылудағы.
ℇ, g және ∆V/V -салыстырмалы созылу,жылжу және көлемнің өзгерісі. Мұнда,кернеу және деформация бағыттары бойынша сәйкес келеді. Пуассон коэффициенті μ серпінді деформация кезіндегі көлемнің өзгерісін сипаттайды: созылу кезінде үлкейеді,сығылу кезінде азаяды. Мысалы біржақты сығылуда:
μ=(∆a⁄a)/(∆l⁄l); (2.1.4) Мұндағы ∆а/а және ∆l⁄l призма пішіндегі дененің көлденең және бойлық өлшемдерінің салыстырмалы өзгерісі.Созылу және сығылу кезіндегі μ-дың шамасы бірдей оның мәндері 0 және ½ мәндерінің арасындағы мәндерге сәйкес.
Е,G және D модульдерінің өлшемдері –кернеудің өлшемімен сәйкес;μ-өлшемсіз коэффициент.
Заттарды статистикалық сынау мен деформация мен кернеуді өлшеуге әкеледі,ал оларды динамикалық сынау-біліктің(стерженнің) меншікті жиілігін өлшеуге әкеледі.
Мәжбүр тербелістерде қалыпты серпімділік модулі (Юнг модулі)
E=(〖4l〗^2 f_l^2 d)/〖981*10〗^5 кг/〖мм〗^2 (2.1.5)
Мұндағы: l-біліктің (серпеннің) ұзындығы(см)
Fl-оның бойлық тербелісін(қума тербелісін)негізгі меншікті жиілігі
d-тығыздығы.
(2.1.5)-ші формуламен жылжу модулінде есептеуге болады,егерде fl–дің орынына fσ-бұрылу тербелісінің жиілігін алатын болсақ.
Пуассон коэффициенті:
μ=1/2 (f_l/f_σ )^2-1 (2.1.6)
Серпімділік модулінің физикалық мағынасы атомаралық байланыс күшін сипаттайды және металдардың сипаттамалық температурасымен тікелей байланысқан:
θ=h/k ((3N_A)/4πA)^(1/3) d^(1/3) C (2.1.7)
Мұндағы NA-Авогадро саны; А-атомдық салмақ; d-тығыздық; Һ және К-Планк және Болцьман тұрақтысы.
Серпімділік (2.1.7)-ші формулаға тікелей С шамасы арқылы енеді.С-тербелістің таралуының орташа жылдамдығы
3/C^3 =1/(C_l^3 )+2/(C_τ^3 ) (2.1.8)
Мұндағы C_l және Сτ-қума және бұрылу тербелістерінің таралу жылдамдығы.Бұл шамалардың әрқайсысы сәйкес серпімділік модульдерімен мына қатынастар түрінде байланысқан:
C_l=√(E/d) және C_τ=√(G/d) (2.1.9)
2.2.Металдардың серпімділігі:
Қалыпты температурада,серпімділік модулі элементтің атомдық номерінің периодты функциясы болып табылады.[4].
Үшінші периодтағы элементтердің ішінде Na,Mg,Al,Si металдарының модульдері атомдық номерлермен бірге өседі,яғни бұл валенттік электрондарының санының өсуіне және атомдық радиустың азаюына байланысты.Бір топтағы элементтердің ішінде,мысалы Ве, Mg,Ca,Cr және Ва атомдық номерлері өскен сайын,атомдық радиустардың өсуімен бірге серпімділік модулі азаяды. [5].
Қалыпты серпімділіктің модулі Е,атомаралық t арақашықтықтың азаюмен мынадай теңдеуге сәйкес өседі(үлкейеді):
E=k/a^m (2.2.1)
Мұндағы k және m-тұрақты шамалар.
Мұндай ереже өтпелі металдарға орындалмайды.Қарапайым металдардан айырмасы,өтпелі металдардың бір тобында,мысалы,ОS,Ru,Fe немесе Rh,Ir,Co т.б.Серпімділік модулі олардың атомдық радиустерімен бірге өседі.Бұл әлі теорияда дәлелденбеген.
Өтпелі(ауыспалы) металдардың серпімділік модулі салыстырмалы жоғары.Өйткені, d-электрондардың болуынан атомаралық байланыс күштерінің мәндері едәуір үлкендігінен.Модульдің үлкен мәндері болатын элементтерде d-электрондардың (OS,Ru,Fe,Mo,Co т.б) саны 5-7 аралығында.
