Дипломдық жұмыс: Физикалық процестерді зерттеудің математикалық әдістері

Мазмұны

Кіріспе……………………………………………………………………………………………3

І. Зерттелетін процестердің физикалық негіздері……………………………….5

1.1. Механикалық тербелістер……………….. …………………………….5

1.2. Электр тербелістері…………………………………………………7

1.3. Заттардың α-бөлшектерін шашыратуы. Резерфорд тәжірибесі….15

ІІ. Физикалық процестерді зерттеудің математикалық әдістері…….22

2.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді жуықтап

шешу әдістері. Эйлер әдісі……………………………………………..22

2.2. Рунге-Кутта әдісі………………………………………………….24

2.3. Ақырлы айырымдар әдісі…………………………………………..31

ІІІ. Компьютерді оқу процесінде қолдану………………………………………….33

3.1. Компьютердің физиканы оқытудағы ролі………….……………..33

3.2. Компьютерді оқытуда қолдану әдістері…………………………..34

3.3. Физикалық процестерді компьютерде моделдеу…………………35

3.4. Серіппелі маятниктің тербелісін моделдеу……………………………….35

3.5. Электрлік тербелмелі контурдағы өшетін

тербелістерді моделдеу…………………………………………………………44

3.6.Альфа-бөлшектердің шашырауы бойынша Резерфорд

тәжірибелерін моделдеу………………………………………………………..48

3.7.Өзара байланысты екі шаманың сызықтық

тәуелділігін моделдеу…………………………………………………………52

Қорытынды…………………………………………………………………………………….59

Пайдаланылған әдебиеттер…………………………………………………………….60

Қосымшалар……………………………………………………………………………………62

Кіріспе

Дипломдық жұмыстың тақырыбының өзектілігі. Дипломдық жұмыс физиканы орта мектептерде оқыту барысында қолданатын демонстрациялық бағдарламаларды құрастыруға және оның қолдану әдістемесін жасауға арналған.

Заманауи мектептердің компьютерлермен және интерактивті тақталармен толық қамтылуы мұғалім компьютермен жұмыс істеу жағынан психологиялық және кәсіптік дайын болмаса білім беруді өзгеріске алып келмейді.

Қазіргі уақытта есептеу техникасын физикалық зерттеулерде қолданудан үлкен тәжірибе жинақталған, негізгі физикалық мәселелерді шешудің жалпы әдістемелік жолы жасалған, сондайақ жалпы физикамен және теориялық физикамен қатар заманауи физиканың құрамдас бөлігі болатын физика бойынша білім стандартына кіретін жаңа пән-компьютерлік физика пайда болды деп айтуға болады.

Компьютерлік физиканың негізгі зерттеу әдісі — теориялық базасы ретінде математикалық моделдеу, ал эксперименттік базасы ретінде ЭЕМ қызмет ететін компьютерлік эксперимент болып табылады [2].

Компьютерлік модельдеу теориялық физика, сандық талдау және бағдарламалау пәндерін интеграциялайды.

Бүгінгі күнде физиканы оқытуда көптеген маңызды физикалық құбылыстар мен тәжірибелерді, олардың қиындығына байланысты құралдардың көмегімен демонстрациялық түрде көрсете алмайды. Оларды түсіндіру үшін мұғалімнен үлкен “бейнелеу мүмкіндігін” талап етеді. Міне, сондықтанда осы сияқты күрделі процестерді модельдеу үшін компьютерлік бағдарламалар жасау тенденциясы пайда болды [1-7]. Күрделі демонстрациялың компьютерлік модельдері жасалса, мұғалім бастапқы мәндерді алдын-ала дайындап, материалдарды түсіндіру барысында процестің дамуының мүмкін болар варианттарын және оларға сәйкес графиктерді эксперименттік қондырғының компьютердегі моделінің көмегімен көп уақыт жұмсамай-ақ демонстрациялауға болады.

Бұдан бөлек мұндай бағдарламаларды күрделі деңгейлі әр түрлі қосымша тапсырмасы бар практикумдарда қолдануға болады.

Дипломдық жұмыстың мақсаты:

демонстрациялық компьютерлік бағдарламаларды жасауға қажетті аналитикалық шешімдерді алу үшін моделі жасалатын физикалық процестерді зерттеу. Сандық әдістер негізінде алгоритмдер құру;
Алынған шешімдер негізінде демонстрациялық бағдарламалар жасау және лабораториялық жұмыстар құрастыру;
Құрастырылған лабораториялық жұмыстарды апробациядан өткізу.

Дипломдық жұмыс нәтижелерінің ғылыми жаңалығы:

Жұмыста алғаш рет:

“Өзара байланысты екі шаманың сызықтық тәуелдлігін моделдеу”, Серіппелі маятниктің тербелісін моделдеу”, “Электрлік тербелмелі контурдағы өшетін тербелістерді моделдеу”, “Альфа-бөлшектердің шашырауы бойынша Резерфорд тәжірибелерін моделдеу” тақырыптары бойынша 11-сыныпқа араналған лабораториялық жұмыстар құрастырылды

Ғылыми және практикалық құндылығы:

Жұмыста зерттелетін физикалық процестерге теориялық талдау жасалып және бір қатар физикалық эксперименттерді моделдеуші бағдарламалар құрастырылған.

Дипломдық жұмыстағы теориялық нәтижелер мен компьютерлік бағдарламалар әр түрлі оқу орындарында физиканы оқыту процесінде және берілген материалды өзбетінше оқып үйренуде қолдануға болады.

Автордың үлесі:

Жұмыста, қорғауға ұсынылатын және жетекшімен бірге орындалған нәтижелерде автор, есептің қойылуына, зерттеу әдісін таңдауда, теориялық талдауларға, нәтижелерді тарату мен интеграциялау әдістеріне өз үлесін қосты.

І. Зерттелетін процестердің физикалық негіздері

1.1. Механикалық тербелістер

Тербелістер туралы жалпы мәліметтер

Тербелістер деп белгілі бір дәрежеде қайталағыштығымен айқындалатын процестерді айтады. Мысалы, сағат маятнигінің тербелуі, ішектің немесе камертон таяқшасының тербелісі, радиоқабылдағыш контурының конденсатор астарларындағы кернеу және т.б. осындай қайталағыштық қасиетке ие болады.

Қайталанатын процестің физикалық табиғатына байланысты тербелістер: механикалық, электромагниттік, электромеханикалық және т.б. түрге бөлінеді. Бұл жерде механикалық тербелісті қарастырамыз.

Тербелмелі жүйеге жасалатын әсердің сипатына қарай еркін тербелістер, еріксіз тербелістер автотербелістер және параметрлік тербелістер болып ажыратылады.

Еркін тербелістер деп қозғалысқа келтірілгеннен кейін немесе орнықты қалпынан шығарылғаннан соң өзімен-өзі қалатын жүйеде өтетін тербелістерді айтады.

Еріксіз тербелістер деп тербелмелі жүйеге әлсін-әлі өзгеріп отыратын сыртқы күштің әсеріне кез болатын тербелістерді айтады.

Еріксіз тербелістер сияқты автотербелістер де тербелмелі жүйеге сыртқы күштердің әсер етуімен жүреді; алйда бұл әсерлер жүзеге асатын уақыт мезетінде тербелмелі жүйенің өзі белгілейді-сыртқы әсерлерді жүйенің өзі басқарады. Жоғары көтерілген гирдің немесе бұралған серіппенің энергиясы есебінен маятнигі түрткі алатын сағат осыған мысал бола алады.

Параметрлік тербелістер кезінде сыртқы әсер салдарынан жүйеде қандай да болсын параметрі, мысалы, тербеліс жасап тұрған шарик ілінген жіптің ұзындығы, периодты түрде өзгереді.

Гармониялық тербелістер, яғни тербелетін шама уақыт бойынша синус не косинус заңына сәйкес өзгеретін тербелістер қарапайым тербелістер қатарына жатады. Бұл тербелістер мына себептерден аса маңызды деп саналады: біріншіден табиғаттағы және техникадағы тербелістер көбінесе гармониялық тербелістерге жақын сипатта болады, және екіншіден басқа түрдегі периодты процестерді бірнеше гармониялық тербелістердің қосылуы ретінде қарастыруға болады.

Гармониялық тербелістер.

Серіппеге ілінген, массасы m шариктен тұратын жүйені қарастырайық (cурет). Тепе-теңдік күйінде mg күші kDl₀ cерпімділік күшімен теңгеріледі:

mg= kDl₀ (1.1)

Шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуын х координатасымен сипаттаймыз, әрі осін вертикаль бойынша төмен бағыттаймыз, ал осьтің нолін шариктің тепе-теңдік қалпымен үйлестіреміз.

Егер шарикті тепе-теңдіктен х-қа тең қашықтыққа ығыстырсақ, онда серіппенің ұзаруы Dl₀+х шамасына тең болады және қорытқы күштің х осіне

1-сурет.

проекциясы (бұл проекцияның жай ғана f әрпімен белгілейік) мынадай мән қабылдайды:

f=mg-k(Dl₀+x).

(1.1) формуласындағы тепе-теңдік шартын ескере отырып, төмендегіні аламыз:

f=-kx. (1.2)

(1.2) формуласындағы ығысу мен күштің бағыттары қарама-қарсы екендігін білдіреді: егер шариктің тепе-теңдік қалпынан төмен қарай (х>0) ығысса, күш жоғары (f<0) бағытталады, шарик жоғары қарай (х<0) ығысқанда күш төмен (f>0) бағытталады. Сонымен f күшінің төмендегідей қасиеттері бар: 1) ол шариктің тепе-теңдік қалпынан ығысуына пропорционал, 2) ол әр қашанда тепе-теңдік қалпына қарай бағытталған.

Біз қарастырған мысалда (1.2) күш шынында, өзінің табиғаты бойынша серпімді. Басқа тектегі күштерде де осындай заңдылық байқалуы мүмкін. Табиғатына қарамастан, мұндай күштерді квазисерпімді деп атау келісілген.

Шарикке арналған Ньютонның екінші заңы былай жазылады:

Бұл теңдеуді төмендегідей етіп түрлендірейік:

(1.3)

х-тағы коэффициент оң. Сондықтан оны мынадай түрде жазуға болады:

(1.4)

(1.3) өрнегіне (1.4) –өрнегіндегі белгілеуді қолдана отырып, мынаны аламыз:

(1.5)

циклдік жиілік.

Сонымен (1.2) түріндегі күштің әсерінен болатын шарик қозғалысы екінші реттік біртекті дифференциалдық теңдеулер арқылы зерттеледі.

Бұл гармониялық тербеліс теңдеулерінің шешуі:

х(t)= (1.6)

тербеліс амплитудасы, тербелістің бастапқы фазасы.

Тербеліс кезіндегі жылдамдық:

(1.7)

жылдамдық тербелісінің амплитудасы

(1.8)

Тербелістер кезіндегі үдеу:

(1.9)

тербеліс үдеуінің амплитудасы

(1.10)

1.2.Электр тербелістері

Актив кедергісі жоқ контурдағы еркін тербелістер

Электр тербелісі индуктивтілігі мен сыйымдылығы бар тізбекте пайда бола алады. Мұндай тізбек т е р б е л і с к о н т у р ы деп аталады. 5, а-суретте актив кедергісі нолгьге тең идеал контурдағы тербеліс процесінің жүйелі кезеңдері кескінделген.

2-сурет.

Тербелісті туғызу үшін индуктивтіліктен ажыратылған конденсаторды ток көзіне қосу керек, осының салдарынан конденсатор астарларында шамасы q_m әр атты зарядтар пайда болады (1-кезең). Астарлар арасында энергиясы шамасына тең электр өрісі пайда болады. Егер осыдан кейін электр көзін ағытып, конденсаторды индуктивтілікпен тұйықтасақ, сыйымдылық разрядтала бастайды да контур бойымен ток өтетін болады. Нәтижесінде электр өрісінің энергиясы кеми бастайды да, есесіне индуктивтілік арқылы ағып өткен токтан пайда болатын магнит өрісінің өспелі энергиясы туады. Бұл энергия шамасына тең болады.

Тізбектің актив кедергісі нольге тең болғандықтан, электр өрсінің энергиясы мен магнит өрісінің энергиясынан құралған толық энергия конденсатор астарларын қыздыруға жұмсалмастан тұрақты болып қалады. Cондықтан конденсатордағы кернеу, демек, электр өрісінің энергиясы нольге айналған мезетте, магнит өрісінің энергиясы, ендеше, ток та өзінің ең үлкен мәніне жетеді (2 кезең, осы мезеттен бастап ток өздік индукцияның э.қ. күштерінің есебінен ағатын болады). Әрі қарай ток кеми бастайды, астарлардағы заряд өзінің бастапқы q_m шамасына жеткен кезде, ток күші нольге тең болады (3 кезең). Осыдан кейінгі жерде процестер керісінше өтеді де (4 және 5 кезең), система бастапқы күйіне келеді (5 кезең), сөйтіп, барлық цикл қайтадан қайталай беретін болады. Сипатталған процестің барысында астарлардағы q заряд, конденсатордағы U кернеу және индуктивтілік арқылы өтетін і ток күші периодты түрде өзгеріске (яғни тербеліске) ұшырайды. Тербеліс электр өрісі энергиясы мен магнит өрісі энергиясының өзара айналуымен қосарласа өтеді.

5, б-суретте контурдағы тербеліс серіппелі маятниктің тербелісімен салыстырылған. Конденсатор астарларына түсірілген заряд маятникті сыртқы күштердің әсерімен тепе-теңдік қалпынан шығаруға және оған берілген алғашқы х_m ауытқуға сәйкес келеді. Бұл жағдайда серіппенің серпімді деформациясының потенциялық энергиясы пайда болады. 2 кезең маятниктің тепе-теңдік қалпынан өтуіне сәйкес келеді. Осы мезетте квази серпімді күш нольге тең болады да, маятник инерциясы бойынша қозғала береді. Осы уақытта маятник энергиясы толығынан кинетикалық энергияға ауысады да өрнегімен анықталатын болады. Осыдан кейінгі кезеңдерді салыстыруды оқушылардың өздеріне ұсынамыз.

