Жоспар
1.Ең үлкен ортақ бөлгіш және ең кіші ортақ еселік
2.Ең үлкен ортақ бөлгішті және ең кіші ортақ еселікті сандар
- Алгоритмдердің негізі қасиеттері
12 және 8 сандарын алып, олардың бөлгіштерін жазайық:
12={1,2,3,4,6,12}
8={1,2,4,8}7
12 және 8 сандарының ортақ бөлгіштері бар. Олар: 1,2,4 сандары. Бұл сандардың арасындағы ең үлкені — 4 саны. Оны 12 және 8 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші деп атайды. Осы ұғымдарға анықтама берейік.
Анықтама: Натурал а және b сандарының ортақ бөлгіші деп осы сандардың әрқайсысына тиісті бөлгіштерді айтады.
Анықтама: Натурал а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп ортақ бөлгіштердің ішіндегі ең үлкенін айтады.
а және b сандарының ЕҮОБ-ін Б(а; b) түрінде белгілейді. СондаБ(12, 8)=4.
ЕҮОБ-нің кейбір қасиеттерін көрсетейік. Бұл қасиеттер дәлелдеусіз қабылданады.
1°. Кез келген натурал а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші әрқашан бар және ол жалғыз.
2°. а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші сол сандардың кішісінен артық болмайды, яғни, егер а< b болса, онда Б(а, b)<а.
3°. а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші сол сандардың ортақ бөлгіштерінің кез келгеніне бөлінеді.
Мысалы, 12 және 8 сандарының ортақ бөлгіштері 1,2,4, ал 4 саны ең үлкен ортақ бөлгіш. Көріп отырғанымыздай 4 саны 1-ге де, 2-ге де және 4-ке де бөлінеді.
Тағы да 12 және 8 сандарын алайық және осы сандарды әрқайсысына еселік сандардың бірнешеуін жазайық. Сонда12={12,24,36,48,60,72,84,…} 8={8,16,24,32,40,48,56,72,…}.
12 және 8 сандарының ортақ еселіктері бар. Олар: 24, 48,72,… Олардың арасында ең кішісі — 24 саны. Оны 12 және 8 сандарының ең кіші ортақ еселігі деп атайды.
Анықтама: Натурал а және b сандарының ортақ еселігі деп, осы сандардың әрқайсысына бөлінетін кез келген натурал санды айтады.
Анықтама: Натурал а және b сандарының ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп, ортақ еселіктердің арасындағы ең кішісін айтады.
а және b сандарының ЕКОЕ-ін К(а, b) түрінде белгілейді. Сонда К(12, 8)=24. ЕКОЕ-нің кейбір қасиеттерін көрсетейік. Бұл қасиеттер дәлелдемесіз қабылданады.
1°. Кез келген натурал а және b сандарының ең кіші ортақ еселігі әрқашан бар және ол жалғыз болады.
2°. а және b сандарының ең кіші ортақ еселігі сол сандардың үлкенінен кем болмайды, яғни, егер aib болса, онда Е(а; b)>а.
3°. а және b сандарының ортақ еселіктерінің кез келген ең кіші ортақ еселікке бөлінеді.
Мысалы, 12 және 8 сандарының ең кіші ортақ еселігі — 24 саны 48:24, 72:24 және т.б.
а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселігі өзара байланысқан.
Жоғарыда біз К(12, 8)=24, ал Б(12, 8)=4 екендігін тағайындаған болатынбыз. 12 және 8 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселіктерін көбейтеміз: Е(12, 8)=24, Б(12, 8)=24 • 4=96. Енді берілген сандардың өздерінің көбейтінділерін табайық: 112•8=96. Көріп отырғанымыздай, бұл көбейтінділердің мәндері тең. Бұл кездейсоқтық па? Салдар: екі натурал санның ең үлкен ортақ бөлгіші мен олардың ең кіші ортақ еселігінің көбейтіндісі осы сандардың көбейтіндісіне теқ: Е(а, b) • Б(а, b)=а • b
Бұл теңдік ең кіші ортақ еселік немесе ең үлкен ортақ бөлгіштің біреуі белгілі болған жагдайда екіншісін табуға мүмкіндік береді:
Ең үлкен ортақ бөлгішті және ең кіші ортаң еселікті сандарды жай көбейткіштерге жіктеу тәсілі арқылы табу
Санды жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазуды сол санды жай кебейткіштерге жіктеу деп атайды.
Мысалы, 110=2 • 5 -11.110 санын жай көбейткіштерге жіктедік деп айтуға болады. Жалпы, кез келген құрама санды жай көбейткіштерге жіктеуге болады. Мұнда жай көбейткіштердің орналасу реті маңызды емес.
