Реферат. Нақты сандар

                                             Жоспар:

1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі.
2. Шегі бар тізбектердің қасиеттері.
3. Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен сандар.
4. Монотонды тізбектер.
5. Тізбектің жинақталуының Коши критерийі.
6. Функцияның лимитінің анықтамасы.
7. Шегі бар функциялардың қасиеттері
8. Тамаша шектер.

 

 

Больцано Вейерштрасс теоремасы.

1.Анықтама: Шексіз көп эмементке ие болған Х топтың элементтерін     нөмерлеп оларды номерлері өсуі бойынша бір қатарға жазғандағы өрнекке тізбек дейіледі. Тізбектің элементері тұрақты сандар болса оған санды тізбек, ал айнымалы болса функцияналдық тізбек дейіледі. Тізбек   мен белгіленеді.

Мысалдар. 1)

 

 

     1,2–сандық тізбектер, 3,4, функционалдық тізбектер.

Анықтама: Егер бірар  n>N_E ден бастап тізбектің барлық мүшелері үшін теңсіздігі орындалса онда а санына тізбектің шегі деп аталады.Ол немесе арқылы белгіленеді.

Мысал.  теңсіздігін қанағаттандырушы барлық Х тер үшін f(x)=5x-2 нің мәні   нен кіші болады.

n артып барған сайын  x тің мәндері  a ның  (a-E,a+E) маңайы ішінде  a ға ұмтылады.

2. Шегі бар тізбектердің қасиеттері.
3. Егер  тізбектің шегі бар болса, онда ол шек жалғыз.
4. Егер тізбегі жинақты болса, онда ол тізбек шенелген.
5. Егер   
6. Егер болып  болса  ондаболады.

3.Шегі бар тізбектерге арифметикалық амалдырды қолдану.

    Егер , және  болса онда  болғанда   болады.

4. Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен сандар.

Анықтама. Шегі  х®х₀ де нөлге ұмтылушы a(х) ақырсыз кішкене шама деп аталады.                            
Мысал.  ; ;;;

Ескерту. Ақырсыз кіші шама әрқандай тұрақты кіші саннанда кіші болады.

Анықтама. Шегі  шексіздікке ұмтылғанда  шексіз үлкен шама деп аталады. Немесе әрқандай үлкен санан да үлкен болған шамаға ақырсыз үлкен шама делінеді.

Мысал. ; ;

Ақырсыз кіші шамалардың негізгі қасиеттері туралы теоремалар:

• Егер функцияның   ұмтылғандағы лимиті а-ға тең болып,  шексіз кіші шама болса онда  теңдігі орындалады.  Мысал,

 

2)Егер  d(x) шексіз кіші шама болса онда  1/d(x)  шексіз үлкен  ақырсыз  кіші шама

3)Егер ақырсыз кіші шаманың қосындысыда шексіз кіші шама болады шекті сандағы  ақырсыз кіші шамалардың қосындысы шексіз кіші шама болады .

4) Егер if(x)<m  болып d(x) ақырсыз кіші шама  болса онда  f(x) шексіз кіші шама болады.

5) d(x) ақырсыз кіші шама болып  болса  болады.

 

Функция лимитінің анықтамсы.

Анықтама: Кез-келген кіші сан Е>0 үшін у=f(x)функцияның анықталу аймағында сондай бір кіші сан   табылып   қанағаттандыратын х тер үшін  шарты орындалса А-ға f(x) функцияның дағы лимиті дейіледі. Ол былай жазылады.

 

 болғанда f(x) функцияның мәні аралығында болып  да f(x)  функця  графигі (а,А) нүктеден өтеді.

1. Шегі бар функциялардың қасиеттері.

1).  f(x) функцияның   дағы шегі бар болса онда ол шек жалғыз.

2).  болса   деп жазса болады. Бүл жерде  (x)  дағы шексіз кіші шама

3). Егерде x=a ның маңайында  шарты орындалып,  

       болса онда болады.

4). Тұрақты санды функция шегінің алдана шығаруға болады.

 

5). Егер ,   болып А және В const болса онда.

    А).   

Алгебралық жиындының лимиті қосылушылар лимиттерінің алгебралық жиындысына тең.

Б).

Көбейтіндінің лимиті көбейушілер лимиттерінің көбейтіндісіне тең.

 

Тамаша лимиттер.

А). Бірінші тамаша лимит.

                                  Теорема

Дәлелі:  0А=1 сызбадан  десек АВ=sinx   0В=cosx және CD=tgx  болады.

Сонымен бірге     (1)

                                  (2)

(2)ні  ке көбейтсек онда    болады  немесе  

Лимиті бар функциялардың 4-ші қасиетінен  келісіп шығарады.

Мысалдар:

1)  

 

2) 

3)

 

Б). Екінші тамаша лимит.

Теорема:  сан тізбегінің шегі  да 2 мен 3 арасындағы санға ұмтылады.

Дәлелі: ді Ньютон биномы     бойынша жіктейік. Бұл жерде x=1    болғандығы үшін

 болғанда (1)-дің барлық мүшелері оң таңбалы және олар     (2)  сан тізбегі сәйкес мүшелерінен үлкен емес,  ал (2) нің жақша ішіндегі бөлігі  болған кемейуіші геометриялық прогрессия . Сондықтан   теңсіздігі орындалады.  Яғни  ті аламыз.

Анықтама:     е  иррационал сан болып ол 2,7182818284… ке тең.

Теорема:   

Дәлелі.

 ден  келіп шығады.

 

 

Мысалдар:

1)

2)

 

 

 

 

Әдебиеттер:

негізгі:

1.Темірғалиев Н.” Математикалық анализ, І т, Алматы 1987

2.Фихтенгольң г.т “Математикалық анализ негіздері,” І т Москва 2003ж

қосымша:

1. Н.С.Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчесления І, ІІ том, Москва, 1988 г.
2. В.П.Минорский, «Сборник задач по высшей матеамтике», Москва, «Наука» 1987 г.