Мазмұны

Кіріспе                                                                                                   

1. Бір еркіндік дәрежелі жүйенің еркін тербелісі

1.1. Еркіндік дәрежесі бірге жүйенің еркін тербелістері туралы жалпы мәліметтер

1.2. Еркін тербелістердің негізгі I.                                                                                       

сипаттамалары

1.3. Кедергі күшінің бір еркіндік дәрежелі жүйедегі еркін тербелістерге әсері

1.4. Еркін тербелістер. Серіппенің тербелісі

1. Арнайы бөлім

2.1. Гармониялық тербелістер

2.1.1. Гармониялық тербелістер туралы жалпы мәліметтер

2.1.2. Гармониялық осциллятордың энергиясы

2.1.3. Гармониялық тербелістердің шеңбер бойымен бір қалыпты қозғалыспен байланысы

2.1.4. Екі гармониялық тербелістерді қосу

2.1.5. Лиссажу фигуралары

2.1.6. Фазалар ығысуы

2.1.7. Автотербелістерге сипаттама

2.1.8. Байланысқан жүйелер тербелістерін зерттеу

2.2. Механикалық тербелістер

2.2.1. Бұралмалы тербелістер

2.2.2. Маятник және оның тербелісінің кинематикасы

2.2.3. Өшпелі гармониялық тербелістер

2.2.4. Өспелі тербелістер

2.2.5. Еріксіз тербелістер, резонанс

2.2.6. Резонанс құбылысына үйкелістің әсері

III. Эксперименттік бөлім

3. Еркін тербелістер қасиеттерін зерттеу

3.1.Еркін тербелістер қасиеттерін зерттеудің әдістемесі

3.2. Зерттеулердің есептеу нәтижелері

3.3. Зерттеу нәтижелерін талдау

Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

 

Тербеліс өзінің көп түрлігімен қазіргі техникада үлкен роль атқарады. Тербеліс кездеспейтін техниканың саласын көрсету қиын, сонымен қатар табиғат құбылыстарын біз кеңінен және тереңірек зерттеген сайын жаңа тербелмелі процестер пайда болуда.

Қазіргі заманғы техниканың көптеген салалары тербелмелі құбылыстарға негізделгенін ескерсек, тербелмелі процесстердің маңыздылығын зерттеудің  қажеттігі өздігінен туындайды.

    Жұмыстың өзектілігі: Физика мен техниканың бірқатар салалары мен біздің планетамыздың тіршілігі түгелдей тербелмелі құбылыстарға негізделгенін айтсақ артық болмайды. Мысалы, ұшатын аппараттар мен кемелердің элементтерінің вибрациясы, музыкалық аспаптардың шектері, телефонның мембранасы, дыбыс зорайтқыштың диффузорлары, іштен жану двигателінің поршені, жер сілкіну, судың қайтуы мен тасуы т.б.

    Тербелістің адам өмірінде де атқаратын маңызы зор. Жүректің соғуы, дыбыс желбезегінің дірілі – тербелмелі қозғалыс мысалдары болып табылады.

    Тербеліс табиғаты сан қырлы болғандықтан, кейде оның залалды жақтарын ескеріп оны болдырмауға тырысу қажет. Есепке алынбаған тербелістер күрделі техникалық құбылыстарды  қиратып зиян келтіреді. Осының бәрі тербелісті жан – жақты зерттеуді қажет етеді.   

 Қазіргі заманда физика мен техника саласында кездесетін механикалық және электромагниттік тербелістерді физикалық қасиеттері мен байқалуы бойынша біртекті бірдей процесс деп қарастырған дұрыс.   

Қайтарушы күштен пайда болған тербелістерді серпімді тербелістер деп атайды. Серіппеге ілінген жүктің тербелісі, рессорлы вагонның, тартылған ішек, кеменің тербелісі — барлығы серпімді тербелістерге жатады.

Мысалы серіппеге ілінген дененің тербелісін қарастырсақ, бұл жағдайда деформация энергиясы тек серіппеде бар деп санауға болады. Себебі дененің деформациясын есепке алмаса да болады. Егер дененің массасы серіппенің массасымен салыстырғанда үлкен болса, онда кинетикалық энергия тек денеде бар деп есептейміз. Ал серіппенің массасын есепке алмаймыз. Осылайша кинетикалық энергияның потенциалдыққа және кері ауысуы, сонымен қатар энергияның денедегі серіппеге және кері ауысуы болып табылады.

Осы пружиналар үшін үлкен массалы дене алып, тербелістің жиілігінің төмендейтініне көз жеткізуге болады. Барлық жағдайда серпімді тербелістер жүйесіндегі массаның өсуі тербелістің тоқталуына, олардың периодының өсуіне алып келеді.

Жұмыстың мақсаты: Бұл жұмыста бір еркіндік дәрежесі бар механикалық жүйенің тербеліс теңдеулеріне талдау жасау, тербелістің сөну дәрежесінің жүйенің қатаңдығы мен демпферлік қасиеттеріне тәуелділігі қарастырылады. Жүйенің қатаңдығын есепке алу үшін маятниктің стерженіне қосымша бекітілген серпімді серіппелер алынған. Серіппенің қатаңдығы алдын ала статикалық әдіспен анықталады.

 

 

І  ТЕРБЕЛМЕЛІ ҚОЗҒАЛЫСТАР КИНЕМАТИКАСЫ МЕН ДИНАМИКАСЫ

 

• Тербелмелі қозғалыстың теңдеуін қорытып шығару

 

 Тербелістер физикасының практикалық маңызы өте зор. Ол машиналар мен механизмдердің вибрациясын зерттейді.

Тербеліп тұрған дене басқа денелермен байланыста болып, тербелмелі жүйе құрайды. Барлық тербелмелі жүйеге тән ортақ қасиеттер болады:

а) әрбір тербелмелі жүйенің орнықтылық тепе – теңдік жүйелері болады.

б) тербелмелі жүйе орнықтылық тепе – теңдік күйіне шығарылғаннан кейін оны орнықтылық күйге қайтаратын күш пайда болады.

в) орнықтылық күйге қайтып келген тербелмелі жүйе бірден тоқтамайды.