Электр және механикалық тербелістерді салыстырудан электр өрісі энергиясының серпімді деформацияның потенциялық энергиясына ұқсастығы, ал магнит өрісі энергиясының кинетикалық энергияға ұқсастығы шығады. Индуктивтілік L — m массасының ролін, сыйымдылыққа (1/С) кері шама -серпімділік коэффициенті k-ның ролін атқарады. Ақырында, q зарядына маятниктің тепе-теңдік қалыптан ығысуы х, ал -ток күшіне жылдамдық сәйкес келеді. Төменде көретініміздей, электр және механикалық тербелістің арасындағы ұқсастық оларды сипаттайтын математикалық теңдеулерге де қолданылады.

Тербеліс кезінде сыртқы кернеу контурға түспейді. Сондықтан сыйымдылық пен индуктивтілік кернеудің кемуі қосындысы нольге тең болуы тиіс:

Бұл өрнек L-ге бөліп және қатынасын () арқылы ауыстырып, мына өрнекке келеміз:

(1.11)

Егер

(1.12)

Белгілеуін енгізсек, (1.11) теңдеуді механикалық тербелістер жайындағы ілімнен бізге жақсы таныс мынадай түрге келеді:

(1.13)

Бұл теңдеудің шешуі, біз білетін

(1.14)

функция болып табылады.

Сөйтіп, конденсатор астарларындағы заряд жиілігі (1.12) өрнегімен анықталатын гармониялық заң бойынша өзгереді. Бұл жиілік контурдың меншікті жиілігі деп аталады. Тербеліс периоды үшін Томсон формуласы деп аталатын өрнекті аламыз:

(1.15)

Конденсатордағы кернеудің зарядтан айырмашылығы 1/С көбейткіштің болуында:

(1.16)

(1.16) функцияны уақыт бойынша дифференциалдап, ток күшіне арналған

(1.17)

өрнегін аламыз:

(1.14) пен (1.17) формуланы салыстыра отырып, ток максимал мәніне жеткенінде заряд (сондай-ақ кернеу) нольге айналады, және керісінше болады деп қорытамыз. Заряд пен ток арасындағы сондай қатысты, энергетикалық түсінікті негізге ала отырып, біз бұрын анықтаған болатынбыз.

(1.16) және (1.17) формуладан

екені шығады.

(1.12) формуласы бойынша w₀ –ны ауыстыра отырып, мынаны аламыз:

(1.18)

Өшетін еркін тербелістер

Кез келген нақты контур актив кедергіге ие болады. Контурда жиналған энергия қоры осы кедергіге бірте-бірте жылуға жұмсалады, осының салдарынан еркін тербелістер өшетін болады. Тербеліс теңдеуін сыйымдылықтағы, индуктивтіктегі және актив кедергідегі кернеу кемуінің қосындысының нольге тең болуынан шығарып алуға болады:

Бұл өрнекті L-ге бөліп және i-ді арқылы, ал -ні арқылы ауыстырып, мынаны аламыз:

(1.19)

—нің контурдың w₀ меншікті жиілігінің квадратына тең екенін ескеріп және

(1.20)

белгілеуін енгізе отырып, (1.19) теңдеуін мына түрге келтіруге болады:

(1.21)

Соңғы теңдеу өшетін механикалық тербелістің дифференциал теңдеімен дәл келеді. шартында, яғни болғанда (1.22) теңдеудің шешуі мына түрге келеді:

, (1.22)

мұндағы . w₀ –ның және b-ның мәнін қойып, мынаны табамыз:

(1.23)

Сөйтіп, өшетін тербелістің жиілігі w меншікті жиілігі w₀-ден кем болады. R=0 болғанда (1.23) өрнегі (1.12)-ге ауысады.

(1.22)-ті сыйымдылық С-ға бөліп, конденсатордағы кернеуді аламыз:

(1.24)

Ток күшін табу үшін (1.22)-ті уақыт бойынша дифференциалдаймыз:

Бұл өрнекті шамасына көбейтіп, бөлгеннен:

y бұрышын анықталған

шарты бойынша енгізе отырып, былай жазуға болады:

(1.25)

, ал болғандықтан да . Сөйтіп, контурда актив кедергінің бар болуынан ток фаза бойынша конденсатордағы кернеуден -ден гөрі (R=0 болғанда озу -ні құрайды) озық кетеді.

3-cурет.

(1.22) функцияның графигі 3-суретте кескінделген. Кернеу мен токтың графигі бір-біріне түр жағынан ұқсас болады.

Тербелістің өшуін өшудің логарифмдік декрементімен сипаттау қабылдаған.

мұндағы а(t)-сәйкес шамалардың (q, U немесе і) амплитудалары.

Өшудің логарифмдік декременті амплитудасы е рет кемитін уақыт ішінде жасалған N_e тербеліс санына кері шама болады:

Тербелмелі контурды әрқашан оның мықтылығымен (Q) сипаттайды, бұл өшудің логарифмдік декрементіне кері пропорционал шама ретінде анықталады:

(1.26)

(1.26) теңдеуден контурдың мықтылығы неғұрлым жоғары болса, соғұрлым амплитуда е рет кемігенге дейін тербеліс саны жасалып үлгереді. l-ның орнына оның bT мәнін алып, мынаны табамыз:

Егер өшу аса үлкен болмаса (), деп ұйғаруға болады. Сонда

Сөйтіп, өшу баяу болған жағдайда

(1.27)

Контурдағы ток күшінің амплитудасы е^—^b^t заңы бойынша кемиді. Контурда жинақталған W энергия ток күші амплитудасының квадратына (немесе конденсатордағы кернеу амплитудасының квадратына) пропорционал болады; демек, W е^-2^b^t заңы бойынша кемиді. Период ішінде энергияның салыстырмалы кемуі мынаған тең:

Шамалы өшу кезінде (яғни l<< 1 орындалғанда) е^-2^l-ні 1-2l арқылы жуықтап ауыстыруға болады:

Бұл өрнектегі l-ны (1.26) формуласына сәйкес контурдың Q мықтылығымен ауыстырып, әрі шыққан теңдеуді Q-ға қатысты шешіп, мынаны аламыз:

(1.28)

Сонымен, баяу өшу кезінде контурдың мықтылығы контурда жинақталған энергияның осы тербелісітің бір периоды ішінде кемуіне қатынасына пропорционал болады екен.

Қорытындылай келе , яғни болғанда тербеліс орнына конденсатордың апериодты (периодсыз) разряды жүреді. Тербелмелі процестің апериодты процеске ауысуындағы контурдың кедергісі кризистік кедергі деп аталады. Кризистік кедергі R_k-нің мәні шартымен анықталады, бұдан

(1.29)

Еріксіз электр тербелістері

Еріксіз тербелісті шығарып алу үшін системаға периодты түрде өзгеріп тұратын сырттай әсер беру керек екен. Электр тербелісі жағдайында, мұны контур элементіне тізбектей қосылған айнымалы э.қ. күшін немесе контурды үзіп жіберіп, жаңа пайда болған контактіге айнымалы U кернеуін беру арқылы іске асыруға болады. Электр және механикалық тербелістердің арасындағы ұқсастықты аяғына дейін жүргізу үшін біз еріксіз электр тербелістерінің теңдеулеріне басқаша түр бере отырып, қарасытрамыз.

Контурдың элементіндегі кернеу кемулерінің қосындысын түсірілген кернеуге теңестіреміз

І токтан q зарядына өте отырып, (1.12) және (1.20) белгілеулерді пайдаланып, мына теңдеуі аламыз:

Бұл еріксіз механикалық тербелістің дифференциал теңдеуімен бірдей. Осы теңдеудің дербес шешуі мына түрде болады:

, (1.30)

мұндағы

(1.31)

(1.32)

Егер (1.30) дербес шешуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешуін қоссақ, жалпы шешуді аламыз. Бұл шешу алдынғы параграфта алынған болатын, мұнда экспоненциал е^—^b^t көбейткіш бар, сондықтан тербеліс басынан саналатын жеткілікті уақыт аз болып шығады, оны елемеуге болады. Демек, орныққан еріксіз тербелісіміз (1.30) функциямен сипатталады екен. Алдыңғы тарауда тек орныққан ток пен кернеудің ғана қарастырылғанын ескертелік.

Заряд q-ды сыйымдылық С-ге бөліп, конденсатордағы кернеуді аламыз:

мұндағы

(1.33)

(1.30) функцияны t бойынша дифференциалдай отырып, контурда орныққан токты табамыз:

(1.34)

Ток амплитудасының өрнегімен сәйкес келетін мәні төмендегіше болады:

(1.35)

(1.35)-ке j=y-p/2 белгілеулерін енгізе отырып, біз (1.32)-ге сәйкес мынаны аламыз:

q заряды үшін резонанстық жиілік пен конденсатордағы U_С кернеу мынаған тең:

(1.36)

4-суретте U_С үшін резонанстық қисықтық кескінделген (q-дың резонанстық қисықтығы да дәл осындай). Бұлар механикалық тербелістер үшін алынған резонанстық қисықтармен ұқсас. w®0 болғанда резонанстық

4-сурет.

қисықтар -ға-конденсаторды қосқанда, онда пайда болатын кернеуге ұмтылады. Неғұрлым b=R/2L аз болса, яғни неғұрлым конденсатордағы актив кедергі аз, индуктивтілік көп болса, резонанс кезінде максимум соғұрлым жоғары, әрі сүйірлеу болып келеді.

Ток күші үшін резонанстық қисықтар 5-суретте кескінделген. Бұлар механикалық тербеліс кезіндегі жылдамдықтың резонанстық қисықтығына сәйкес келеді. (1.35) ток күшінің амплитудасы wL-1/wC=0 болғанда максимал мәнге ие болады. Демек, ток күшінің резонанстық жиілігі контурдың меншікті жиілігі w₀-ге дәл келеді. І_m осіндегі резонанстық қисықпен қиылысатын кесінді нольге тең-кернеу тұрақты болғанда конденсаторы бар тізбектегі орныққан ток ағып өте алмайды.

5-cурет.

Өшу аз болғанда () кернеудің (1.38) резонанстық жиілігін w₀-ге тең деп ұйғаруға болады:

(1.33) формуласы бойынша U_cmрез резонанс кезінде конденсатордағы кернеу амплитудасының U_m сыртқы кернеу амплитудасына қатынасы бұл жағдайда мынаған тең болады:

мұндағы Q-контурдың мықтылығы.

Контурдың мықтылығы резонанстық қисықтықтың сүйірлігін де сипаттайды.

1.3. Заттардың α-бөлшектерін шашыратуы.

Резерфорд тәжірибесі

Кіріспеде айтып өткендей, атом құрылымы туралы дұрыс ұғымға ғалымдар бірден келек қойған жоқ. Жүргізілген зерттеулердің нәтижесінде 1900 жылы электрон барлық атомдардың құрамында болатыны анықталды. Ал олай болса, атом массасы тек қана электрон массасымен анықтала ма, алде атом ішінде электронның теріс зарядын бейтараптайтын заряд орналасқан ба? Міне осы және басқа сұрақтарға жауап беру үшін әр түрлі елдердің ғалымдары атом моделін ұсынды. Модель белгілі бір зерттелетін физикалық дененің, құбылыстың немесе денелер, құбылыстар жүйесінің ой түсінігі арқылы немесе материалды түрде жасалған шартты үлгісі. Модель жасау түсініксізнемесе аз зерттелген денені, құбылысты бұрыннан жақсы мәлім әрі зерттелген денелермен, құбылыстармен осы құбылыстың, дененің моделі ретінде салыстыру жолымен зерттеуге немесе түсіндіруге мүмкіндік береді.

Атомның бірінші моделін 1902-1904 жж. Дж. Томсон ұснған. Бұл модель бойынша оң зарядталған біртекті атом массасына тербелмелі қозғалыста болатын теріс зарядты электрондар орналасқан, яғни атом бейнелеп көрсетсек «мейіз қосылған булка нан» сияқты (мейіз түйірлері электрон ролін атқарады), оң заряд атомның бүкіл көлемін түгелдей жайлайды деген (6-сурет).

Бұл модель термоэлектрондық эмиссия кезінде электрондардың ытқып шығуын, атомның электромагниттік толқындарды шығаруын, иондардың пайда болу процестерін және т.с.с. құбылыстарды түсіндіре алады. Әрине, Томсон моделі атом туралы ілімнің дамуында белгілі роль атқарды.

Ағылшын ғалымы Резерфорд 1908-1911 ж.ж. жүогізілген тәжірибелерінде

6-cурет. атом ішіндегі зарядтың таралуын зерттей

отырып Томсон моделінің қате екенін дәлелдеді. Резерфорд тәжірибелерінде жұқа алтын фольга арқылы өткендегі α-бөлшектердің шашырауын қарастырды (алтынның созымдылық қасиеті өте жоғары, одан өте жұқа фольга жасауға болады). Тәжірибеде қолданылған фольга қалыңдығы—6∙10^{-7 м шамасында. Моноэнергетикалық, яғни энергиялары 7,68 МэВ α-бөлшектердің көзі ретінде радиоактивтік препара-Ро-214 қолданылған.}

1909 ж. Жүргізілген тәжірибелерінен Резерфорд α-бөлшектердің заряды оң, ал шамасы 2е-ге тең, екенін тапқан еді. α-бөлшектердің шашырауын зерттейтін құралдың схемасы 7-суретте берілген.

7-сурет.

α-бөлшектер көзінен шыққан бөлшектер қорғасын коллиматорлардан өтіп өте жіңішке шоқ ретінде алтын фольгаға түседі (қорғасын α-бөлшектерді жақсы жұтады). Алтыннан шашыраған α-бөлшектер күкіртті мырыш )цинк) шағылған экранға түскен. Экранға түскен әр бір бөлшек экранда жарықтың жылтылдауын (сцинтиляциясын) туғызады. Көптеген α-бөлшектер фольгадан өткенде өзінің әуелгі бағытын сақтаған, немесе әуілгі бағытын кішкене φ бұрышқа ауытқыған бөлшектер микроскоп экранына түседі. α-бөлшектер ауаның молекуласына соқтығыспас үшін құрал түгелімен вакуум ыдысқа орналастырылған. Шашыраған бөлшектердің аз ғана бөлігі 135-150°-қа ал кейбіреулері тіпті 180°-қа жақын бұрышпен кері бұрылған (шамамен 20 000 бөлшектен біреуі).