Серпімділік модулі кристалдардағы (металдардағы) бағыттарға тәуелді (байланысты) олардың анизотропты қасиеті болып табылады.Полицметалды денелерде (металдарда) серпімділік модулі бағыттарға байланысты емес.
Кейбір металдардың серпімділік қасиетері 1-кестеде берілген.
Металдарды қыздырған кезде серпімділік модулі азаяды. Портвеннің эмпирикалық теңдеуге байланысты
E=kT_s^a/V^b (2.2.2)
мұндағы Ts –балқудың абсолют температуралары; V – меншікті көлем; k,a,b- тұрақтылар; оның үстіне a≈1 және b≈2 мұндай Е және Т арасындағы сызықты (тікелей) тәуелділік, бұл екі шамада атомаралық байланыс күшін сипаттайды.
Қалыпты серпімділіктің температуралық коэффициенті γ=dE/dT 1/E жуықпен жылудан ұлғаюдың сызықтық коэффициентіне α пропорционал. Бұл (2.2.1) формуласын (теңдеуін) температура бойынша дифференциалдаудан шығады. α:γ қактынасы жуық шамамен 4*10-2 дәрежесіне тең. Көптеген металдар үшін Е, температураның артуымен сызықты азаяды. Al, N, Cu металдарының кристалдарында Е шамасы [111] бойынша максимум (ең үлкен мән), және [100]- бағыт бойынша минимум (аз) мәндері болады.
2.3 Металл құймаларының серпінділік модулі.
Қатты күйінде толық ери алатын, яғни екі металдардың бір типтегі кеңістік торларында және олардың валенттіктері мен атомдық радиустары бір-біріне жақын болғанда, бинарлы қатты ерітінділердің (Cu – Ni ; Cu – Pt, Cu – Au) серпімділік модульдері сызықты өзгереді немесе атомдық концентрацияның (ерітіндінің) функциясында сызықтық тәуелділікке жуық өзгереді.
Еріген құраушының шамасының көбеюіне қарай серпімділік модулі азаяды.
Бұл азаю, яғни dE/dC, мұндағы С- құраушының атомдық пайыздығы (ат.%) мөлшері; еріген заттың валенттілігі жоғарылаған сайын артады (көбейеді), сонымен бірге серпімділік модулінің азаюы атомдық ерітіндімен (концентрациясымен) осы заттың валенттілігінің квадратының көбейтіндісіне (cz2) сызықты байланысты немесе қатты ерітіндінің электрондық концентрациясына сызықты пропорционал.
Электрондық концентрациямен бірге серпімділік модуліне еріткіш пен еріген заттың атомдық радиустарының айырмасы әсер ∆R етеді.
Теориялық есептеу dE/dC қатынасы ∆R2 квадратына пропорционал екенін тағайындады. Құймалардың балқу температураларын төмендететін факторлар (себептер), оның серпімділік модулінде төмендетеді.
Бірфазалы және күрделі құймалардың серпімділік модульдерінің температураға тәуелділігі, таза металдардағы модульдердің температураға тәуелділігінен айырмасы аз. Қыздырылған көміртекті болатта E,G және D модульдері, көміртегі шамасы артқан сайын 0,3%-ке азаяды және Пуассон коэффициенті де азаяды.
2.4. Серпімділіктің ферромагнитті аномалиясы
Ферромагнетиктерде [6] магнитострикциясының болуы, оларда серпімділік модулінің төмендетілген мәніне әкеледі.
Е_ферр=Е_қалыпты-Е^’ (2.4.1)
Қыздырған кезде Кюри нүктесіне жақындауы және парамагниттік күйге [7] өтуі ферромагнитті теріс құраушыны Е^’ ығыстырады. Кюри температурасынан жоғары температурада серпімділік модулінің температураға байланысы қалыпты өзгеруі орын алады. Бұл кезде температураның белгілі бір интервалында серпімділік модулі Е_ферр қыздыру кезінде, тіпті өсуі мүмкін, себебі Е^’,Е_қалыпты қалыпты серпімділік модуліне қарағанда көбірек азаюы мүмкін.
2.4.1- суретте никель металының серпімділік модулінің температураға тәуелділігі келтірілген.