     Мұнда ең алдымен,  сандық сипаты тұрғысынан тербелмелі қозғалыстың динамика заңдары негізінде жүйеге асырылатындығын ұғыну керек. Осы тұрғыдан гармониялық осциллятор ұғымын және мысал ретінде серіппелі, физикалық, математикалық маятниктер тербелістерінің бір – бірінен ешқандай айырмашылықтарының жоқ екендігін көрсетіп, оның математикалық формулаларын қорыту негізінде дәлелдеу қажет.

    Мынадай дифференциялдық теңдеу

                            (1)

бойынша тербелетін система гармониялық осциллятор деп аталады. Гармониялық осциллятор тербелісі периодты қозғалыстың негізгі бір мысалы болып табылады.

    Серіппелі маятник серпімді  күшінің әсерінен гармониялық тербеліс жасайтын абсолют серпімді серіппеге ілінген жүк. Серіппенің серпімді күші Ньютонның екінші заңы бойынша . Олай болса маятниктің қозғалыс теңдеуі

немесе

                               (2)

 екенін ескерсек, үдеудің тепе – теңдік қалыптан ығысуға тура пропорционал екенін көреміз.

    Ауырлық күшінің әсерінен тербелетін созылмайтын, салмақсыз жіпке ілінген массасы m материялдық нүкте математикалық маятник деп аталады. Математикалық маятникті тепе – теңдік қалыптан ауытқытқан кезде ауырлық күшінің тангенциялды құраушысы оны тепе – теңдік қалыпқа келтіруге тырысады. Ньютонның екінші заңы бойынша

                     (3)

 өте аз шама болғандықтан ;

;                  ;               

                 (4)

.

    Математикалық маятник үшін де үдеу тепе – теңдік қалыптан ығысуға (х) пропорционал екендігін көрсету қажет.

    Физикалық маятник массалар центрі арқылы өтпейтін горизонталь оське қатысты ауырлық күшінің әсерінен тербелетін қатты дене.

    Егер маятник тепе – теңдік қалыптан  бұрышқа ауытқыса, онда қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасына сәйкес қайтаратын күш моментін мына түрде жазуға болады

                (5)

    Бұрыштық үдеу бұрылу бұрышының екінші ретті туындысы , ал .

     өте аз шама болғандықтан ;

     – маятниктің инерция моменті;

     – маятниктің массалар центрі мен іліну нүктесінің арақашықтығы.

 – маятникті тепе – теңдік қалыпқа қайтарушы күш, мұндағы (–)  және  бағыттарының қарама – қарсы екендігін көрсетеді.

    Жоғарыда көрсетілгендерді ескерсек, физикалық маятниктің қозғалыс теңдеуі

немесе

 деп белгілесек

                 (6)

Бұл теңдеудің шешімі

           (7)

(7) теңдеуден, физикалық маятникті аз α бұрышқа ауытқытса, ол ω₀ циклдік жиілік пен гармониялық тербеліс жасайтынын көреміз.

      — физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы деп аталады. ОС түзуінің бойында жатқан іліну нүктесінен  қашықтықтағы О^/ нүктесі тербелу центрі деп аталады.

 

1.2  Маятниктердің тербеліс периоды формуласын қорыту

 

    Егер тербелмелі жүйенің орнықты тепе – теңдік күйінен қандай да бір ауытқуы сыртқы айнымалы әсерге соқтырмайтын болса, онда тербелмелі жүйеде еркін тербелістер пайда болады.

    Жоғарыдағы тақырыпта көрсетілген серіппелі маятниктің шарын тепе – теңдік қалпына қарай бағытталған қайтарушы күш әсер етеді. Бұл күш Гук заңы бойынша тепе – теңдік қалпынан ауытқыған дененің ығысуына пропорционал

                           (8)

    Қайтарушы күш тепе – теңдік қалыпқа қарай бағытталғандықтан  — қарама – қарсы Ньютонның 2 – заңы бойынша

                                         (9)

  үдеу  координаттың  екінші ретті туындысы

                 ;                  (10)

немесе

                           ;                  (11)

(11) теңдеуді  теңдеуімен салыстырсақ

                                    (12)

(11) теңдеудің шешімі

                                          (13)

немесе

                                            (14)

Циклдік жиілік ω – мен Т – периодтың арасындағы байланысты ескерсек

 

Олай болса, серіппелі маятниктің тербеліс периоды

                                  (15)

формуласымен анықталатындығын көрсету қажет.

    Серпімді деформацияланған дененің кинетикалық энергиясы

                                   (16)

    Мұндағы k – серіппенің қатаңдық коэффициенті. Қатаңдық коэффициентінің физикалық мағынасын айту қажет. Яғни k – серіппені бірлік ұзындыққа созу үшін қажетті серпімділік күшіне тең.

    (15) – теңдіктен  серіппенің қатаңдығы артқан сайын тербеліс периодының кемитінін көреміз.

    Дәл осы әдіспен математикалық және физикалық маятниктер тербелістерінің теңдеуін қорытуға болады.

    Математикалық маятникті тепе – теңдік қалпынан шамалы қашықтыққа ауытқытқанда ауырлық күші мен жүктің керілу күшінің тең әсерлі күші тепе – теңдік қалыпқа қарай бағытталады. Бұл күш

                (17)

екінші жағынан

    α – ауытқу бұрышы аз болған жағдайда

   екенін ескерсек

немесе

                     (18)

(18) теңдікті  теңдеуімен салыстырсақ

                (19)

    Тербеліс периоды      

    Олай болса, математикалық маятник үшін

                             (20)

(20) – теңдіктен математикалық маятниктің тербеліс периоды  оның ұзындығына тура пропорционал екенін көреміз.

    Физикалық маятникті тепе – теңдік қалыптан α – бұрышқа ауытқытқанда айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуіне сәйкес

                           (21)

(21) – теңдікті

                                                (22)

теңдігімен салыстырсақ

                                                  (23)

                                              (24)

    Физикалық маятниктің тербеліс периодын анықтайтын формуланы алуға болады.

 — физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы екенін ескерсек

    Физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы деп тербеліс периоды физикалық маятник периодымен бірдей болып келетін математикалық маятник ұзындығын айтатынын оқушыларға ұғындыру қажет.