8-сурет.

Алдын ала есептеулерге қарағанда, Томсон модельі бойынша, α-бөлшектер бастапқы бағытынан тек қана кішкене (1°-4°) бұрышқа ауытқуы керек еді, себебі Томсон атомының ішіндеге электр өрісі әлсіз болуы керек, біркелкі зарядталған шардың электр өрісі оның бетінде максимал болып шардыңцентріне жақындаған сайын нольге дейін кемуі керек. Тәжірибелердің қортындысына қарап, кейбір α-бөлшектердің үлкен бұрышпен шашырауын Томсон модельімен түсіндіруге мүмкін болмады. Бұл құбылысты түсіндіру үшін Резерфорд оң зарядталған бөлшектер алтын

фольгадан өту жолында шама жағынан үлкен оң зарядқа және үлкен массасы денеге кездеседі де одан Кулон заңы бойынша кері тебіледі деп есептеді, яғни атомның оң заряды оның бүкіл көлеміне таралған емес, белгілі бір кішкене аймағына—ядроға жинақталған, оның көлемі атомның көлеміне қарағанда анағұрлым кіші.

Мұндай кішкене көлемнен α-бөлшектердің шашырау ықтималдығы аз, сондықтан көптеген бөлшектер аз ғана бұрышқа шашырайды (8-сурет).

Ядроға тікелей тура келген бөлшек қайта тебіліп үлкен бұрышқа шашырайды. α-бөлшектердің ядроға тию ықтималдығы өте аз, бірақ нольге тең емес. Ал атомның қалған көбірек бөлігін электрондар жайлайды, олардың бүкіл теріс заряды ядроның оң зарядымен бейтараптанады. Электрон массасы өте аз болғандықтан α-бөлшектердің қозғалысына әсер етпейді деп есптеген.

Резерфорд α-бөлшектердің оң заряды бар ядроның кулондық өрісінде ауытқуын теория жүзінде қарастырып, ядро зарядының шамасын есептеген. 9-суретте α-бөлшектің q заряды бар ядродан ауытқуы көрсетілген. Шашырау теориясы бойынша нысана қашықтығы дгеніміз, егер α-бөлшектің тебу күші болмаса, ядроға ең жақын келетін арақашықтық р. Кулон күші әсерінен кейбір α-бөлшек өзінің траекториясын өзгертіп АВС сызығының бойымен қозғалады, белгілі бір φ бұрышына шашырайды. Әсер етуші Кулон күшінің шамасы:

(1.37)

9-сурет.

мұндағы q_α=2e-α- бөлшектің заряды, r—α-бөлшек пен ядроның центрлерінің арақашықтығы, ε₀-электрлік тұрақты. Нысана арақашықтығы р өзгергенде шашырау бұрышы φ әр түрлі болады. Ал, ядроға тура бағытталған α-бөлшектің нысана қашықтығы р=0 болады да, бір D нүктесіне дейін келіп, ең минимал r₀ арақашықтығында кейін бұрылады. α-бөлшектің ядромен әсерлесуін сипаттау үшін dΩ денелік бұрышпен шашыраған конустық бетпен шектелген dφ бұрышы бар денелік бұрыш ішіндегі α-бөлшек санын білу қажет. 10-суретте осындай кішкене бұрышпен шашыраған α-бөлшектер электрондағы С сақинасына, ал Резерфорд тәжірибесінде микроскоп экранына түсіп жылтылдау туғызады.

10-сурет.

Фольгаға бағытталған бүкіл α-бөлшектердің тығыздығы, яғни бірлік уақытта бірлік ауданға түсетін бөлшек саны n₀, ал кішкене ғана элементар dΩ денелік бұрыш ішінде шашыраған α-бөлшек саны dn болсын делік. Осы жалпы нысанаға бағытталған α-бөлшектердің ішінен dΩ денелік бұрышының ішінде шашыраған бөлігін алсақ, бұл шашыраудың эффективтік қимасы деген шаманы береді. Dσ атом физикасында жиі қолданылатын шама, өлшем бірлігі-м², яғни өлшемі аудан өлшеміндй. Атом физикасыда көбінесе қолданылатын өлшем-барн (б), 1б=10^-20м². эффективтік қима шашырату центрінің ерекшелігімен сипатталады. Сонда Резерфорд бойынша шашырау теориясына сүйенсек, α-бөлшек пен ядроны оң нүктелік зарядтар, олар бір-біріне Кулон заңы бойынша әсер етеді деп есептесе, dΩ бұрышының ішіндегі шашыраған α-бөлшектер санын табуға мүмкіндік болады:

(1.38)

мұндағы Е- α-бөлшектің жалпы энергиясы. (1.38) формуласы Резерфорд форуласы деп аталады. (1.38) формуласын өзгертіп, келесі түрде жазамыз:

(1.39)

Тәжірибеде қарастырған α-бөлшектер моноэнергетикалық болғандықтан, (1.39) формуласындағы шамасы тұрақты болуы керек. Оқушылары Гейгер мен Марсденнің жүргізген тәжірибелерінің нәтижесінде Резерфорд тәжірибесінің дұрыстығы дәлелденді. Мысалы, тәжірибенің бір сериясында 150000 жылтылдау тіркелген, соның нәтижелерін төменгі 1-кестеде қарастырамыз:

1-кесте. Алтын фольгадан α-бөлшектердің шашырауы.

Шашырау бұрышы, градус		Жылтылдау саны
150	1,15	33	29
135	1,38	43	31
105	2,53	70	28
75	7,25	211	29
45	46,6	1435	31
15	3445	132000	38

1-кестеден шашырау бұрышы φ өзгеруіне байланысты sin⁴ (φ/2) мөлшері 3000 есе өзгергенінің өзінде dn=sin⁴ (φ/2) көбейтіндісі шамамен тұрақты екені көрінеді. Ал егер Томсон моделі бойынша оң заряд атомның бүкіл көлеміне таралған деп есептесек, мұндай заңдылық болмаған болар еді. Міне, сонымен Резерфордтың атомның бүкіл оң заряды ядроға жиналған деген тұжырымы дұрыс болып шықты.

Тәжірибелерін қортындылай келе Резерфорд атомның ядролық моделін ұсынды, оны кейде атомның планетарлық моделі деп атайды. Ол бойынша атом оң зарыдталған ядродан және ядроны айналып қозғалатын электрондардан тұрады. Атомның бүкілдерлік массасы ядроға шоғырланған. Резерфорд формуласын пайдаланып ең бірінші рет атом ядросының зарядын табуға мүмкіндік болды. Әр түрлі металдармен істелген тәжірибелердің нәтижесінде (1.38) формуласындағы q=Ze екені дәлелденді, Z-Менделеев таблицасындағы элементтің реттік номері, е—электрон заряды, яғни периодтық системадағы элементтер номерінің физикалық мағынасы түсіндірілді. Ал, атом негізінен бейтарап болғандықтан ядроның оң зарядының шамасы Ze болсы, атомдағы ядроның саны Z-ке тең болуы керек.

9-суреттегідей, α-бөлшектің ядроға тура бағытталған (р=0) жағдайын қарастырса, ядроның мөлшерін шамалауға болады, яғни α-бөлшек пен ядроның ең жақындасатын минимал арақашықтығы r₀ шамамен ядроның радиусына тең деп алуға болады. r₀-дің сандық мәнін шамалау үшін α-бөлшектің ядромен орталық соқтығысуын қарастырамыз, шашырау бұрышы 180°-қа тең деп аламыз. Энергияның сақталу заңы және айналу заңы бойынша α-бөлшектің ядромен ең жақын арақашықтыққа келгендегі кинетикалық энергиясы ядромен әсерлесудің потенциалдық энергиясына айналады:

(1.40)

мұндағы m=6,6∙10^-27кг- α-бөлшектің массасы, V=1,9∙10⁷ м/с-осы ядродан алыстаған бастапқы жылдамдығы, алтынның Менделеев табицасындағы нөмері Z=79, электрон заряды e=1.6∙10^-19Кл, ал q=Ze, q_α=2e; сонда (1.40) формуласынан:

м (1.41)

Міне бұдан, алтын атом ядросының мөлшері табылған r₀ шамасынан кем болуы керек. Қазіргі өлшеулер бойынша ядро радиусы 10^-15м, ендеше ядро атомынан 100 000 есе кіші.

Атом ядросының массасы атом массасына тең деп лауға болады, себебі электрон массасы ядро массасына қарағанда шамамен мың есе аз болады. Ядро массасы мен радиусын білсе, ядро «затының» тығыздығын табуға болады. Мысалы, сутегі атомының массасы m_н=1,67∙10^{-27 кг, м, сонда ядро тығыздығы:}

т/см³

Ядро тығыздығы өте үлкен шама екен: 1 см³ көлемде миллиард тонна.

Әрине, атомның Резерфорд моделі атом ілімінің дамуына үлкен әсерін тигізді, атом табиғатын дұрыс түсінуге мүмкіндік берді. Бірақ Резерфорд моделінің классикалық электродинамика тұрғысынан елеулі кемшіліктері болды.

1) Электрон ядроны айналып қозғалады, онық қозғалысы үдемелі қозғалыс болғандықтан, ол үнемі электромагниттік энергия шығаруы тиіс, яғни электромагниттік толқын шығаруы керек, ал олай болса электрон энергиясы азая береді. Электрон мен ядро арасы жақындай беріп аз уақыт өткенде электрон ядроға құлап түсуі тиіс. Атом бұзылуы керек. Ал күнделік тәжірибеден атом өте беріс система екені белгілі.

2) Электрон ядроға жақындай берген сайын айналу периоды үздіксіз кеми береді. Осы кезде шығарылған электромагниттік толқындардың жиілігі үздіксіз артып отырады. Сөйтіп атомның шығарған электромагниттік толқын спектрі үздіксіз болуға тиіс. Өмірде атомның шығарған спектрі үздікті, сызықты спектр болып табылады. Мысалы, сутегі атомының спектрлері—сызықты спектрлер.

ІІ. Физикалық процестерді зерттеудің математикалық әдістері

2.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістері. Эйлер әдісі

Бастапқы шарты

болатын мынадай дифференциалдық теңдеу

(2.1.1)

берілсін.

Жеткілікті кіші һ қадамды таңдап, бірдей қалушы нүктелер жүйесін құрамыз

(2.1.2)

M₀ (x_0,y₀ ) нүкте арқылы өтетін нақты интегральдық қисықты, төбелері М_і(х_і, у_і) (і=0, 1, 2, …….) болатын M₀M₁M₂……… сынық бөліктермен алмастырамыз (11- сурет). М_і М_і+1 бөліктер х=x_i, x=x_i+1 тік сызықтардың

11-сурет.

арасында түзу сызықты болады және мынадай

(2.1.3)

көтерілу бар (Эейлер сынығы деп аталтын).

Сөйтіп, әрбір төбедегі М_і Эйлер сынығы М_і М_і+1 бөлігінің бағыты М_і төбе арқылы өтетін теңдеуі (2.1.1) болатын интегралдық қисықтың бағытымен сәйкес келеді.

(2.1.3) формуладан у_і төмендегі формула бойынша анықтауға болатындығы шығады (Эйлер әдісі)

және

(2.1.4)

Эейлер сынығын геометриялық салу үшін P(-1,0) полюсін таңдаймыз және ордината осіне сынықтарын саламыз (11-сурет). Көрініп тұрғандай, РА₀ сәулесінің бұрыштық коэффициенті -ға тең болады, сондықтан да, Эйлер сынығының бірінші бөлігін алу үшін М₀ нүктесінен РА₀ сәулесіне параллель M₀M₁ түзуін x=x₁ тік сызықпен қандай да бір M₁(x₁, y₁) нүктеде қиылысқанша жүргізсек жеткілікті.

12-сурет.

M₁(x₁, y₁) нүктесін бастапқы деп санап, ордината осіне кесіндісін саламыз және M₁ нүктесі арқылы M₀M₁|| ОА₁ түзуін x=x₂ тік сызығымен M₂ нүктесіне қиылысқанша жүргіземіз және т.с.с.

Эйлер әдісі дифференциалдық теңдеуді қарапайым сандық интегралдау болып табылады. Оның кемшіліктер:

дәлдігінің аздығы;
қателіктердің жүйелі жинақталуы.

Егер (1) теңдеудің оң жағы үзіліссіз болса, онда h®0 кезінде Эйлер сынығының тізбегі жеткілікті кіші [х₀, х₀+Н] кесінді де бірқалыпты нақты интегралдық қисыққа ұмтылады.

Эйлер әдісі дифференциалдық теңдеулер жүйесіне оңай қолданылады.

Мысалы.Эйлер әдісін қолданып, [0, 1] кесіндісінде

(2.1.5)

дифференциалдық теңдеудің мына бастапқы шартты у(0)=1 қанағттандыратын интегралының мәндерінің кестесін һ=0,1 қадаммен құрыңдар.

Шешуі.Есептеу нәтижелері 2-кестеде келтірілген. Салыстыру үшін соңғы бағанда дәл шеімнің мәндері орналастырылған.

Келтірілген кестеден көрініп тұрғандай у₁₀ мәнінің абсолют қателігі e₀=0,0361 болады.

Салыстыру үшін дәл шешімнің және сәйкес M₀M₁M₂…Эйлер сынықтарының графигін келтіреміз (12-сурет).

2-кесте. Дифференциалдық теңдеуді Эйлер әдісімен интегралдау

і	х	у			Дәл мән
0	0	1	0	0	1
1	0,1	1	0,05	0,005	1,0025
2	0,2	1,005	0,1005	0,0101	1,0100
3	0,3	1,0151	0,1523	0,0152	1,0227
4	0,4	1,0303	0,2067	0,0206	1,0408
5	0,5	1,0509	0,2627	0,0263	1,0645
6	0,6	1,0772	0,3232	0,0323	1,0942
7	0,7	1,1095	0,3883	0,0388	1,1303
8	0,8	1,1483	0,4593	0,0459	1,1735
9	0,9	1,1942	0,5374	0,0537	1,2244
10	1,0	1,2479			1,2840

2.2. Рунге-Кутта әдісі

Бастапқы шарты

болатын бірінші реттік дифференциалдық теңдеу

(2.2.1)

берілсін. һ қадамды таңдап және қысқаша болу үшін мынадай белгілеу енгіземіз және .