Сандарды жай көбейткіштерге жіктеу кезінде сандардың 2-ге, 3-ке, 5-ке, т.б. бөлінгіштік белгілері қолданылады. Мысал: 720 санын жай көбейткіштерге жіктеу керек болсын. 720 саны 2-ге бөлінеді. Ендеше, 2 саны 720-ның жай көбейткіштердің біреуі болады. 720 санынан кейін теңдік белгісін қоямыз да 2-ні жазамыз, ал 720-ның астына 360-ты жазамыз. Енді 360-ты 2-ге бөлеміз. Сонда 180 шығады. 180-ді 2-ге бөлеміз, 90 шығады, 90-ды 2-ге бөлеміз, 45 шығады, оны 3-ке бөлеміз, 5 шығады. 5-ті 5-ке бөлеміз, 1 шығады. Санды жай көбейткіштерге жіктеу процесі аяқталды. Оны «баған» түрінде былай жазуға болады:
720=2•2•2•2•3•5 немесе 720 2
360 360 2
180 180 2
90 90 2
45 45 3
15 15 3
5 5 5
1 1
Бірдей көбейткіштерді олардың дәрежесімен алмастыруға болады. Сонда: 720=24 • 32 • 5.
Сандарды жай көбейткіштерге жіктеу олардың ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселігін табуда қолданылады. Мысалы, 3600 және 288 саңдарының еқ үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселігін табу керек болсын. Ол үшін сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз.
3600=2•2•2•2•3•3•5•5=24 •32•52
1800
900 288=2•2•2•2•2•3•3=25•32
450 144
225 72
75 36
25 18
5 9
1 3
1
Ең үлкен ортақ бөлгішті табу үшін екі санның да жіктелуіне кіретін жай көбейткіштерді ғана және ең кіші дәреже көрсеткішімен алынады. Сондықтан 3600 және 288 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішінің құрамына 24 және 32 сандары кіреді. Сонда: Б(3600, 288)= 24•32=144.
Ең кіші ортақ еселікті табу үшін екі санның ең болмағанда біреуінің жіктелуіне кіретін жай көбейткіштерді және еқ үлкен дәреже көрсеткішімен алады. Сондықтан 3600 және 288 сандарынық еқ кіші ортақ еселігі Б(3600, 288)= 24 • 32 =144.
Жалпы, берілген сандардық ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін:
1) Берілген сандарды жай көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде жазу.
- Екі санның да жіктелуіне кіретін жай көбейткіштерді ең кіші дәреже көрсеткішімен алу.
- Осы көбейтіндінің мәнін табу. Шыққан нәтиже берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші болады.
Ең кіші ортақ еселікті табу үшін:
- Берілген сандардың әрқайсысын жай көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде жазу.
- Екі санның ең болмағанда біреуінің жіктелуіне енетін жай көбейткіштерді еқ үлкен дәреже көрсеткішімен алу.
3) Осы көбейтіндінің мәнін табу. Шыққан нәтиже берілген сандардың ең кіші ортақ еселігі болады.
1-мысал. 60, 525 және 264 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең кіші ортақ еселіктерін табайық. 60=22 •3•5, 252=22 • 32 • 7, 264=23 • 3 • 11.
Б(60,252,264)=23-3=12.
Е(60,252,264)= 22 • 32 • 7 • 11=27720.
2-мысал. 48 және 245 сандары үшін ең үлкен ортақ бөлгішті және ең кіші ортақ еселікті табайық: 48=24 • 3, 245=5•72
Б(48, 245)=1, Е(48, 245)=10760.
АЛГОРИТМДЕР
Туғаннан бастап баланы тәрбиелеу олардан әртүрлі ережелерді/ертеңгісін жуыну, киіну және шешіну, тамақ ішу, жолдан өту және т.б./ меңгеруді және қатаң орындауды талап етеді. Одан әрі бала-бақшада және мектепте тәрбиеленушінің орныққан күн тәртібі болады және оларды оқыту белгілі бір ретпен өтеді, ал барлық мүмкін болатьш ойындар ереже бойынша ұйымдастырылады. Демек, кез-келген іс-әрекет анықталған жарлық /ұйғарым/ бойынша жүзеге асады, яғни анықталған алгоритм бойынша орындалады. Адам жас кезінен бастап-ақ күнделікті өмірде көбінесе, оның не екенін білмесе де әр алуан алгоритмдерді меңгереді және орындайды.
Алгоритм дегеніміз не? Бір типті /типтес/ мәселелер, айталық көп таңбалы екі санды қосу, көшеден өту, кесіндінің ұзындығын өлшеу және т.б. жиі кездеседі. Берілген типтес /бір типті/ мәселелерді /есептердін/ кез-келген түрін шешуде пайдалануға болатын «жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?» деген сұрақтың тууы заңды.