 

• Еркін тербелістердің негізгі сипаттамалары

 

Еркіндік дәрежесі бірге тең жүйелердің еркін тербелістерінің негізгі сипаттамаларын анықтау үшін осы жүйенің белгілі бір нүктелерінің қозғалысын қарастырамыз. Осы жүйенің қайсыбір  нүктесінің радиус векторын , ал оның декарттық координаталарын  белгілейік.

Қалыпты жағдайдағы нүктенің радиус векторын , ал осы жағдайдағы нүктенің декарттық координаталарын  деп белгілейік.

 нүктесінің қалыпты жағдайдан ығысуы нүктенің осы жағдайдағы радиус-векторының айырмасымен анықталады.

Нүктенің ығысуының декарттық координаталарыңдағы проекциясын

                                                                          (25)   

формуласы арқылы табамыз.

Жүйенің нүктесінің координаталары жалпыланған х координаттарының функциясы болады.

 

Осы функцияларды х кіші дәрежелі шамасы бойынша ажыратамыз. Бұл ажыратулардың тұрақты мүшелері жүйенің қалыпты жағдайдағы координаттар мәніне тең болады, яғни

                                                             (26)

 

мұндағы: , ,  — тұрақты коэффициенттер.

, ,  — бастапқы кіші ретті шамаға дейінгі дәлдікпен анықталған нүктенің координаталары.   (26) теңдігінен

                                    (27)

Осы формулаларға  мәнін қойып

 

бұдан                             

 

 

Еркіндік дәрежесі бірге тең жүйелердегі еркін тербелістің сипаттамалары:

1. Жүйенің еркін тербелістері гармониялық тербелістер болады.

2. Жүйенің нүктесінің тербеліс амплитудасы яғни тербелістің бастапқы фазасы, бастапқы шарттарға тәуелді болады.
3. Жүйенің әр түрлі нүктелерінің амплитудаларының қатынасы бастапқы шарттарға тәуелді емес, себебі бастапқы шарт амплитудаға тек А көбейткіші арқылы әсер етеді. (жүйенің барлық нүктесіне ортақ)
4. Жүйенің барлық нүктесі әрқашан бір фазада орналасады, яғни бұл нүктелер бір уақытта өздерінің қалыпты жағдайынан өтеді, бұл нүктенің координаталары бірдей уақытта өздерінің максимум мәніне жетеді.

Еркіндік дәрежесі біргс тең жүйелердің еркін тербелістерінің бұл қасиеттері жуық сызықты дифференциалдық теңдеулерге негізделеді. Егер тербеліс амплитудасы кіші болса, бұл теңдеулер жүйенің нақты қозғалысын дәлірек сипаттайды.

 

• Кедергі күшінің бір еркіндік дәрежелі жүйедегі еркін тербелістерге әсері

 

Механикалық жүйенің еркін тербелістері нақты өмірде жүйенің механикалық энергиясының азаюын тудыратын кедергі күшінің бар болған кезінде түзіледі.

Айталық  жүйесінің әр нүктесіне әсер ететін кедергі күштері жылдамдыққа пропорционал болсын.

Онда қарастырып отырған бір еркіндік дәрежелі механикалық жүйеде жалпыланған кедергі күшін анықтаймыз.

мұндағы Ф — таралу функциясы.

Бір еркіндік дәрежелі жүйенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін алу үшін Лагранж теңдеуін қолданамыз.

Бір еркіндік дәрежелі жүйе үшін

 

 

Осы мәндерді Лагранж теңдеуіне қойып

                                                          (28)

аламыз

 

белгілеулерін енгізейік. Сонда (13) теңдеу келесі түрде өрнектеледі.

                                                 (29)

Бұл тендеуді тұрақты коэффициентті біртекті сызықты дифференциалдық тендеулерді интегралдау ережесімен интегралдай отырып, характеристикалық теңдеу құрамыз

бұл теңдеудің түбірі

 

 және  шамаларының қатынастарына байланысты 3 түрлі жағдай болуы мүмкін

1. яғни аз кедергі кезінде жүйенің қозғалысы өшетін тербелістер түрінде болады
2. яғни үлкен кедергі кезінде жүйе апериодты тербелістержасайды.
3. кезінде апериодты қозғалыстың шекті жағдайы болады.

Өшетін тербелістер:  кезінде (29) теңдеудің жалпы шешімі

                                                         (30)

түрінде болады.

Мұнда А және  бастапқы шарттар бойынша келесі формуламен анықталады

                              (31)

(30) теңдеуге сәйкес келетін қозғалыс — тербеліс түрінде болады. Бұл тербелістің графигі (1.1-суретте) бейнеленген.  көбейткіші уақыт өткен сайын азаяды. Сондықтан жүйенің тепе-теңдік жағдайынан ауытқуы да азаяды.   Өшетін тербелістің периоды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• – сурет

 

              (32)

Мұндағы  — кедергі болмаған кездегі жүйенің еркін тербелісінің периоды. Жүйенің тепе — тендік қалпынан ең үлкен екі ауытқуларын бөлетін уақыттың  тең, бұдан ол ауытқулардың мәні   1.2 – сурет.                                                                                            

 

 

 

 

 

 

 

                                           1.2 – сурет

 

 — абсолют шамасы, жүйенің тепе — теңдік жағдайынан ең үлкен екі ауытқуының қатынасы тербелістің декременті деп аталады. Ол бүкіл тербеліс қозғалысы кезінде өзгермейді.

                                  (33)

осы қатынастың натурал логарифм шамасы тербелістің логарифмдік декременті деп аталады.

                                                                              (34)

Апериодты қозғалыс:  кезінде (32) теңдеудің жалпы шешімі

                           (35)

түрінде болады.

Бұл апериодты қозғалыстың графигі (1.1б — суретте) бейнеленген.

 

Шекті апериодты  қозғалыс:  кезінде (35) теңдеудің жалпы шешімі

                                               (36)

түрінде болады.

с₁ және с₂ қозғалыстың бастапқы шарттары бойынша анықталып, (36) теңдеуі

                                          (37)

түрінде өрнектеледі.