Мынадай санды қарастырамыз:

(2.2.2)

Кәдімгі Рунге-Кутта әдісіне сәйкес у нақты функцияның у_і мәндерінің тізбегі мына формуламен анықталады:

мұндағы

. (2.2.3)

Бұл әдістің әрбір қадамдағы қателігі һ² ретті шама екендігін дәлелдейміз.

(2.2.4)

болсын.

Ағымдағы х нүктесі үшін Dу өсімшесіні (2.2.2) формуламен анықталатын кейбір орташа ілінген шамалар түрінде көреміз:

(2.2.5)

a, b, g, d тұрақтыларды төмендегі Тейлор формуласымен есептелген Dу өсімшесі:

(2.2.6)

Һ⁴ реттік мүшесімен бірге (2.2.5) формуламен есептелетін Dу шамасымен сәйкес болатын шарттан анықталады.

Біздің міндетіміз –(2.2.3) формуладағы коэффициенттер осы мағанада тамаша болып табылады.

туындылар тізбегін (2.2.1) теңдеуден табамыз. Ыңғайлы болу үшін мына операторларды енгіземіз

мұндағы -(2.2.1) теңдеудің оң жағы.

Мынаны көреміз

және

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданып, (2.2.1) теңдеуден мынаны табамыз

Бұдан,

(2.2.7)

Ары қарай екі айнымалы функция үшін Тейлор жіктеуін қолданамыз:

һ⁴ дейінгі дәлдікке дейін табамыз

және

Бұл өрнекті (5) формулаға қойып, мынаны аламыз

Анық жазылған бұл жіктелуідің коэффициенттерін (2.2.7) формуланың сәйкес коэффициенттеріне теңестіріп, a, b, g және d тұрақтыларын анықтау үшін сегіз теңдеулер жүйесін аламыз:

(2.2.8)

Жүйе жалғыз шешімге ие екендігін оңай тексеруге болады

Сөйтіп,

(2.2.9)

осылайша біздің тұжырымымыз дәлелденді.

(2.2.9) формула төртінші реттік дәлдікке тең.

(2.2.3) формула бойынша есептеу үшін 3-кестеде келтірілген схеманы қолданған ыңғайлы.

3-кесте. Рунге –Кутта әдісінің схемасы

І	х	у	k=hf(x,y)	Dy
0
—	—	_—	—
1	x₁	y₁	………	……

Рунге-Кутта әдісі айтарлыққай дәлдікке ие және өзінің көлемділігіне қарамастан компьютердің көмегімен дифференциалдық теңдеулерді сандық шешкенде кеңінен қолданылады. Бұдан басқа бұл әдістің маңызды мүмкіндігі бұл “айнымалы қадамды” қолдану болып табылады.

Мысалы 1. Рунге-Кутта әдісімен

, (2.2.10)

дифференциалдық теңдеудің [0; 0,5] кесіндідегі интегралын есептеңдер. Қадам һ=0,1.

Шешуі. Процестің басталуын көрсетеміз.

у₁ есептеу.

Бұдан

және ары қарай,

Осы сияқты одан кейінгі жуықтауларда есептеледі. 4-кестеде есептеу нәтижелері келтірілген.

Сөйтіп, y(0.5)=1,7974.

Cалыстыру үшін дәл шешімді келтіреміз:

Бұдан

4-кесте. (2.2.10) дифференциалдық теңдеуді Рунге-Кутта әдісімен интегралдау

і	Х	y	k=0.1(x+y)	Dy
0	0 0.05 0.05 0.1	1 1.05 1.055 1.1105	0.1 0.11 0.1105 0.1210

1	0.1 0.15 0.15 0.2	1.1103 1.1708 1.1763 1.2429	0.1210 0.1321 0.1326 0.1443

2	0.2 0.25 0.25 0.3	1.2427 1.3149 0.3209 1.3998	0.1443 0.1565 0.1571 0.1700

3	0.3 0.35 0.35 0.4	1.3996 1.4846 1.4904 1.5836	0.1700 0.1835 0.1840 0.1984

4	0.4 0.45 0.45 0.5	1.5836 1.6828 1.6902 1.7976	0.1984 0.2133 0.2140 0.2298

5	0.5	1.7974

Рунге-Кутта әдісін қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жуық шешімін алу үшін қолдануға болады.

Мынадай дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілсін

(2.2.11)

және бастапқы шарты келесі түрде болсын

Һ қадамды беріп және стандарт белгілеуді және і=0, 1, 2…… енгіземізде келесіні аламыз

(2.2.12)

Рунге-Кутта әдісіне байланысты Dу₀ жуықтап мына формула бойынша анықталады

(2.2.13)

Бұдан

Ары қарай, бастапқы берілгендерді (х_1,у₁) деп алып және жоғарыдағы процесті табамыз у₂. Осыған ұқсас мыналарды есептейді

Мысал 2. Кедергісі бар ортадағы маятник тербелісінің теңдеуін Рунге-Кутта әдісімен интегралдаңдар.

(2.2.14)

Бастапқы шарттар:

Шешуі.

дей отырып, (2.2.14) теңдеуді дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде жазамыз

(2.2.15)

сондай-ақ

Қадамды таңдаймыз

Һ=Dt=0.1

және

мұндағы

және k⁽¹⁾, k⁽²⁾ компоненттерін (2.2.12) формуладан анықталады.

(2.2.12) және (2.2.13) формула бойынша есептеулер 5-кестеге орналастырылған.

5-кесте -(2.2.15) дифференциалдық теңдеулер жүйесін Рунге-Кутта әдісімен интегралдау

і	t	Q	w	k⁽¹⁾=0.1	k⁽²⁾=0.1	DQ	Dw
0	0 0.05 0.05 0.1	0.3 0.3000 0.2926 0.2854	0 -0.1478 -0.1463 -0.2855	0 -0.0148 -0.0146 -0.0286	-0.2955 -0.2926 -0.2855 -0.2810	0 -0.0296 -0.0292 -0.0286	-0.2955 -0.5852 -0.5710 -0.2810

1	0.1 0.15 0.15 0.2	0.2854 0.2710 0.2641 0.2436	-0.2888 -0.4267 -0.4184 -0.5415	—0.0289 -0.427 -0.0418 -0.0541	-0.2759 -0.2592 -0.2527 -0.2304	-0.0289 -0.0854 -0.0836 -0.0541	-0.2759 -0.5184 -0.5054 -0.2304

2	0.2 0.25 0.25 0.3	0.2434 0.2162 0.2105 0.1790	-0.5438 -0.6589 -0.6445 -0.7398	-0.0544 -0.0659 -0.0644 -0.0740	-0.2301 -0.2013 -0.1960 -0.1633	-0.0544 -0.1318 -0.1288 -0.0740	-0.2301 -0.4026 -0.3920 -0.1633

3	0.3	0.1786	-0.7418	-0.0742	-0.1647

2.3. Ақырлы айырымдар әдісі

теңдеуі мен оны қанағаттандыратын шекті шарты

мұндағы берілген [a,b] кесіндісін қадаммен тең n бөлікке бөліп, нүктелерінде мәні сандық әдістер бойынша анықталады.

Соңғы айырымдар әдісі. Соңғы айырымдар әдісіне ішкі түйіндер үшін берілген теңдеу соңғы айырымдар қатынасымен алмастырылады. Мұнда ішкі нүктелерде төмендегі теңдіктер орындалады, яғни

ал шекті нүктелер үшін х₀=а, және х_n =b және немесе нәтижеде у₀, у₁, ……., у_n белгісізді теңдеулер жүйесі алынады. Бұдан кейін теңдеулер жүйесі шешіледі.

ІІІ. Компьютерді оқу процесінде қолдану

3.1. Компьютердің физиканы оқытудағы ролі

Физиканы оқыту әдістемесінің ілгерілемелі дамуының барысында оқыту әдістері және педагогикалық еңбек технологиясы жетілдіріледі, оқу процесінің техникалық қамтылуы жақсарады және байытылады. Қарапайым құмдағы суреттен кез келген физикалық процестердің динамикасын көрсетуге және оқушылардың білімін тексеруге мүмкіндік беретін компьютерді қолдануға дейін даму – міне, оқу техникалық құралдарының эволюциясының жолы. Физиканы оқытудағы алдағы уақыттағы прогресс қуатты заманауи компьютерлерді және жергілікті және жаһандық компьютерлік желілерді оқу процесінде кеңінен қолданумен тығыз байланысты болады. Бұл болашақта кино, эпи-, диа-, графопроекцияларды , оқытушы және бақылаушы құрылғылар сияқты ауқымды оқу техникаларын оу процесінде қолданыстан шығарып тастауға мүмкіндік береді. Бірақ компьютер оқушыға физикалық құбылыспен жекпе-жек кездесіп онымен жанасуға мүмкіндік беретін “жанды” эксперименттерді оқк процесінен ығыстырады деп ойламау керек. Мұнда көрсетуге техникалық мүмкін болмайтын экперименттерді моделдеу туралы сөз болып отыр. Бұл “ойлайтын” машиналар мұғалімнің қолында өскелең ұрпаққа мейлінше тиімді білім беретін және дұрыс тәрбиелік ықпалды кеңейтетін қару болуы керек.

Бірақта компьютер барлық мәселелерді шеше алады деп санау қате түсінік. Оларды қолдану аясы барлық уақытта оқып үйренетін тақырыптың спецификасы және компьютердің көмегімен оқытылатын материалдың басты ерекшеліктерін айқын көрсету мүмкіндігімен анықталады.Сонымен физиканы тек компьютердің алдында оқып үйрену мүкін емес. Физиканы оқытудың негізі оқушылардың оқып үйренетін құбылыспен тікелей қабылдау болу қажет. Физика мұғалімі компьютерді қоданудың дидактикалық мүмкіндіктерін және қолдану тәсілдерін білуі қажет компьютерді кеңінен қолдану оқытудың барлық этаптарында келесі мүкіндіктерді береді:

оқытудың тиімділігін оқушылардың білімін жүйелі бақылауды және деңгейлеп оқытуды іске асыру жолымен арттыру;
мұғалімді бірсарынды техникалық жұмыстардан босату, оған шығармашылыққа көп уақыт бөлуіне мүкіндік туғызады;
оқушыларды өзбетінше жұмыс істеу әдістерін дамыту. Одан басқа келесілерге мүмкіндік береді:

а) бірқатар жағдайларда оқушыларға оқытылатын құбылыс туралы толық және анық мәлімет беру, компьютерлік мултипликациясының көмегімен денені салмақсыздық күйде, адамның ашық ғарышқа шығуы, магниттелген және магниттелмеген ферромагниттің домендік құрылымын көрсету;

б) оқушылардың күрделі құбылыстарды түсінуін жеңілдету үшін оның көрнекілігін арттыру механизмі туралы көрінісін жасау; сонымен компьютерлік мултипликацияның көмегімен әртүрлі текті өткізгіштердегі электр тогы, атомдық ядролардағы болатын құбылыстар туралы, элементар бөлшектердің өзара әсері туралы т.с.с. моделдік көрініс беріледі;

в) оқушыларды тез және баяу өтетін процестердің, сонымен бірге көрінбейтін құбылыстардың сипатымен таныстыру;

г) оқушыларды сыныпта көрсетуге қиындық туғызатын немесе мүмкін емес фундаменталді эксперименттермен таныстыру (Штерн, Резерфорд, Милликен, Стюарт, Кавендиш және т.с.с. тәжірибелерін):

д) политехникалық білім беру міндеттерін мейлінше сәтті шешу, яғни компьютьерлік анимация машиналардың конструкциясы, механизмдері және олардың жұмыс істеу принциптері туралы көрсетуге мүмкіндік береді. Сонымен бірге техникалық құрылғының принципиалді схемасынан оның нақты конструктивті шешіміне өтуін көрстеті (мысалы “айнымалы ток машиналары”, “Радиолокация” және т.б. );

е) оқушылардың білімін жеке қабілеттерін ескере отырып тексеруді іске асыру;

ж) оқушыларға тәрбиелік әсерді күшейту; осы мақсатта ғылыми ашылулардың тарихы туралы видеофрагменттерді қолдануға болады.

3.2. Компьютерді оқытуда қолдану әдістері

Компьютерді оқытуда келесі түрде қолдануға болады:

1) Анықтамалық құрал.

Яғни компьютерді әртүрлі текті анықтамалық ақпараттардан тұратын мәліметтер банкі сияқты қолдану. Ол әртүрлі кестелер, сызбалар схемалар, мәтіндер және бейнеслайдтар т.с.с. болуы мүмкін. Егер терминал желіге қосылған болса, онда басқа терминалдарда сақталған ақпаратты алуға болады. Ал модем болса, онда басқа елдердегі ақпараттарға қол жеткізуге болады немесе мұғаліммен байланысып одан қажетті ақпаратты алуға болады.

Видеослайдтар мұғалімге түсіндіру үшін жақсы толықтырулар болады, сонымен бірге оқушыларға материалды түсінуге көмектеседі.

2) Ақпараттық құрал.

Компьютерді видео ақпараттардың қоймасы ретінде қолдануға болады. Бұл оқу видеофильмдері, фрагменталды видеофильмдер, видеороликтер болуы мүмкін.

а) Оқу видеофильмдері – бұл тақырыптың бүкіл материалы баяндалатын видеолекциялар. Бірақта практика көрсеткендей оларды фрагменталды етіп жасап және шолу ретінде қолдану тиімді.

б) Фрагменталды видеофильм әр қайсысы фрагменттерге бөлінген бірнеше бөліктерден тұрады.

Сабақта бір ғана қажетті фрагментті немесе бірнешеуін мазмұнына қарай қолдануға болады. Тұтас фильмді жалпылау немесе қайталау сабақтарында қолданған жөн.

в) Видеоролик-бұл өте қысқа (4-5 мин) белгілі бір кішігірім сұраққа арналған оқу фильмі. Ол оны сабақ барысында органикалық қосуға есептелген.

3) Оқу құралы.