Никель металы қанығуға дейін магниттелген, кернеулігі Н=575э (эрстед) өрісте (1-қисық) Е-ні өлшеу, серпімділік модулінің кез-келген температурада қалыпты өзгеретіндігі көрінеді.
Теріс магнитострикциясы λ_Ѕ бар никңельді созу, оның магниттелуін қиындатады.
Бұл, стерженьнің , созылуы кезінде ІЅ векторы созатын күшке перпендикуляр болуға ұмтылады және мұнда дене қосымша ұзару алады, ал ендеше сынау кезінде Е модулінің азаятындығы көрінеді. Дәл осындай нәтиже оң таңбалы λ_Ѕ мәнінде де орындалады.
Егер дене қанығуға дейін магниттелсе, онда λ_Ѕ есебінен ұзындықтың өзгеруі орындалмайды, және серпімділік модулі қалыпты шамаға ие болады, яғни магниттелмеген денеге қарағанда серпімділік модулінің мәні жоғары болады. Мұнда, әдеттегідей, Е-нің температураға тәуелділігі болып табылады.
Бірақ, серпімділік модулінің аз мәніндегі бірқатар құймаларда бар. Олардың қанығуға дейінгі магниттелуінде аномальді температуралық тәуелділік орындалады. Мұндай құймаларды элинварлар деп атайды, тіпті қанығу өрісінде де (575 эрстед) серпімділіктің аномалиясы орын алады. Аномалия, дербес жағдайда магниттелу кезінде жойылуы мүмкін. Серпімді созылуда дененің көлемі ұлғаяды және металдардың арақашықтығы үлкейеді, нәтижесінде магнит өрісі жоқ болса да, әрбір дененің ішінде парапроцесс (күшті спиндердің қосымша бағытталуы өрісте спиндердің қосымша бағытталуы) оындалуы, яғни ІЅ векторының бойында спиндердің [8] қосымша бағытталуы орындалады. Бұл кезде әрбір доменнің қанығу магниттелуі өседі. Бұл өз кезегінде, λ_n -нің (λ_n -парапроцесте магнитострикциясы) есебінен көлемнің қосымша ұлғаюына (үлкеюіне) әкеледі. Осыдан, Е-ні анықтауда, созылу кезінде, қосымша ұзару пайда болады, яғни серпімділік модулінің азаюына әкеледі.
Ферромагнетиктің серпімділік модуліне λ_n әсерін жою (немесе болдырмау) үшін кернеулігінің шамасы 106 эрстед (106э) күшті өрісте магниттеу керек.
Элинвар құймаларының негізі темір және никель болып табылады. Құймалардың мықтылығын арттыру үшін олардың құрамына көміртегін, хром, молибден тағы басқа металдарды қоспа ретінде енгізеді. Серпімділік модулінің температуралық коэффициентінің шамасына ферромагнитті қатты ерітіндінің химиялық құрам әсер етеді.
Қорытынды.
Егеменді еліміз Қазақстан Тәуелсіздігінің 20 жылдығы мерекесін Республикамызда көптеген ірі өндіріс орындары үлкен табыспен қарсы алды. Солардың қатарында, Тараз Мемлекеттік металлургия зауыты, Темір – болат конструкциясы зауыты, суперфосфат зауыты т.б. зауыттар. Бұл кәсіпорындарының арқасында, олардың түрлі цехтарында болат металы немесе оның қоспаларынан тұратын қондырғылар жұмыс жасайды. Болат металының немесе оның қоспаларынан жасалған қондырғылардың әртүрлі жүктемелерге, температураларға, тағы басқа деформацияларға төзімділіктерін зерттеу – біздің жұмысымыздың алға қойған мақсаты болды.
Осыған орай, бұл зерттеу жұмысымызда металдардың механикалық қасиеттерінің математикалық өрнегі болып табылатын серпімділік теориясы зерттеледі. Серпімділік теориясына сәйкес деформациялардың формуласының математикалық өрнектері жазылды.
Дипломдық жұмыс III-тараудан тұрады және пайдаланылған әдебиеттер көрсетілген.
Зерттеу жұмысымыздың нәтижесінде серпімділік теориясының негізгі заңы – Гук заңының болат металының механикалық қасиеттерін сипаттайтын әртүрлі деформациялар үшін орындалатындығын тәжірибеде әртүрлі қондырғылар пайдаланылып өлшенген, нәтижелер теориялық есептеулермен салыстырылған.
Әдебиеттер