Жүйенің апериодты қозғалысының жалпы сипаттамасы t уақыттың өсуі кезінде жалпыланған координатасының х — тің 0 — ге ұмтылуымен анықталады.

Жылдамдыққа пропорционал кедергі күшінің бір еркіндік дәрежелі жүйенің еркін тербелісіне әсерін қарастыра отырып, төмендегідей қорытындылар жасауға болады.

1. Кедергі күші теріс жұмыс істей отырып, жүйенің энергиясының шексіз азаюына әкеледі, сөйтіп ол жүйенің еркін тербелісінің амплитудасының кішірейюіне әкеліп соқтырады.
2. Аз кедергінің жүйенің еркін тербелісінің жиілігі мен периодына әсері аз, бірақ өте аз кедергінің өзі осы тербелістің тез өшуіне әкеліп соқтырады.
3. Үлкен кедергі кезінде апериодты қозғалыс болады, яғни тербеліс процесі болмайды. [8]

 

1.5 Еркін тербелістер. Серіппенің тербелісі

 

Табиғатта, әсіресе техникада өз — өзінен периодты тербелістер жасайтын денелер мен құрылғылар өте үлкен роль атқарады. Ондай тербелістер еркін тербелістер деп аталады.

Оған, мысал ретінде вертикаль бағытта жіпке ілінген жүктің тербелісін, балалардың әткеншегінің тербелісі, компастың стрелкасының тербелісі т.с.с жатқызуға болады.

Өздігінен тербеліске түсетін мұндай денелер немесе денелер жиыны тербелмелі жүйелер деп аталады. Бұл жүйелердегі тербелістер сыртқы күштің әсерінсіз болатындықтан, олар еркін тербелістер деп аталады.

Механикалық тербелмелі жүйелерден басқа радиотехниканың негізін құрайтын электр тербелістері болатын электромагнитті тербелмелі жүйелер де кездеседі.

Тербеліс дегеніміз бір траекторияның бойымен дененің ерсілі — қарсылы қозғалуы. Қарапайым мысал ретінде серіппенің ұшындағы жүктің қозғалысын қарастыруға болады. Басқа қалған мысалдар осыған ұқсас болғандықтан, бұл мысалды тәптіштеп қарастырамыз.

 

 

 

 

 

                                            1.2а – сурет

 

                                                  1.3 а – сурет

 

Серіппенің массасын ескермей, серіппе (1.3а) суреттегідей көлденең орналассын. Серіппенің бір ұшына массасы m жүк бекітілсін. Егер дене серіппені созатындай оңға   жылжытсақ немесе оны қысатындай солға    жылжытсақ, онда серіппе жүкті тепе — теңдікке түсіруге тырысатын, қайтарушы күшпен әсер етеді. Біздің жүйе үшін Ғ қайтарушы күшті серіппенің  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         1.3б-сурет                                                  1.3 в — сурет

созылу немесе сығылу ара қашықтығына тура пропорционал. (1.3 б, в сурет)

 

Осы формула серпімділік күші үшін орындалады. «-» минус таңбасы қайтарушы күштің орын ауыстыру бағытына қарама — қарсы екенін көрсетеді.

К — серіппенің қатаңдығы деп аталады. Серіппе қатты болған сайын, «к» тұрақтысы үлкен болады [2].

Сонымен F қайтарушы күшінің төмендегідей қасиеттері бар:

1-ші, ол жүктің тепе — теңдік қалпынан ығысуына пропорционал;

2-ші, ол әрқашан тепе — теңдік қалпына қарай бағытталған [15]

Егер серіппені  қашықтыққа созсақ, онда серіппе жүкті оны тепе — теңдікке келтіретіндей орынға әкелуге тырысады. (1.3 а — сурет). Бұл күш денеге үдеу беретіндіктен дене тепе — теңдікке үлкен жылдамдықпен келеді. Тепе — теңдік жағдайында денеге әсер ететін күш 0 — ге дейін кемиді де, жылдадық максимал мәнге ие болады (1.3 б — сурет)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                1.3 а – сурет                                    1.3 б – сурет

 

Дене тепе — теңдіктен өтіп, солға жылжығанда серіппе тарапынан әсер ететін күш оның қозғалысын тежейді,  нүктесінде дене бір мезетке тоқтайды (1.3в-сурет). Содан соң  нүктесіне келгенше қарама — қарсы бағытта қозғала бастайды. (1.3г, д — сурет). Әрі қарай осы процесс қайталанады.

                1.3 в – сурет                                                          1.3 г – сурет

                                                      1.3 д – сурет

 

Тербелісті түсіну үшін бірнеше терминдер енгізейік. Жүктің тепе — теңдік калпынан берілген уақыттағы тұрған орнына дейінгі х қашықтығы — ығысу деп аталады. Тепе — теңдіктен ең үлкен қашықтық — максимал ығысу – амплитуда (А) деп аталады.

Қандай да бір бастапқы нүктеден  нүктесінен  нүктесіне және керісінше  нүктесіне қарай қозғалыс толық тербеліс деп аталады. Бір толық тербеліске кеткен уақыт — период (Т) деп аталады. 1 сек ішіндегі толық тербелістер саны жиілік  деп аталады. Оны Герцпен өлшейді. (Гц)

                                           (37)^/

Тіке ілінген серіппенің тербелісі көлденең серіппенің тербелісіне ұқсас. [2]

Егер жүк тепе — теңдік қалпынан төмен қарай ығысса қайтарушы күш жоғары қарай бағытталады, жүк жоғары қарай ығысқанда қайтарушы күш төмен бағытталады. [4]

Тіке серіппенің ұзындығы ауырлық күшінің әсерінен тепе — теңдік қалыпта көлденең серіппенікінен ұзынырақ болады. Бірақ, ығысуды тепе — теңдіктің жаңа орнынан бастап есептесе, онда (23) формуласын «к» — ң мәнін өзгертпей сол күйінде қолдануға болады. [2]

Біз қарастырған мысалда қайтарушы күш шынында, өзінің табиғаты бойынша серпімді. Басқа тектегі күштерде де осындай заңдылық байқалуы мүмкін, яғни —  шамасына тең болуы мүмкін, мұндағы  -тұрақты оң шама. Табиғатына қарамастан, мұндай күштерді квазисерпімді деп атау келісілген.