а) Оқытушы құрал. Компьютер оқушыға қажетті ақпаратты сәйкесінше толық түрде береді (электрондық оқулық), онымен оқушы өзбетінше таныса алады. Сондай-ақ бұл жағдайда мұғалім қай оқушыға қандай деңгейдегі ақпарат қажеттігін бақылай алады (яғни деңгейлік оқыту жүзеге асырылады).

б) Бақылаушы құрал. Бұл әрбір оқушының жеке қабілеттері ескерілген деңгейлік тестік бағдарламалар және электрондық есептер.

3.3. Физикалық процестерді компьютерде моделдеу

Физикада қандайда бір құбылысты оқып үйренуде моделдеу сияқты оқып үйрену әдісі өте жиі қолданылады.

Моделдеу-нақты объектінің белгілі бір қасиеттері мен байланыстарын басқа арнайы жасалған объектіде, яғни моделде оларды мейілінше тыңғылықты оқып үйрену мақсатында жаңғырту болып табылады.

Компьютер көптеген физикалық мәселелерді меңгеруді жеңілдетіп, оларды көрнекі етуге мүмкіндік беретін бағдарламалар жасауға және оларды оқу процесінде белсенді қолдануға мүмкіндік береді. Бірақ мынаны ескеру қажет, яғни ең жетілдірілген моделдің өзі құбылысты толық сипаттай алмайды, ол тек құбылыстың негізгі мейлінше маңызды сипаттамаларын зерттеудің әр түрлі дәрежесінде бастыларын бөліп алуға мүмкіндік беретін моделдерді жасау болып табылады.

Физикалық процестің әрбір моделі келесі талаптарға жауап беруі керек:

модель физикалық нақтылықтан ауытқымау қажет;
модель динамикалық болу қажет;
модельдің базасы тексерілген нәтижелерден жинақталу қажет;
модель белгілі бір аралықта әрекет ету керек;
модель физикалық құбылысты көрнекі түрде көрсету керек.

3.4. Серіппелі маятниктің тербелісін моделдеу

Серпімділік күшінің әсерінен болатын дененің тербелу процесін сан жағынан сиапттайық (серіппелі маятник). Қатаңдығы к серіппеге ілінген массасы m жүк тек қана серпімділік күшінің әсерінен горизонталь жазықтықта тербеліс жасасын. Тербелістің өшуін ескермейміз.

Ньютонның екінші заңына сәйкес:

(3.5.13)

Мұндағы m-дененің массасы, -денеге түсірілген барлық күштердің тең әсерлі күші, -осы күш тудырған үдеу. Горизонталь ось бойымен түзу сызықты қозғалатын серіппеге ілінген шарик үшін осы теңдеуді жазайық. Ох осін оңға бағыттаймыз және координатаның санақ басы ретінде шариктің тепе-теңдік күйін аламыз.Біз тербелістің өшуін ескермегендіктен (), денеге тек қана серпімділік күші әсер етеді деп есептейміз . Денеге сол серпімділік күші үдеу береді. Таңдап алынған бағытқа проекциясында қозғалыс теңдеуі келесі түрде жазылады:

(3.5.14)

Мұндағы -үдеудің Ох осіндегі проекциясы, -серпімділік күшінің сол остегі проекциясы. Бұл проекция дененің тепе-теңдік күйінен ығысуына тура пропорциональ, ал күштің проекциясы мен координата қарама-қарсы таңбаға ие болады (яғни серпімділік күші барлық уақытта дененің тепе-теңдік күйден ығысуына қарама-қарсы): , мұндағы х-дененің координатасы (ығысу). Бұдан, (3.5.14) теңдеу мынадай түрде болады:

(3.5.15)

Бұл шардың серпімділік күшінің әсерінен болатын қозғалысының теңдеуі.

Оны басқаша түрде жазайық. Үдеудің проекциясын табайық:

үдеудің Ох осіне проекциясы х координатаның уақыт бойынша алынған екінші реттік туындысы екенін ескерсек, онда:

(3.5.16)

немесе

(3.5.16a)

мұндағы шамасы тербелмелі жүйенің меншікті циклдік немесе дөңгелектік жиілігі деп аталады.

Сонымен, маятниктің тербелісінің теңдеуі келесі түрде болады:

Бұл теңдеудің шешімі төмендгіше болады:

(*)

Бұл формулалар шамаларының кез келген уақыт мезетіндегі мәндерін табуға мүмкіндік береді. Олар математикалық талдауда тұрақты коэффициентті біртекті екінші реттік дифференциалдық теңдеуді шешу жолымен алынған (3.5.16а). Дененің қозғалысы айнымалы күштің әсерінен болатындықтан (яғни бірқалыпты үедмелі болмайды) есепөте күрделі болады.

Мұндай есептерді шешу үшін сандық әдіс қолданылады. Сандық әдіс жуықтау әдісі болып табылады, бірақ ол белгілі бір жағдайларда жеткілікті дәл жақсы нәтижелер алуға мүмкіндік береді. Осы әдіспен есептеулерден алынған координата мен жылдамдықтың мәндерінің дәл формула бойынша анықталған шын мәндерінен айырмашылығы болады.

Жарты интервалдар әдісінің мағанасын қарастырайық.

уақыт аралығын таңдаймыз. Оны n бірдей өте аз интервалдарға бөлеміз. Бұл бөлшектеуді сандық осте (уақыт осінде) саламыз.

t₀=0 t₁ t₂ t₃ ………… t_i-1 t_i t_i+1 ….. t_n=t_max

Dt Dt

Кіші интервалдардың саны еркімізше таңдалады. Бұл қадамдағы жуықтау әрбір бөліктегі қозғалыс бірқалыпты үдемелі деп есептеуден тұрады. Көрініп тұрғандай бұл жерде Dt шамасы біздің есептеуіміздің дәлдігін анықтайды: бұл интервал неғұрлым аз болса, соғұрлым алынған мәннің шын мәннен айырмашылығы аз болады.

Бұдан басқа, Dt интервал бағдарлама қадамы депте аталады, сондықтан да оны уақыт аралығын көрсетпей-ақ еркімізше таңдай аламыз.

Дәл (3.5.16) теңдеуден х(t) функциясының берілген нүктедегі туындысын анықтауды қолдану арқылы жуықталған теңдеуге өтейік.

(3.5.17)

(3.5.17) теңдеуде Dt =t₁— t₀ = t₂ – t₁ = … t_n — t_n-1 . Жалпы жағдайда Dt = t_і+1 — t_і деп жазуға болады, мұндағы і индекс 0 ден n-ге дейінгі (і = 0, 1, 2, 3 … , n) мәндердің барлығын жүріп өтеді. Осыған ұқсас: Dх =х_і+1 -х_і. x’=v_х және x’’=а_х екендігін ескерсек, координатаның уақыт бойынша екнші ретті туындысын былай жазуға болады:

(3.5.18)

(3.5.17) және (3.5.18) теңдеулерден көрініп тұрғандай интервал шамасы неғұрлым аз болса, соғұрлым жуықтау дәлірек болады. Сонымен қатаң дәл теңдеуден жуық теңдеуге өтуді туынды анықтамасындағы шексіз аз өсімшеден соңғысына өту арқылы жүзеге асырады.

Жартылай интервалдар әдісінің мәні келесіден тұрады:

1) жылдамдықтың мәні әрбір Dt интервалдың ортасында есептеледі, яғни төмендегі уақыт мезеттерінде

t_1/2=(t₁-t₀)/2=Dt/2

t_3/2=(t₂-t₁)/2=3Dt/2

……..

t_і+1_/2=(t_i+1-t_i)/2=(2i+1)Dt/2

………

t_n-₁_/2=(t_n-t_n-1)/2=(2n-1)Dt/2

(3.5.18)-ны (3.5.16)-ке қойып алуға болатын формула көмегімен есептеледі.

2) координатаның мәндері әрбір уақыт интервалының аяғында алынады, яғни (3.5.17) формула бойынша t₁, t₂ , t₃ … t_i-1, t_i , t_n уақыт осінің бөлу нүктелерінде есептеледі. Сонымен біз координаталар мен жылдамдықтар мәндері есептелетін нүктелерді аламыз. Бұл нүктелер бір-біріне қатысты жарты интервалға ығысқан, яғни Dt/2 шамасына х және v_x мәндерінің өзі Dt интервал арқылы есептеледі.

Онда бірінші интервалдың ортасындағы жылдамдықтың проекциясының мәні келесі шарттан табамыз

мұндағы координаталар мен жылдамдықтардағы индекстер олар есептелетін уақыт мезеттерін білдіреді.

Ал бөліміндегі Dt интервалының орнындағы оның (Dt/2) жартысы t₀ мен t_1/2 уақыт мезеттерінің бір-бірінен Dt интервалының жартысына тең шамаға қалатындығы түсіндіріледі, олай болса

Келесі уақыт мезеттерінде:

…………………………

Сонымен, кейбір уақыт мезеттеріндегі дененің жылдамдығы алдындағы уақыт мезеттеріндегі координата мен жылдамдықтың белгілі мәндері арқылы анықталады.

t₁ уақыт мезеттеріндегі дененің координатасын келесі шарттан анықтаймыз:

Алымын табайық:

бұдан

Келесі уақыт мезеттерінде

………………..

……………..

Жоғарыда айтылғандарды жалпылай отырып тербелістің дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатын негізгі теңдеуін жазсақ келесі түрде болады:

(3.5.19)

мұндағы і=0, 1, 2, ………, n.

Бұл формулалар х(t) мен v(t) тәелділік графиктерін тұрғызуға арналған берілгендер кестесін құруға мүмкіндік береді.

Жартылай интервалдар әдісі бойынша есептеу тізбегін келесі 7-кесте түрінде көрсетуге болады.

Жылдамдық бірінші интервалдың ортасында жеке (аралық) формула бойынша анықталса, ал дененің кез келген t_i уақыт мезетіндегі координатасы жалпы формула бойынша есептелетіндігіне назар аударыңдар. Одан кейінгі есептеулерде жылдамдықтың бірінші интервалын есептеуге арналған формула қолданылмайды.

Бізге белгілі, физикадағы көптеген процестер дәл шешімін табуға болмайтын дифференциалдық теңдеулермен сипатталады. Сондықтанда дифференциалдық теңдеуді шешудің жоғарыда сипатталған алгоритмі осыған ұқсас теңдеулерді шешудің жалпы схемаларының негізі ретінде қоюға болады.

7-кесте. Жартылай интервалдар әдісі бойынша есептеу тізбегі

Уақыт

Координата

Жылдамдық

t₀

y₀

v₀

t_1/2

t₁

t_3/2

t₂

t_5/2

_…………

t_i

t_i+1/2

….

y₁

y₂

……..

y_i

………

v_1/2

v_3/2

v_5/2

……..

v_i+1/2

………

Кесте файылын жүктеу.

Exel-ді қосу.
Серіппелі маятник тербелісі .xlt шаблонын ашу.

Есептің формулаларын талдау, бастапқы мәндерді, айнымалы және тұрақты шамаларды ажырату.

Кестені толтыру.

Бастапқы сандық берілгендерді: m=1кг, к=5 Н/м, t_max=10с, v₀=3м/с, x₀=0 м келесі үяшыққа енгізу
- дене массасы-D11
- серіппенің қатаңдығы –D12
- соңғы уақыт мезеті-D14
- бастапқы ығысу-D16
- бастапқы жылдамдық-D17

Теңдеуді жартылай интервалдар әдісі бойынша шешкен кезде бастапқы уақыт мезеті нөлге тең деп таңдалады: t=0 c (D13 ұяшығы).

Dt уақыт интервалын (бағдарлама қадамы), меншікті циклдік жиілікті және тербеліс периодын келесі ұяшықтарға енгізіңдер:

D15 (кіші интервалдар саны n –ді берілгендер кестесі бойынша анықтаңдар),

D18 және D19.

Берілгендер кестесін толтырыңдар (уақыт-жылдамдық; уақыт-координата).

1) G мен I бағандары уақыт мәндерінен тұрады. Екі уақыт бағанын енгізу қажетті, өйткені жылдамдық пен координатаны есептеуде әртүрлі уақыт мезеттері қолданылады. Сөйтіп G6 мен I6 ұяшықтарына уақыттың бастапқы мәні (D13 ұяшық) көшіріледі, одан кейін I7 ұяшығына t₁ уақыт мезетін есептейтін формула енгізіледі де оны төменгі ұяшықтарға көшіреді, ал G7 ұяшыққа бастапқы уақыт шамасынан Dt/2 шамасына қалатын t_1/2 уақыт мезетін есептеуге арналған аралық формула енгізіледі. G бағанындағы уақыттың одан кейінгі өзгерісі Dt интервал бойынша өту керек.

2) H және J бағандар жылдамдықтар мен координаталардың мәндерінен тұрады. Бұл бағандарды толтыру жоғарыдағыға ұқсас жүргізіледі. Олай болса, H7 ұяшығына жылдамдық бағанын толтырған кезде бірінші интервалдың жартысындағы, яғни уақыт санағының басынан Dt/2 интервалдан кейінгі жылдамдықты есептеуші аралық формула енгізіледі. Ары қарай жылдамдықты есептеу Dt қадаммен жалпы формула бойынша жүргізіледі. J7 ұяшығына уақыт мезеттеріне сәйкес координаталарды есептеуге арналған жалпы формула енгізіліп, кейін төменгі ұяшықтарға көшіріледі.

Назар аударыңдар, жылдамдық пен координаталарды есептеу үшін Уақыт бағанындағы уақыт мәндері қолданылмайды! Олар тек графиктерді тұрғызу үшін қажет.

Ескерту: Формулаларды құрастырған кезде тұрақты шамаларға абсолюттік сілтемелерді қолдануды ұмытпаңдар.

Парақтың атын өзгертіңдер, мысалы, Тербелістің теңдеуін шешуге.

Графиктерді салу.

Есептеулер нәтижесі бойынша x(t) және v(t) тәуелділік графиктерін тұрғызу қажет. Барлық жағдайда Ох осі бойынша бірдей шамалар алынатындықтан екі тәуелділікті де бір координаталар жүйесінде көрсетуге болады.