Квазисерпімді күш дегеніміз сонымен табиғаты жағынан серпімді емес, бірақ ауытқуы тәуелділігі жағынан серпімді күшке ұқсас болып келген күштер. [12]

 

ІІ.  Гармониялық тербелістер

       2.1 Гармониялық тербелістер туралы жалпы мәліметтер

Қайтарушы күш  — пен өрнектелетін кез келген тербелмелі жүйе гармониялық тербеліс жасайды. Ондай жүйені көбіне гармониялық осциллятор деп атайды. Табиғатта тербелістер гармониялық немесе соған жақын болады. Ығысудың уакытқа байланысты өзгеруін қарастырайық. Ол үшін Ньютонның ІІ — заңын қолданамыз.

Үдеу  болғандықтан

                           (2.1)

Мұны әрі қарай түрлендіріп,

                          (2.2)

(2.2) теңдеуі гармониялық осциллятордың қозғалыс теңдеуі деп аталады.

Математикада мұны дифференциалдық оператор кіргендіктен дифференциалдық теңдеу дейді.

x(t) теңдеуінің жалпы шешімін табуымыз қажет. Теңдеудің шешімін тәжірибеден көреміз.

                                            2.1 – сурет.

 

 

 

 

 

 

2.1-сурет

 

Егер тербеліп тұрған жүкке қарандаш жалғап, тұрақты жылдамдықпен оның астына қағаз қойып, тартсақ, онда қарандаш синусоидалық қисықты сызады.

Яғни теңдеудің шешімін

 

түрінде іздейміз.

мұндағы  — тұрақты.

Теңдеудің шешімі

 

болады.

Жалпы жағдайда теңдеудің шешімі

а, в — тұрақтылар.

Осы шешімді 2 рет дифференциалдап,

 

мұны теңдеуге қойып

немесе

Сонымен, біздің тапқан шешіміміздің теңдеуді барлық  үшін

 немесе  болғаңда қанағаттандырады.

Сонымен теңдеудің шешімі

                 (2.10)

Реалды физикалық есептерде a және в тұрақтылары бастапқы шарттармен анықталады. Егер жүкті максимал ығысуға  апарып, жіберсек, онда қозғалыс

мұнда ,  косинусоида бойынша өтеді.

Eгep t=0 уақытта жүк х=0 нүктесінде болып, оны ұрып оған бастапқы жылдамдықты х — ң оң бағытымен берсек, онда ,  деп алуымыз керек. Сонда жалпы шешім

 болады.

(2.10) теңдеудің шешімін

                          (2.11)

түрінде де жазуға болады.

(2.10) пен (2.11) теңдеуінің бірдейлігі тригонометриялық тепе – теңдіктен шығады.

 

(2.11) теңдеуі (2.10) теңдеуіне қарағанда физикалық тұрғыдан қарапайым.

 — шамасы бастапқы фаза деп аталады. Ол  уақыттағы А максимал

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 – сурет

ығысудан қалғанын немесе озғанын көрсетеді.

 болғанда ал  болғанда                                               

 

 шамасы x(t) қисығының формуласына әсер етпейді. Ол қандай да бір  кезіндегі орнына ғана әсер етеді.

Сонымен гармониялық тербелістер синусойдалы болады. Тербеліп тұрған дененің қозғалысы Т периодпен қайталанатындықтан және синус, косинус функциясының периоды -гe тең болғандықтан (2.4) теңдеуінен  аламыз.

мұндағы  — тербеліс жиілігі.

                 — циклдік жиілік.

Сонымен (2.4) теңдеуді

                    (2.5)

немесе  деп жазуға болады.

мұндағы

                               (2.6)

 

жиілік пен тербеліс периоды амплитудаға байланысты емес.

(2.6) формуладан масса үлкен болған сайын жиілігі азаятынын, серіппенің қатаңдығы үлкейген сайын, жиілік көбейетінін көреміз. Шынында да массасы үлкен дене инертті, үдеуі аз, ал қатаңдығы үлкен серіппе көп үдеу туғызады.

(2.5) теңдеуін дифференциалдап, тербелістің жылдамдығы мен үдеуін табуға болады.

                            (2.7)

                   (2.8)

Гармониялық осциллятордың жылдамдығы мен үдеуі де синусоидалық заңмен өзгереді. [2]

1. материалдық нүктенің жылдамдығы мен үдеуі, ығысу сияқты, () және периоды () бірдей гармониялық тербеліс жасайды.
2. Бұл тербелістердің амплитудалары әр — түрлі:

Ығысу амплитудасы — А;

Жылдамдықтың амплитудасы — ;

Үдеудің амплитудасы — .

3. Тербелістердің фазалары да әр түрлі: Жылдамдық тербелісінің фазасы ығысу тербелісінің фазасынан — ге озып кетсе; Үдеу тербелісінің фазасынан — гe озып кетеді. [5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            2.3 – сурет

                                                     2.3 — сурет

2.3 — суретте гармониялық осциллятордың ығысу, жылдамдық, үдеуінің  үшін уақытқа байланысты тәуелділігі көрсетілген.

Жүк х=0 нүктесінде тепе — теңдік күйінен өткенде жылдамдық өзінің

максимал мәніне ие болады. Жылдамдық максимал ығысу  кезінде 0 — ге тең. Үдеудің максимал мәні

, ал  нүктесінде үдеу 0 — ге тең болады.

Жалпы жағдайда , А жәнс  тұрақтыларын  айнымалыларының  уақыттағы бастапқы мәндерімен байланыстыруға болады.

 

Тағы да бір мәселені қосымша қарастырайық. Гармониялық осциллятордың импульсын табайық.

(42) өрнегін уақыт бойынша дифференциалдап және алынған нәтижені осциллятордың m массасына көбейтіп төмендегіні табамыз.

                            (2.9)

Осциллятордың х ауытқуымен сипатталатын әрбір жағдайында импулсьтің кейбір Р мәні болады.

Бұл өрнектерді квадраттап және қосу арқылы мынаны аламыз.

                                            (2.10)

2.4 — суреттегі гармониялық осциллятордың Р импульсының х ауытқуға тәуелділігінің графигі кескінделген.