Графикке қойылатын негізгі талаптар:

— диаграмма түрі-Нүктелік немесе тегістейтін сызықтармен қосылатын мәндері бар Нүктелік диагармма;

— берілген қатарының аты: Жылдамдық, м/с және Координата, м (перне тақтаның көмегімен сәйкес алаңға енгізіледі);

-диаграмманың аты және остер бойынша салынатын өлшем бірлігі көрсетілген координата остерінің аты келесі түрде беріледі:

“Диаграмма атауы”-Дененің серпімділік күші әсерінен тербелісі;

“Х осі (категория)”— Уақыт t, c;

“У осі (мәні)”— Координата (м); Жылдамдық (м/с);

екі ось бойынша негізгі сызықтар сеткасын қосу;
легенданы енгізіп және оның диаграммадағы орнын көрсету;
диаграмманы жеке параққа орналастыру.

Тапсырма:

Үдеуді есептейтін формуланы табыңдар (бұл кезде көршілес уақыт мезеттері арасында қозғалыс бірқалыпты үдемелі болады деген, енгізілген жуықтауды және үдеу анықтамасын қолданыңдар). Бағандардың бірінде (M немесе N) есептеу жүргізіңдер және үдеудің уақытқа тәуелділік графигін сол диаграммаға салыңдар.
Дененің массасын және серіппенің қатаңдығын өзгерте отырып, тербелмелі процесті сипаттайтын шамалардың өзгерісін бақылаңдар: дөңгелек жиілік, период, амплитудалар, координаталар және жылдамдықтар.
Жуықтау және дәл формулалармен есептеу нәтижесінде алынған тербеліс графиктерін салыстырыңдар. Ол үшін К бағанында координатаның J бағанындағы координатаға сәйкес J бағанындағы уақыт мезеттеріндегі мәндерін мына формула бойынша есептеңдер:

Ол үшін бір қатар қосымша есептеулер жүргізу қажет, яғни келтірілген теңдеу бойынша координатаны есептеу үшін мыналарды білу керек: 1) х_max тербеліс амплитудасын; 2) w₀ циклдік жиілікті және 3) j₀ бастапқы фазаны.

Тербелістің циклдік жиілігі-D18 ұяшық
Амплитудасы-J бағанындағы x (координата) айнымалының максималь мәні. Бұл мән К бағанындағы барлық формулаға кіру үшін, ол формулада жүйенің параметрлері өзгергенде автоматты түрде өзгергені ыңғайлы. Бұл формулалар амплитуданың сандық мәніне емес оның мәні орналасқан ұяшыққа сілтемелерден тұрғаны дұрыс (ол ұяшық D23). Максималь мәнді анықтау МАКС () функциясының көмегімен жүргізіледі, мұнда аргумент ретінде координатаның мәндерінен тұратын J6:J56 ұяшықтар блогы алынады. Функция Статистикалық категориясында орналасқан.
Тербелістің j₀ бастапқы фазасы келесі көріністерден табылады. Бастапқы берілгендер кестесінде х₀ бастапқы ығысу, яғни t₀=0 мезеттегі ығысу берілген. Бұл уақыт мезетіндегі тербеліс фазасы j=j₀ және ығысу: x₀=x_maxsinj₀, бұдан . Бастапқы фаза D20 ұяшықта есептеледі.
х^теор.(t) тәуелділігінің графигін алынған диаграммаға салыңдар.

Берілген k, m, x₀ және v_0x параметрлерде t_max-ды (және Dt интервалын) өзгерте отырып тербеліс графиктерін салыстырып жуықтау формуласының есептеу дәлдігінің өзгерісін бақылаңдар. Осылайша берілген модельдің қодану шегін анықтаңдар.
Кестеге L бағанында жаңа “Жылдамдық, м/с” бағанын қосыңдар және (*) формуласы бойынша (дәл шешім) 3 тапсырмада көрсетілген жоспарды қолданып тербелістегі дененің жылдамдығын есептеңдер. v_х^теор.(t) тәуелділік графигін тұрғызыңдар.
Тұрғызылған кестедегі берілгендер қатарының шрифтіне диаграммаға сәйкестендіріп түс беріңдер.
Диаграмманың түрін Маркерсіз тегістеуші сызықпен қосылған мәндері бар нүктелік диаграммаға өзгертіңдер. Бастапқы берілгендер кестесіне берілген уақыт мезеті үшін бақылау нүктелерін қосыңдар және оны барлық графиктерде шығарыңдар.

3.5.Электрлік тербелмелі контурдағы өшетін тербелістерді моделдеу

Электр тербелісі индуктивтілігі мен сыйымдылығы бар тізбекте пайда бола алады. Мұндай тізбек т е р б е л і с к о н т у р ы деп аталады. Кез келген нақты контур актив кедергіге ие болады. Контурда жиналған энергия қоры осы кедергіге бірте-бірте жылуға жұмсалады, осының салдарынан еркін тербелістер өшетін болады. Тербеліс теңдеуін сыйымдылықтағы, индуктивтіктегі және актив кедергідегі кернеу кемуінің қосындысының нольге тең болуынан шығарып алуға болады:

Бұл өрнекті L-ге бөліп және i-ді арқылы, ал -ні арқылы ауыстырып, мынаны аламыз:

(3.5.20)

Бұл өрнекті L-ге бөліп және i-ді арқылы, ал -ні арқылы ауыстырып, мынаны аламыз:

(3.5.21)

-нің контурдың w₀ меншікті жиілігінің квадратына тең екенін ескеріп және

(3.5.22)

белгілеуін енгізе отырып, (3.5.20) теңдеуін мына түрге келтіруге болады:

(3.5.23)

Өшетін тербелістер теориясы жеткілікті қиын, бірақ біз ондай теңдеулерді сандық әдістермен шешуге болатынын білеміз. Егер бұл теңдеуді серіппелі маятниктің тербеліс теңдеуімен салыстырсақ, онда келесі ұқсастықты орнатуға болады: координатаның ролін заряд, ал жылдамдықтың ролін ток атқаратындығын. Осыларды ескеріп келесі теңдеулер жүйесін алуға болады:

Теңдеудің аналитикалық шешімі өшетін тербелістің периоды мен жиілігін есептеуге арналған формулаларды алуға болады:

Әрбір тербелмелі контур үшін тербеліс болмайтын, тек конденсатордың апериодтық разряды өтетін критикалық кедергі бар. Көрініп тұрғандай, бұл

, яғни жағдайға сәйкес келеді, бұдан критикалық кедергінің өрнегін алуға болады:

Тербеліс амплитудасы теория көрсеткендей экспоненциалды заңмен кемиді.

Осының барлығын бізге лабораториялық жұмыста тексереміз.

Кесте файлын жүктеу.

Exel-ді жүктеп Модель -10 Өшетін электр тербелісі.xlt шаблонын ашыңдар.

Формулаларды талдап, тұрақты және айнымалы шамаларды бөліңдер.

Кестені толтыру.

Бастапқы сандық берілгендерді келесі ұяшықтарға енгізіңдер:

1) С18: ток күшінің бастапқы мәні (t₀=0);

2) С19: бастапқы уақыт мезетіндегі конденсатор заряды;

3) С20: контурдың актив кедергісі;

4) С21: катушканың индуктивтігін:

5) C22: конденсатор сыйымдылығы;

6) C31: бастапқы уақыт мезеті, t₀=0 с;

7) C32: соңғы уақыт мезеті.

Берілгендер мысалы:

С33 ұяшықта бағдарламаның қадамын есептеңдер (уақыт

интервалы Dt). Интервалдар саны кесте бойынша анықталады.

Есептеңдер:
- өшу коэффициентін (С24);
- тербелістің меншікті жиілігін (С25);
- тербелістің меншікті периодын (C26);
- критикалық кедергі (С29).
Берілгендер кестесін (Уақыт-Ток күші; Уақыт-Заряд) есептеу формуласына сәйкес толтырыңдар.
Кесте бар парақтың атын өзгертіңдер.

Графиктерді салу.

Есептеу нәтижелері бойынша екі график салу қажет: I(t) (K17:L516 диапазоны) және q(t) (M17:N516 диапазоны). Салу жеке диаграммаларда жүргізіледі, өйткені ордината өсінің масштабы бойынша бірнеше ретке айырмашылығы болғандықтан.

Диаграмма типі-Нүктелік, түрі- Тегістеуші қосатын сызықтары бар нүктелік диаграмма.

Тапсырма:

t_max уақыт мезетін өзгертіп, графиктердің түрінің өзгерісін бақылаңдар және моделдің жұмысы қашан тоқтайтынын анықтаңдар. Бұл уақыт интервалын меншікті тербеліс периодымен салытырыңдар.
С27 және С28 ұяшығна өшетін тербелістің жиілігі мен периодын есептейтін формуланы енгізіңдер.
Контурдың (R, L, C) параметрлерінің графиктердің түрі және w мен Т шамаларына әсерін бақылаңдар. Актив кедергіні критикалық мәнге дейін жеткізіңдер. I(t) мен q(t) графиктеріндегі кейбір айырмашылықтарға назар аударыңдар.
Диаграммаларға абсциса осі бойынша аралық сетка сызықтарын қосыңдар. Контурдың берілген параметрлері бойынша экспреимент жүзінде (график бойынша) тербеліс периодын табыңдар және оны теориялық есептеуден алынған мәндерімен салыстырыңдар.
Графиктен ток пен заряд тербелісінің арасындағы фазалар ығысуын табыңдар.
Кестеге жаңа екі баған қосыңдар: “Актив кедергідегі потенциалдың түсуі, В” және “Конденсатордағы потенциалдың түсуі, В”. Осы элементтердегі потенциалдың түсуін есептейтін формулаларды құрастырыңдар және сәйкес уақыт мезеттеріндегі олардың мәндерін есептеңдер (K және М). Потенциалдардың түсуі тербелісінің графигін бір диаграммада салыңдар. Олардың арасындағы фазалар ығысуын табыңдар. Ток пен заряд тербелісінің арасындағы фазалар ығысуымен салыстырыңдар.
Катушкадағы потенциалдың түсуін (*) формуласын ескеріп есептеңдер және U_L(t) тәуелділігінің графигін сол диаграммаға салыңдар. Контурдың әрбір элементіндегі потенциал түсуінің тербелісінің фазалар ығысуын анықтаңдар.
Берілгендер кестесін қарап, зарядтың тербеліс амплитудасын (тек оң мәндерін) және сәйкес уақыт мезеттерін жеке кестеге көшіріңдер. Осы берілгендер бойынша заряд амплитудасының уақытқа тәуелділік графигін салыңдар. Тренда сызығын таңдаңдар және өшетін тербелістің амплитудасының кемуінің заңдылығын анықтаңдар.

3.6. Альфа-бөлшектердің шашырауы бойынша Резерфорд тәжірибелерін моделдеу

Заряды +2е және массасы М альфа-бөлшектер (гелий атомының ядросы) заряды +Zе қоөғалмайтын ядроның өрісіндегі қозғалсын. Мұндағы Z-элементтің Менделеев кестесіндегі реттік номері, е- элементар заряд (электрон зарядының модулі е=1,6021892(46)*10^-19 Кл). Альфа-бөлшек пен координат басындағы ядро арасында тебілу күші әсер етеді:

, (3.5.24)

мұндағы ; -бөлшектің радиус-векторы, ол (х пен у –t белгілі уақыт мезетіндегі альфа-бөлшектің координаталары).

16-cурет. Альфа-бөлшектердің координата басында орналасқан қозғалмайтын ядро өрісіндегі қозғалыс траекториясы.

Бөлшектің қозғалысының дифференциалдық теңдеуі

Мұндағы F_x пен F_y— күштің Ох және Оу остеріндегі проекциясы, х” пен у” –альфа-бөлшектің үдеуінің Ох және Оу остеріндегі проекциясы.

немесе

(3.5.25)

Бұл теңдеулерді жартылай интервалдар әдісімен шешеміз.

Ол үшін (3.5.25) жүйені келесі түрде жазамыз:

(3.5.26)

Мұндағы әрбір теңдеудің сол жағында v_x немесе v_у функциясының уақыт бойынша туындысы тұр.

Жоғарыда баяндалған алгоритмді қолданып және теңдіктің сол жағын туындының анықтамасы бойынша жазып жуық теңдеу аламыз:

(3.5.27)

Мұндағы -бағдарлама қадамы. уақыт интервалы неғұрлым кіші болса, (3.5.27) қатынас соғұрлым дәлірек болатыны белгілі.

Бөлшектің координатасын есептеуге арналған екі теңдеуде туынды анықтамасынан алынды, яғни х пен у функциясы үшін

бұдан

(3.5.28)

Бұл (3.5.27) пен (3.5.28) екі жүйеге уақыт мезетіндегі бөлшектің жылдамдығын бастапқы шарттар: уақыт мезетіндегі жылдамдық пен координата арқылы есептеуге мүмкіндік беретін тағы бір жүйені қосамыз.

(3.5.29)

(3.5.29) теңдеу бір рет қана қолданылады. Ары қарай бөлшектің жылдамдығы мен координаталарын (3.5.27) және (3.5.28) формулалар бойынша жүргізіледі.

Сонымен бұл жұмыста уақыт интервалы (бағдарлама қадамы) еркімізше таңдалады.

Біздің есебіміз ядроның өрісіндегі бөлшектер қозғалысының траекториясын, яғни у(x) тәуелділігін салудан тұратындықтан бұл жерде уақыт интервалын емес, есептеу жүргізілетін шекарадағы координаталық жазықтық облысын беру керек. Есептеуді шарт бойынша ұйымдастыру қажет және бұл жағдайда бізге ЕГЕРДЕ мен НЕМЕСЕ логикалық функциялары көмектеседі.

Кесте файлын жүктеу.

Резерфорд тәжірибесі. xlt шаблонын ашыңдар. Берілген кесте екі Модель 1 және Модель 2 жұмыс парағынан тұрады. Олардың біріншісінде әр түрлі көздеу қашықтыққа, ал екіншісінде әр түрлі бастапқы жылдамдық мәндеріне арналған альфа-бөлшектің қозғалысы модельденеді. Кесте 300 мәнге орындалған, бірақ қажет болған жағдайда оны оңай жалғастыруға болады.

Кестені толтыру.

Келесі ұяшықтарға бастапқы сандық берілгендерді енгізіңдер:

1) бөлшектің бастапқы және соңғы абсциссасы-сәйкесінше С15 және С16 ұяшықтарына;

2) көздеу қашықтығы (бастапқы ордината)-С17, С18 және С19;

3) соңғы ордината –С20;

4) бағдарлама қадамы-С21;

5) бастапқы жылдамдықтың сәйкес остердегі проекциясы-С22 және С23. Есептеулерді орындауға араналған берілгендер мысалы:

х₀=x_min=-3; x_max=1; y₀=y_min=b=0.1; 0.3 және 0.5; y_max=2;

Dt=0.01c; v_0x=3; v_0y=0.

Бұл жерде кейбір шамалардың өлшем бірлігі көрсетілмейді. Олар кейбір шарты бірліктермен өлшенеді деп есептейміз. Одан басқа келесілерді енгізу қажетті:

6) альфа-бөлшектің массасын-Ғ17 ұяшыққа;

7) элементтің периодтық кестедегі реттік нөмірін-Ғ18 ұяшыққа;

8) электрон зарядын-Ғ19 ұяшыққа;

9) Кулон заңының формуласындағы пропорционалдық коэффициенті-Ғ20 ұяшыққа.

Элементтің реттік нөмерін басқа барлық шамалар не өте үлкен, не өте кіші ретті. Яғни, M_a=6.638*10^{-27 кг; е=1,6021892(46)*10-19}Кл; . Мұндай сандар міндетті түрде төмендегідей жазылады: 6,638Е-27; 1,6Е-19; 9Е9 (cандардың экспоненциалды түрдегі көрінісі) немесе =6,638*10^(-27) формула түрінде жазылады. Альфа-бөлшектің шашырауы өтетін зат ретінде мысалы, алтынды (периодтық кестедегі рет саны 79) таңдауға болады.

Ғ21 ұяшығына жылдамдық формуласына кіретін 2кZe²/M_a тұрақты көбейткішті есептейтін формуланы енгізіңдер.

С26 ұяшығына С17 ұяшығындағыларды (бірінші көздеу қашықтығы) олардың арасында орнатылған байланысымен бірге көшіріңдер.
Жұмыстық парақта келтірілген есептеу формулаларына сәйкес жылдамдықтың координата остеріндегі проекциясын есептеңдер (В28:С30 ұяшық) және В30:С30 ұяшықтарындағы формулаларды В31:С327 диапазонында көшіріңдер.

Ескерту: “х” және “у” (D және E бағандары) бағандары әлі толтырылмағандықтан “v_x” және “v_y” (В және С бағандары) бағанындағы ұяшықтарда (# Дел/0-деление на 0) есептеу қателігі шығады.

Координатаны есептеуді келесі жоспарда жүргізіңдер:

бөлшектің бастапқы координаталарын С15 және С17 ұяшықтарынан

D28 және Е28 ұяшықтарына көшіріңдер;

жұмыс парағында немесе жұмыстың нұсқауындағы есептеу

формулаларын қолданып, бөлшектің координаталарын есептеуге арналған негізгі есептеу формулаларын құрастырыңдар. Бұл кезде барлық графиктер біз таңдаған координаттық жазықтықта орналасу керек; сондықтан да есептеу нәтижесінде алынған координата мәндерін әрдайым осы аймақтың шекарасы (яғни х_min, x_max, y_max мәндерінде)-есептеуді тоқтату критериімен салыстырып отырыу қажет. Егер көрсетілген шарттың ең болмағанда біреуі орындалса (шекаралардың біріне жеткенде), есептеу тоқтатылады және ұяшыққа қандай да бір мән меншіктеледі: 0, “ ” (бос ұяшық), ЖАЛҒАН немесе алдынғы ұяшықтың мәні. Берілген есептегі алғашқы екеуі әр түрлі себептерге байланысты сәйкес келмейді. Қалған екеуінен соңғысын таңдаймыз. D29 ұяшыққа Функция шеберін қолданып мыналарды енгізіңдер:

=ЕГЕР(НЕМЕСЕ(D28>$C$16;D28<$C$15;E28>$C$20);D28;D28+B29*$C$21), берілген функциямен жұмыс істеу ережесін басшылыққа алып, Е29 ұяшыққа мыналарды енгізіңдер:

=ЕГЕР(D29=D28;E28;E28+C29*$C$21)

және формулаларды D30:E327 ұяшықтар дипазонына көшіріңдер. Ординатаны есептеу формуласында абсциссаны есептеу кезіндегі үш шартты тексеруге болады. Бірақ бұның қажеті жоқ және бұнымен байланысты формула айтарлықтай ықшамдалады: онда тек қана бір логикалық өрнек (D29=D28) қолданылады, сондықтан да НЕМЕСЕ функциясы болмайды.

2-4 п.п. ұқсас Кесте 2 мен 3 –ті толтырыңдар.
Кестесі бар парақтың атын өзгертіңдер.

y(x) тәуелділігінің графигін салыңдар.

Алынған нәтижелер бойынша көздеу қашықтығының әр түрлі мәндеріне арналған y(x) тәуелділігінің (альфа-бөлшектердің траекториясы) графигін бір диагарммаға салыңдар. Салу басында берілгендердің бір қатарына жүргізіледі (мысалы D28:E327), нүктелердің қалған жиынтығы салу барысында енгізіледі (Диагарамманың берілгендер көзі терезесінде) немесе тікелей дайын диаграммаға енгізіледі. Нүктелік диаграмма типін таңдау қажет. Графиктер өзара орналасуы бағдарлама қадамы мен бөлшектердің үдеуіне байланысты болатын нүктелер жиынтығының көрінісі болады. Диаграмма бірнеше графиктен тұратындықтан легенданы енгізу қажет. Әрбір берілгендер қатарының аты ретінде көздеу қашықтығын алған ыңғайлы (B26:C26;F26:G26 және J26:K26 ұяшықтар диапазонына сәйкес).

Тапсырма:

Көздеу қашықтығын, элементтің реттік нөмірін, координаттық жазықтық аймағының шекарасын және бағдарлама қадамын өзгертіп графиктердің түрінің өзгерісін бақылаңдар.
Графиктердің біреуінің түрін “Тесгістелген сызықтармен қосылған мәндері бар нүктелік диаграммаға” ауыстырыңдар.

3.Неліктен координаттаны есептеу формулаларында ұяшықтарға берілген шарттарды орындаған 0 немесе “ ” (бос ұяшық) мәнін беруге болмайтындығын анықтаңдар. Осы формулаларға ЖАЛҒАН мәнін қолданып көріңдер.

Модель-2 жұмыс парағымен жақсылап танысып шығыңдар. Бұл кестедегі қолданылатын есептеу формулалары алдыңғы кестедегі сияқты. Кестелердің айырмашылығы мынада, бұл жерде бөлшектің қозғалыс траекториясының көздеу қашықтығы өзгерген кездегі бастапқы жылдамдықтың Ох осіне проекциясына тәуелділігі зерттеледі.
Модель-2 парағындағы кестені өзбетінше толтырыңдар және әртүрлі v_0x бастапқы жылдамдықтың мәндері үшін y(x) тәуелділігінің графиктерін бір диаграммаға салыңдар. Берілгендерді файылда сақтаңдар.

3.7.Өзара байланысты екі шаманың сызықтық тәуелдлігін моделдеу

Эксперименттің нәтижесінде х және у өзара баланысты шамалардың N жұбы алынсын (x_i, y_i) (i=1,2,3 …..N) және теориядан бұл шамалар өзара сызықты тәуелді екендігі белгілі болсын: у^теор.=ax+b. Бірақ өлшеу құралдарының қателігіне, сонымен бірге қандайда бір кездейсоқ факторларға байланысты өлшенген шамалардың мәндері шын мәндерінен айырмашылығы болады. Нәтижесінде, егер эксперимент нәтижелерін графикке салсақ нүктелер біршама шашыраңқы орналасады, сондықтанда барлық эксперименттік нүктелерден өтетін түзу сызық жүргізу мүмкін емес. Аналитикалық көзқарас бойынша өлшеу нәтижелерін өңдеу мәселесі у^теор.=ax+b (3.5.1) теңдеуі берілген экспериментті мейлінше жақсырақ сипаттау үшін а және b параметрлерін табудан тұрады. Бұл параметрлерді анықтаудың мүмкін әдістерінің бірі ең кіші квадраттар әдісі деп аталады.

у_і (эксперименттен алынған ) және у_і^есеп. ( (3.5.1) теңдеуден алынған) шамалардың мәндерінің айырмашылығын енгіземіз. Әрбір і-ші мән үшін бұл айырма келесі түрде болады

(3.5.2)

Егер а және b коэффициенттерінің мәндері мейлінше жақсы таңдалса, онда нүктелердің жартысы есептелген түзудің жоғарғы жағында (3.5.2) ал екінші жартысы төменгі жағында жатады. r_i мәні 0-ден үлкенде кішіде болуы мүмкін болғандықтан r_i² мәндерінің айырмасының квадраты шамасын енгіземіз, мұндағы

(3.5.2a)

Эксперименттік берілгендерді мейлінше жақсы сипаттау критериі (Лежандр критериі)

түріндегі қосынды минималь болу керектігінен тұрады (мұндағы N өлшеу саны).

(3.5.1) теңдеудегі -ді өрнектеймізде (3.5.2) теңдеуге қоямыз. Сонда

(3.5.3)

Олай болса, есеп түріндегі өрнек минималь мәнге ие болатындай етіп а және b коэффициенттерін табудан тұрады.

(3.5.3) теңдеуден а және b бойынша туынды алып және оларды нөлге теңестіреміз. Жалпы жағдайда бұл өрнек келесі түрде болады:

; (3.5.4)

(3.5.3) теңдеуді (3.5.4) теңдеуге қойып, мынаны аламыз:

b, x және у шамалары а-ға тәелді болмағандықтан (3.5.5) өрнек келесі түрде болады:

(3.5.7)

Осыған ұқсас (3.5.6) өрнек келесі түрде болады:

(3.5.8)

Cонымен а және b коэффициенттерін табу үшін екі теңдеуден тұратын жүйені алдық:

(3.5.9)

(3.5.9) теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шеше отырып, а және b коэффициенттердің мәндерін келесі түрде аламыз:

(3.5.10)

(3.5.10) анықтауышты ашып а және b үшін келесі өрнекті аламыз:

Егер түзу координата басынан өтсе, онда мұндай түзудің теңдеуі у=kx және k параметр былай анықталады

Көрініп тұрғандай, түзудің параметрлерін есептеуге арналған формулалар жеткілікті дәрежеде қиын, бірақ Exel-дің функциялары формулаларының өзінің мағанасына көңіл аудармай-ақ есептеулер жүргізуге мүмкіндік береді.

Графиктік көзқарас бойынша түзу мейлінше жақсы жүргізілді деп есептеледі, егерде эксперименттік нүктелер осы түзудің екі жағында да бірдей қашықтықта жатса.

Кестені толтыру.

Модель-7 парағын ашыңдар.
Бастапқы берілгендерді келесі ұяшықтарға енгізіңдер:

С6 ұяшығына х физикалық шаманың шартты белгісімен (немесе аты) өлшем бірлігін енгізіңдер;
D6 ұяшығына у физикалық шаманың шартты белгісімен (немесе аты) өлшем бірлігін енгізіңдер;
(С7:С??) диапазонындағы ұяшықтарға х физикалық шамасының экспериментте өлшенген мәндерін енгізіңдер (мұндағы ?? символы сандық берілгендерден тұратын соңғы қатардың номерін білдіреді). Өлшеу мысалдары көрсетілген кесте төменде келтірілген (бұл кестеде берілгендер саны әр түрлі !);
(D7:D??) диапазонындағы ұяшықтарға y физикалық шамасының экспериментте өлшенген мәндерін енгізіңдер;

6-кесте. Эксперименттік берілгендердің мысалы

х, м	у, м	х, м	у, м	DТ, К	Е, В	t,c	v, м/c	В, Тл	Dj, В
-1	15,81	-2	-3,44	-5	2,1	0	-0,61	3	-0,99
1	15,14	-1	0,86	-4	1,11	1	0,17	4	0,16
3	11,47	0	5,23	-3	4,94	2	4,56	5	2,30
5	22,93	1	-0,46	-2	7,46	3	7,77	6	4,96
7	13,26	2	6,90	-1	7,82	4	9,16	7	3,55
9	19,52	3	7,57	0	9,65	5	8,12	8	5,30
11	17,67	4	4,79	1	12,79	6	13,79	9	4,34
13	28,60	5	7,45	2	15,03	7	13,63	10	8,19
15	32,63	6	4,39	3	18,29	8	17,65	11	6,43
17	27,83	7	7,32	4	16,07	9	19,80	12	8,91
19	34,64	8	10,26	5	21,79	10	20,02	13	8,22
21	36,11	9	10,71	6	23,60	11	21,16	14	10,01
23	35,25	10	9,12	7	22,09	12	21,75	15	10,21
25	39,42	11	14,48	8	28,12	13	25,40	16	13,93
27	34,53	12	11,86	9	25,62	14	29,15	17	11,92
29	45,56	13	15,89	10	31,44	15	28,45	18	16,09
31	36,53	14	19,17	11	29,85	16	32,69	19	15,93
33	45,38	15	18,40	12	32,25	17	36,05	20	15,53
35	49,30	16	21,82	13	33,54	18	37,77	21	16,67
37	52,83	17	16,73	14	40,27	19	36,52	22	16,78
39	56,57	18	22,84	15	37,92	20	37,56	23	18,17
41	46,49	19	21,63	16	40,42	21	44,29	24	19,34
43	47,72	20	22,41	17	45,79	22	45,96
45	58,08	21	24,19			23	46,80
47	59,84

ЛИНЕЙН() функциясының көмегімен түзудің параметрін есептеңдер. Функцияның синтаксисі:

ЛИНЕЙН(изв_знач_y;изв_знач_x;константа; стат).