 координата жазықтығын фазалық деп, ал оған келетін графикті фазалық траектория деп атайды. (34) формуласымен сәйкес гармониялық осциллятордың фазалық траекториясы жарты осьтері  және  болатын эллипс болып табылады. Фазалық траекториясының әрбір нүктесі х ауытқуды және Р импулъсті, яғни уақыттың кейбір мезетіндегі осциллятордың күйін кескіндейді. Уақыт өткен сайын күйді кескіндейтін нүкте (қысқаша оны бейнелеуші нүкте деп атайда) фазалық траектория бойымен қозғала отырып, тербеліс периоды ішінде оны толық бір айналып шығады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 2.4 — сурет

 

Бейнелеуші нүктенің қозғалысы сағат тілінің қозғалысы бойынша бағытталатындығына оңай көз жеткізуге болады. Шынында да,  ( — бүтін сан) болатын  уақыт мезетін алайық. Бұл уақыт мезетінде  және  (2.4 суреттегі 1 нүктесіне қараңыз) сәйкес келеді. Одан арғы уақыт мезетіндегі х кеми береді, ал Р модулы бойынша үнемі өсіп отыратын теріс мәндер қабылдайды. Демек, бейнелеуші нүкте 2.4 — суретте стрелкамен көрсетілген бағытта, яғни  сағат тілінің қозғалысы бойынша қозғалады. [4]                                                                

Эллипстің ауданын табайық. Ол эллипс жарты осьтерінің  — гe көбейтіндісіне тең екендігі белгілі

 — осциллятордың толық энергиясы;

 — шамасы  — ге тең. мұндағы  — берілген осциллятор үшін тұрақты шама болып саналатын осциллятордың меншікті жиілігі. Демек эллипстің ауданын мына түрде бере алады:

бұдан

                                                 (2.12)

Сонымен гармониялық осциллятордың толық энергиясы эллипстің ауданына пропорционал болады, әрі пропорционалдық коэффициентін осциллятордың меншікті жиілігі атқарады.

Эллипс ауданын  интегралы ретінде есептеуге болады. Сондықтан (48) формуласын мынадай түрге келтіруге болады.

Соңғы қатыс кванттық механиканың негізін жасауда үлкен роль атқарады. [15]

Бұл тарауда біз  дифференциалдық теңдеуінің жалпы аналитикалық шешімін таптық.

Барлық дифференциалдық теңдеулер былай тез шешілмейді. Берілген бастапқы шарттарды қолданып сандық интегралдау арқылы шешуге болады. Ол қосымша информация беруі мүмкін. [2]

Жалпы жағдайда сонымен жиілік

Гармониялық тербеліс периодын біле отырып, жиілікті анықтауға болады. Бұл анықтама тек гармониялық тербелістер үшін дұрыс, басқа формалы тербелістер үшін белгілі бір жиілігі болмағандықтан сәйкес келмейді.

Сондықтан белгілі бір жиілік туралы сөз болғанда тек гармониялық тербеліс туралы айтылады.

Табиғатта, техникада жиіліктері әр — түрлі механикалық тербелістермен кездесуге тура келеді. Мысалы, камертондар 10 — нан бірнеше килогерцке дейін тербеледі. Молекулалардың ішіндегі атомдардың тербеліс жиілігі миллион мегагерцке жетеді. [3]

 

 

2.2  Гармониялық осциллятордың энергиясы.

 

Массасы m жүк квазисерпімді  күштің әсерінен тербелетін болсын, мұндағы  — жүктің тепе — тендік қалыптан ығысуы.

Жүк тербеліске келетіндіктен оның жылдамдығы болады, олай болса кинетикалық энергиясы болады. Мұнымен қатар потенциалдық энергиясы да болады. Түрлі орындарда жүк жылдамдығының әр түрлі болатындығы оның кинетикалық энергиясының уақытқа байланысты өзгеріп отыратындығын көрсетеді. Сондықтан да оның потенциалдық энергиясы да өзгеретіңдігі бізге мәлім. Потенциалдық энергия дененің орын ауыстыруы үшін сыртқы күштердің істейтін жұмысының шамасымен өлшенеді. [6]

Яғни, гармониялық осциллятор үшін қайтарушы күш  беріледі. Ығысу функциясы ретінде потенциалдық энергия

бұл жерде интегралдау тұрақтысын  — де U=0 алу үшін 0 — ге теңестіріп алдық.

Толық механикалық энергия

мұндағы  — дененің тепе — теңдік қалыптан х — ке ығысудағы жылдамдығы. [2]

Квазисерпімді күш консервативті күш болып саналады. Сондықтан гармониялық тербелістің толық энергиясы тұрақты болып қалуы керек. [5]

Басқаша айтқанда гармониялық тербеліс кезінде үйкеліс болмайтындықтан толық механикалық энергия сақталады.

Жүк тербеліс жасағанда кинетикалық энергия потенциалдыққа және керісінше ауысады. [4]

Потенциалдық энергияның мәні максимум болғанда (шеткі мәндерінде) ауытқудың кинетикалық энергиясы 0 — ге тең болады; Тепе — теңдік қалыпты басып өткен кезде кинетикалық энергия максимумге жетеді. Бұл нүктеде потенциалдық энергия 0 — ге тең бодады. [14]

Яғни, шеткі нүктелерде   болғандықтан барлық энергия потенциалдық энергияға ауысады.

                                                    (2.2.1)

бұдан шығатын қорытынды: гармониялық осциллятордың толық механикалық энергиясы тербеліс амплитудасының квадратына тура пропорционал болады.

Тепе — теңдік қалыпта  барлық энергия кинетикалық энергияға ауысады.

                                                (2.2.2)

  -тербеліс кезіндегі жететін максимал жылдамдық.

Ал аралық нүктелерде потенциалдық та, кинетикалық та энергия 0 — ге теңеспейтіндіктен, энергия сақталатындықтан

Яғни, толық энергия тербеліс амплитудасының, квадратына және серпімділік коэффициентіне (серіппенің қатаңдығына) пропорционал болады.

Гармониялық тербелістің кинетикалық және потенциалдық энергиялары уақыт бойынша қалай өзгеретінін айқындайық.

Кинетикалық энергия төмендегі арқылы анықталады.