Функция түзудің параметрлерін ең кіші квадраттар әдісі бойынша есептейді. Онымен жұмыс келесі жоспар бойынша жүргізіледі:

F9:G9 диапазонын белгілеп және Вставка- Функция…командасын орындаңдар.
Статистические категориясынан ЛИНЕЙН функциясын таңдаңдар.
«Изв_знач_ y» өрісіне у шамасының экспериментте табылған мәндерінен тұратын ұяшықтар диапазонын енгізіңдер (D бағанындағы ұяшықтар диапазоны экспериментті анықталған у мәндерінен тұрады).
«Изв_знач_ x» өрісіне х шамасының экспериментте табылған мәндерінен тұратын ұяшықтар диапазонын енгізіңдер (С бағанындағы ұяшықтар диапазоны экспериментті анықталған у мәндерінен тұрады). Берілгендер массивтері міндетті түрде бірдей мөлшердегі ұяшықтардан тұру керек.
Константа өрісіне b константа 0-ге тең болуы қажетпа жоқпа, соны көрсететін логикалық мән енгізіледі:
егер Конст аргументі ИСТИНА мәніне ие болса, онда b

әдеттегінше есептеледі.

егер егер Конст аргументі ЛОЖЬ мәніне ие болса, онда b

0-ге тең деп есептеледі (түзу координат басынан өтеді, яғни у=kx

арақатынасы орындалады).

Соңғы өрісті бос қалдыруға болады.
Есепте (а және b) екі параметрде есептелу үшін (ол үшін жұмыс парағында бірден екі ұяшықта белгілену керек!) формулаларды енгізуді мына пернелер комбинациясын орындау қажет-Сtrl+Shift+Enter.

у(х) тәуелділігінің графигін салу.

Сандық берілгендерден тұратын ұяшықтар диапазонын белгілеп у(х) тәуелділігінің графигін салыңдар.
Негізгі талаптар:

диаграмма типі және оның түрі-Нүктелік (бұл жағдайда графикте тек нүктелер орналасады);
диаграмма аты-ең кіші квадраттар әдісімен тәжірибелік нәтижелерді өңдеу (немесе сіздің тәуелділігіңіздің аты);
остер категориясының аты- осы оске салынатын х шамасының аты, шартты белгіленуі және өлшем бірлігі;
остер мәнінің аты- осы оске салынатын у шамасының аты, шартты белгіленуі және өлшем бірлігі;
диграмманы жеке параққа орналастырыңдар;

Диаграммаға ең кіші квадраттар әдісі бойынша есептеулерге негізделген түзуді қосыңдар (линия тренда деп аталатынды).

Графиктің нүктесінің бірінде контекстік мәзірді ашып, Добавить линию тренда пунктін таңдаңдар.

Ең кіші квадраттар әдісімен тәжірибелік нәтижелерді өңдеу

Линия тренда диалогтық терезедегі Тип бетіндегі “Линейная” өрісін шертіңдер;

Параметры бетінде » показывать уравнение на диаграмме» опциясына жалауша қойыңдар;

теңдеуі графикте шығатын түзудің параметрлерін тұрғызылған функцияны қолданып жүргізілген есептеулер нәтижесінде алынғандармен салыстырыңдар.

Тапсырма:

Модель-7 парағының атын өзгертіңдер.
Кестенің әрбір бағанындағы сандық берілгендердің форматын бірдей етіңдер (мысалы, екі ондық белгідегі сандық формат, ұяшықтың ортасына орналастыру т.с.с.).
І бағанында (І7:І?? диапазоны, мұндағы ?? сандық берілгені бар соңғы қатардың номері) y^есеп.=ax+b формуласына сәйкес айнымалылардың мәнін есептеуді жүргізіңдер (а және b параметрлерінің мәндері F9 және G9 ұяшықтарында орналасқан). С мен І (C7:С??; I7:I??) бағандарындағы ұяшықтардағы берілгендер үшін у(x) тәуелділігінің графигін жеке парақта Диаграмма 2 –де салыңдар.
Ұяшықтардың бір бөлігі сандық берілгендерден тұрмайды-бос немесе мәтіндерден тұрады. Сондықтан да

ЛИНЕЙН(изв_знач_ y;изв_знач_ x; константа; стат)

Функциясы у пен х шамаларының белгілі мәндерінің диапазонын көрсетсе орындалады ма, жоқпа тексеріңдер.

Қорытынды

Дипломдық жұмысты орындау барысында:

— Моделі қарастырылатын “Электр өрісі және оның сипаттамалары”, “Электр тербелістері” және “Заттардың α-бөлшектерін шашыратуы. Резерфорд тәжірибесі” бөлімдеріндегі физикалық процестерге теориялық талдау жасалды;

— Физикалық процестерді зерттеудің математикалық әдістері қарастырылды. Яғни физикалық процестердің көпшілігі бірінші және екінші реттік дифференциалдық теңдеулермен сипатталады. Сондықтанда жұмыста қарапайым дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістері қарастырылды: Эйлер, Рунге-Кутта, ақырлы айырым әдістері;

— Физикалық процестерді компьютерде моделдеуге қойылатын әдістемелік талаптар тағайындалды. Физикада қандайда бір құбылысты оқып үйренуде моделдеу сияқты оқып үйрену әдісі өте жиі қолданылады.

Физикалық процестің әрбір моделі келесі талаптарға жауап беруі керек:

модель физикалық нақтылықтан ауытқымау қажет;
модель динамикалық болу қажет;
модельдің базасы тексерілген нәтижелерден жинақталу қажет;
модель белгілі бір аралықта әрекет ету керек;
модель физикалық құбылысты көрнекі түрде көрсету керек.

— Жұмыста алынған физикалық процестерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулердің шешімі негізінде демонстрациялық бағдарламалар жасалды;

— Жасалған бағдарламалар негізінде 11-сыныптың физика курсына арналған мынадай лабораториялық жұмыстар құрастырылды: “Өзара байланысты екі шаманың сызықтық тәуелдлігін моделдеу”, “Серіппелі маятниктің тербелісін моделдеу”; “Электрлік тербелмелі контурдағы өшетін тербелістерді моделдеу”;”Альфа-бөлшектердің шашырауы бойынша Резерфорд тәжірибелерін моделдеу”

Пайдаланылған әдебиеттер

Бурсиан Э.В. Задачи по физике для компьютера: Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов, М.: Просвещение, 1991, 256 с.
Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике, М.,Мир,1990 г.
«Информатика и образование», №№ 3-6, 1995 г.
«Физика в школе», № 4, 1994 г.
Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции (формулы, графики, таблицы), Москва: Наука, 1977, ст. 176-245, 262-284.
Математическая энциклопедия, Москва: Наука 1985, Т. 2 стр. 846,Т. 5 стр. 819-825.
Калиткин Н.Н., Численные методы, М.: Наука, 1978, ст.246-250.
Калашников С.Г., Электричество, М.: Наука ,1985, 576 с.
Физическая энциклопедия, Москва: Наука, 1995, Т. 3, 4.
Cавельев И.В. Жалпы физика курсы. 1-2 том, Алматы, 1977
Сивухин Д.В., Общий курс физики , М.: Наука 1977, Т.3, 687 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, М.: Наука 1982 Т.8,Т.10
Шпольский Э.В., Атомная физика, Т.1,М.Наука 1984, 14-20 с.
Бугаев А.И., Методика преподавания физики в средней школе (теоретические вопросы), Москва 1981.
Камке Е Справочник по дифференциальным уравнениям М.: Наука, 1979.
Филимонов С.Р., Судьба классического закона, Библиотека Квант, выпуск 79, 1989, 65-82 с.
Лекционный демонстрационный эксперимент /под ред. Ивероновой, М. Просвещение, 1976, 89 с.
Шахмаев Н.М., Павлов Н.И., Тыщук В.И., Физический эксперимент в средней школе, М. Просвещение, 1979, ч 1-2.
Камардинов О. Информатика.Шымкент-2000
Фриш С.Э., Тиморева А.В. Жалпы физика курсы. 1 том, Алматы. Мектеп,
Орехов В.П., Усова А.В. Физиканы оқыту методикасы. Алматы Мектеп, 1978

Қосымша

Дененің серіппенің әсерінен қозғалысы

Қозғалыстың компьютерлік моделін жасау үшін сандық әдістер арқылы анықталған кестедегі формулаларды қолданамыз.

-кесте. Дененің серіппенің әсерінен қозғалысының теңдеулері

Уақыт мезеті	Координата	Жылдамдық	Үдеу

Дененің массасын m=0,1 кг, серіппенің қатаңдығын k=5 Н/м , бастапқы уақыт мезетін t(0)=0, бастапқы координатаны х(0)=5 см, бастапқы жылдамдықты v(0)=0 және қадамды Dt=0,05 с деп алып, есепті компьютердің көмегімен шешеміз. Нәтижені х-тың t-ға тәуелділігінің компьютер экранындағы графигі түрінде демонстрациялаймыз. Есепті шешу үшін БЕЙСИК тілінде бағдарлама құрамыз.

Бағдарламаның көмегімен дененің қозғалысына сұйық үйкеліс күшінің әсерін зерттеуге болады. Үйкеліс коэффициенті ретінде келесі мәндерді ұсынамыз: f=0; 0.06; 0.1; 0.15.

10 PRINT AT(15,3) “ДЕНЕНІҢ СЕРІППЕНІҢ ӘСЕРІНЕН ҚОЗҒАЛЫСЫ”

20 ‘ Белгілеулер: 30-40

30 PRINT AT(17,5) “ m-масса, ” AT(17,6) “k-cеріппенің қатаңдығы,”

40 PRINT AT(17,8) “t(0)- бастапқы уақыт,” AT(17,9)“х(0)-бастапқы координата,” AT(17,10) “ v(0)- бастапқы жылдамдық .”

50 GOSUB 590’ Кешігу

60 ‘ Координаталар остерін салу: 70-140

70 СLS

80 FOR J=0 TO 10

90 PRINT AT(15,2*J+1)5-J;”+”

95 PRINT AT(18+5*J,11)”+” AT(4,11) “_”

100 NEXT J

110 LINE (147,14)-(147,214)

120 LINE (145,114)-(510,114)

130 PRINT AT(14,0) x,см”

140 PRINT AT(22,12) “0.2__0.4__0.6__0.8__1.0__1.2__1.4__1.6_t,с”;СHR$(7)CHR$(7)CHR$(7) ‘ Сигнал

150 ‘ Жүйенің параметрлерін және бастапқы шарттарды енгізіңдер: 160-250

160 LOCATE 0,3

170 INPUT “m, кг ”; М

180 INPUT “к, Н/м ”; К

190 INPUT “t(0), c ”; T

200 INPUT “x(0), м ”; X

210 INPUT “v(0), м/с ”; V

220 INPUT “Қадам, с ”; DT

230 IF DT <>0 GOTO 270 ELSE LOCATE 0,8

240 GOTO 220

250 GOSUB 540

260 ‘ Келесі қадамды есептеу: 270-410

270 GOSUB 400

280 X=X1+V1*DT/2

290 V=V1+A*DT/2

300 GOSUB 430

310 X=X1+V*DT

320 V=V1+A*DT

330 T=T+DT

340 IF T >1.8 GOTO 460’ Есептеудің аяқталу шарты

350’ Графикте келесі қадамды енгізу: 360-380

360 PSET (147+200*T1, 114-2000*X1)

370 LINE (110,119-2000*X1)-(116,109-2000*X1),0,B

380 LINE (110,119-2000*X)-(116,109-2000*X),1,B

390 GOTO 270 ‘ Келесі қадамның есептеу басына өту

400 X1=X

410 V1=V

420 T1=T

430 A=-K*X/M ‘ үдеуді есептеу

440 RETURN

450 ‘ Кейнгі әрекетті таңдау: 460-520

460 PRINT AT(0,15) “ Эк. тазалау ” AT(0,16) “ ИӘ немесе ”AT(0,17) “ЖОҚ?” (Басу- “AT(0,18)“ И немесе Ж)”;

СHR$(7)CHR$(7)CHR$(7)

470 GOSUB 600

480 IF X$=”D” GOTO 70

490 LINE (110,119-2000*X1)-(116,109-2000*X1),0,B

500 GOSUB 540

510 PRINT AT(0,17) “(Жаңа мәндерді енгізіңдер) ”;

СHR$(7)CHR$(7)CHR$(7)

520 GOTO 160

530 ‘ Мәзірді өшіру: 540-570

540 FOR J=15 TO 21

550 PRINT AT(0,J)” “ ’15 пробел

560 NEXT J

570 RETURN

580 ‘ Кешіктіру қосымша прог: 590-620

590 PRINT AT(0,20) “Кез келген пернені бас”

600 X$=INKEY$

610 IF X$=” ” GOTO 600

620 RETURN

Бағдарламада үйкеліс күшін ескеру үшін келесі өзгерістерді енгізу керек:

А. Егер сұйықтағы үйкеліс күші жылдамдыққа пропорциональ болса, онда

1) 30 қатарға мынаны қосу керек

30 …AT(17,7)” b-үйкеліс коэффициенті, “

2) жаңа қатарды енгізіңдер

185 INPUT “b, H.c/м ”; B

3) 230-қатарды LOCATE 0,8 –ді LOCATE 0,9 –ға алмастыр

4) 430 қатардың орнына мынаны енгіз

430 A=-(K*X+B*V)/M

Б. Құрғақ үйкеліс болған жағдайда

1) 30 қатарға мынаны қосу керек

30 …AT(17,7)” f-үйкеліс коэффициенті, “

2) жаңа қатарды енгізіңдер

185 INPUT “f, H ”; F

3) 230-қатарды LOCATE 0,8 –ді LOCATE 0,9 –ға алмастыр

4) 430 қатардың орнына мынаны енгіз

430 A=-(K*X+FSIN(V))/M

Два студента из Индии найдены мертвыми в…

Русский мужчина обратился к Юлии Навальной и…

Путин обращался к шаманам за благословением на…

В Алматы автобус упал с моста

Трамп не пойдет на второй раунд дебатов…

США выделят Украине пакет помощи более чем…

Трамп готов решить украинский кризис до своей…

Эрдоган призвал мусульман объединиться против Израиля

В сто раз может вырасти стоимость услуг…

Следственные органы РФ возбудили уголовное дело в…

Дипломдық жұмыс: Физикалық процестерді зерттеудің математикалық әдістері

Два студента из Индии найдены мертвыми в квартире в Шымкенте

Казахстанцы обыграли ливанцев на чемпионате по футзалу

За социальной помощью в РК можно теперь обратиться онлайн

Казахстанская дзюдоистка вошла в топ-10 мирового рейтинга

Венгрия и Казахстан построят совместный завод по переработке семян

О НАС

Мобильное приложение

Наши контакты