                  (2.2.3)

Потенциалдық энергия мына формуламен өрнектеледі.

                      (2.2.4)

(2.2.3) және ((2.2.4) өрнектерін  қатысын ескере отырып қоссақ, төмендегіні аламыз.

 немесе

Сонымен гармониялық тербелістің толық энергиясы шынында да тұрақты болады. [4]

Бұдан

 

табамыз.

Осыдан  кезде , ал  кезінде 0 — ге тең екенін тағы да көреміз.

2.5-суретте  потенциалдық энергияның қисығы көрсетілген. [2]

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      2.5-сурет

 

Тепе – теңдік қалыптағы потенциалдық энергияны нольге тең деп ұйғарамыз. Жүкке  ығысу берсек ол тепе — теңдікке қарай артып отыратын  жылдамдықпен қозғалады. Бұл кезде жүйенің потеициалдық энергиясы кеми бастайды, бірақ орнына үнемі артып келе жатқан кинетикалық энергия пайда болады. Тепе — теңдік қалпына келген соң шарик энергия есебінен қозғала береді. Бұл қозғалыс кемімелі қозғалыс болады және кинетикалық әнергия потенциалдық энергияға айналғанда, яғни жүктің ығысуы – А — ға тең болғанда тоқталады. Одан кейін жүк кері бағытта қозғалғанда осындай процестер өтеді. Егер жүйеде үйкеліс болмаса, жүйенің энергиясы сақталады және жүк  — ға дейінгі аралықта шексіз ұзақ қозғала береді. [6]

Суретте горизонталь сызық толық энергияның  мәніне сәйкес келеді. Осы сызықтан U қисығына дейінгі қашықтық кинетикалық энергияға, ал қозғалыс  аралығында шектеледі.

 

2.3  Байланысқан жүйелер тербелістері

 

Егер жүйенің бірнеше еркіндік дәрежелері болса, тепе-теңдік күйден аз ауытқығанда барлық еркіндік дәрежелер бойынша тербелмелі қозғалыстар жүруі мүмкін. Мысалы, екі еркіндік дәрежесі бар математикалық маятник аспа нүктесі арқылы өткен екі өзара перпендикуляр жазықтықтарда тербеле алады.

Егер әрбір еркіндік дәрежесіне сәйкес тербелістер өзара тәуелсіз болса, яғни бір-бірімен энергия алмастыра алмаса, жүйе қозғалысы әрбір еркіндік дәрежесіне сәйкес қозғалыстардың кинематикалық қосындысымен анықталады. Ал, әр түрлі еркіндік дәрежелер арасындағы мүмкін болатын байланыстар жүйе тербелісін физикалық жаңа заңдылықтарға бағындырады.

Серіппемен қосылған екі маятниктен түратын байланысқан жүйені қарастырайық (2.6-сурет).

                                                      2.6-сурет

Бұл жүйенің төрт еркіндік дәрежесі бар, яғни ол тепе-теңдік жағдайда болатын жазықтықта және сол жазықтыққа перпендикуляр бағыттарда тербеле алады. Қарастырылып отырған жүйе қозғалысын жиіліктері байланысқан жүйенің қалыпты жиілігі деп аталатын төрт гармоникалық тербелістердің суперпозициясы түрінде елестетуге болады. Қалыпты жиіліктердің саны еркіндік дөрежесі санына тең.

Аспа нүктесі мен маятниктердің тепе-теңдік нүктесі арқылы өтетін жазықтықта тербелген маятниктер жүйесін қарастырайық. Бұл жағдайда жүйенің екі еркіндік дәрежесі болады. Егер әуелі бір маятникті тепе-теңдік қалыпта ұстап, екіншісін кішкентай бұрышқа ауытқытып, содан кейін екеуін де бір мезгілде босатып жіберсек, бірінші маятниктер белісінің амплитудасы өсіп, екінші маятник амплитудасы кішірейе береді. Процесс бірінші маятниктің амплитудасы ең үлкен мәніне жетіп, екінші маятник тоқтағанша жүре береді. Ары қарай кері процесс басталады, яғни бірінші маятниктің амплитудасы кішірейіп, екіншісінікі өседі. Сонымен, маятниктер  уақыт өткен сайын өзара энергиямен алмаса отырып, біресе өсетін, біресе кемитін тербелістер жасайды.

Тәжірибеге қарағанда маятниктердің бастапқы фазаларына тәуелсіз  уақыт үнемі тұрақты болады. Тек қоздыру әдісіне байланысты маятник тербелістері амплитудаларының максимумы мен минимумы арасындағы айырмашылық өзгеріп отырады,

Жалпы жағдайда маятниктер тербелістері гармоникалық болмайды. Дегенмен, симметрия түрғысынан маятниктер тербелістері гармоникалық болатындай қылып жүйені екі түрлі әдіспен қоздыру жолын көрсету мүмкіншілігі бар. Егер маятниктерді бір бағытта бірдей бұрышқа ауытқытсақ, олар  жиілікпен араларында серіппе жоқ сияқты (серіппенің массасы маятниктер массасынан анағүрлым аз) тербеле бастайды. Ал, егер маятниктерді қарама-қарсы бағытта бірдей бұрышқа ауытқытсақ, олар  жиілікпен қарсы фазада тербеледі. Мұндай қарапайым тербелістерді қалыпты деп атайды. Маятниктердің мүмкін болатын кез келген тербелісін жиіліктері  және  тербелістердің қосындысы түрінде бейнелеуге болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.7-сурет

 

Байланысқан маятниктердің (2.7-сурет) шағын тербелістерін қарастырайық. Кішкентай тербелістер кезінде нүктенің вертикаль бағыттағы ығысуын ескермеуге болғандықтан, қозғалыс бір түзу бойында жүреді деуге болады. Зерттеу үшін қозғалыстың динамикалық заңдарын қолданамыз. Маятниктердің қозғалыс теңдеулері мына түрде жазылады:

                                             (2.2.5)

 

                                           (2.2.6)

 

мұнда  — маятниктер жіптерінің ұзындығы, m — әрбір маятниктің массасы,  — серіппенің қатқылдық коэффициенті. Соңғы екі теңдеуді өзара қосып, бірінен бірін алайық:

 

 

Сонымен, маятниктер ауытқуларының қосындысы мен айырымы үшін алынған теңдеулер еркін гармоникалық тербелістер теңдеулеріне ұқсас болып шықты:

                                     (2.2.7)

                                                (2.2.8)

 

мұнда

                                                                                 (2.2.9)

 

                                                                        (2.2.10)

 

 

Жоғарыдағы (11.3) және (11.4) қозғалыс теңдеулерінің шешімдері

 

                                                            (2.2.11)

 

                                                           (2.2.12)

 

түрінде болады.

Бұлардан х₁ және х₂ мәндерін табамыз:

 

                                        (2.2.13)

 

           ,.                          (2.2.14)

 

Демек, жоғарыда (2.2.10) және (2.2.11) формулалармен анықталған  және  шамалар екі еркіндік дәрежесі бар байланысқан жүйе тербелістерінің қалыпты жиіліктері екені айқын.

 

 

 

ІІІ  МЕХАНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕР

 

3.1 Бұралмалы тербелістер

 

Ауырлық центрі арқылы өтетін осьтің бойымен серпімді тербеліс жасайтын денелерді бұралмалы тербеліс жасайды дейді.

Егер сымға диск байлап оны бір бағытта бұрап айналдырсақ

(3.1 сурет), онда диск кері қарай да айналады. Мұнда екі рет кинетикалық энергияның потенциалдық энергияға айналуы болады. Мұндай тербелістер двигательдердің дөңгелектерінде кездесіп, кейде зиянын тигізеді.

 

 

 

 

 

 

 

Қол және қалта сағаттарында балансир қолданылады. Балансир периодты түрде айналып, серіппе өзінің тепе — теңдік күйінен екі жаққа майысады.

Сонымен балансир бұралмалы маятниктің мысалы бола алады.

Бұралмалы тербелісте жүйенің қаттылығы азайған сайын периоды да, массасы да соғұрлым үлкен болады.

Бұралмалы тербелісте дененің массасы ғана емес, оның айналу осі бойынша таралуы да әсер етеді.

Мысалы: егер сымға А және В екі бірдей жүкті симметриялы түрде ілейік. Жүктердің ара қашықтығын үлкейткенде тербелістердің жиілігі гантельдің массасы өзгермесе де азаяды.

А және В жүктердің орнына ауырырақ жүк алып, орындарын өзгертпесек, онда жиілігі тағы да азаяды. Бұралмалы тербелістер аздаған бұрау бұрыштарыңда гармониялық болып қалады.

 

 

 

 

 

 

Олардың периоды     анықталады.

Мұндағы:  — жүйенің қатаңдығын анықтайтын коэффициент.

Сан жағынан  1 радианға бұрауға кеткен бұрау моментіне тең.

I — айналу осіне байланысты массаның таралуын көрсететін инерция моменті.

Гантель үшін

Мұндағы: m – жүктің массасы.

 r — жүктен айналу осіне дейінгі қашықтық.

Бұралмалы тербелістерден басқа серпімді тербелістерге де қысқаша тоқталып өтейік.

Тербелістер үшін қайтарушы күштің болуының өзі маңызды, ал тепе — теңдік жағдайына бағытталып тұратын күш жалпы айтқанда, ол тепе — теңдік жағдайдан алыстаған сайын өсе береді. Мұндай күштер қатты дененің деформациясы кезінде пайда болатын серпімді күштерді бейнелейді. [14]

Сонымен мұндай серпімді күштер де тербелістер туғыза алады. Қайтарушы күштен пайда болған тербелістерді серпімді тербелістер деп атайды. Жоғарыда біз бірнеше мысалдар келтіргенбіз. Пружинаға ілінген жүктің тербелісі, рессорлы вагонның, тартылған ішек, кеменің тербелісі — барлығы серпімді тербелістерге жатады.

Мысалы пружинаға ілінген дененің тербелісін қарастырсақ, бұл жағдайда деформация энергиясы тек пружинада бар деп санауға болады. Себебі дененің деформациясын есепке алмаса да болады. Егер дененің массасы пружинаның массасымен салыстырғанда үлкен болса, онда кинетикалық энергия тек денеде бар деп есептейміз. Ал пружинаның массасын есепке алмаймыз. Осылайша энергияның кинетикалық потенциалдыққа және кері ауысуы, сонымен қатар энергияның денедегі пружинаға және кері ауысуы болып табылады.

Осы пружиналар үшін үлкен массалы дене алып, тербелістің жиілігінің төмендейтініне көз жеткізуге болады. Бұл тәжірибеге пружинаның массасын есепке алмағанда дәлірек алуға болады.

Барлық жағдайда серпімді тербелістер жүйесіндегі массаның өсуі тербелістің тоқталуына, олардың периодының өсуіне алып келеді. Денені бұрынғы қалпында қалдырып, пружинаны одан да қаттырақ пружинаға ауыстырып тәжірибе жүргіземіз. Бұл сол кезде тербеліс периодының кемуін байқаймыз.

Осылайша, серпімді тербеліс периоды пружинаның қаттылығы артқан сайын кемиді. Пружинадағы жүктің серпімді тербелісті зерттеу өте үлкен емес амплитудада бұл тербелістердің гармониялық болатынын көрсетеді, сонымен қатар одардың периоды математикалық маятниктің формуласына ұқсас формуламен өрнектеледі. [3]

 

3.2 Маятник және оның тербелісінің кинематикасы

 

Кез келген іліну нүктесі ауырлық центрінен жоғары ілінген дене маятник деп аталады.

Шегеге ілінген балға, таразы, жіпке ілінген жүк — бұлардың барлығы қабырғаға ілінген сағат тәрізді тербелмелі жүйенің маятнигі болып табылады.

Еркін тербеліс жасайтын кез келген жүйенің тепе — теңдік күйі болады.

Маятник үшін ол іліну нүктесінен ауырлық центрінің төмен жататын вертикаль қалпы.

Егер маятникті бұл күйден шығарып түртсек, ол тербеле бастайды. Тепе — теңдік күйден ауытқитын ең үлкен орны тербеліс амплитудасы деп аталады.

Амплитуданың мәні маятниктің алғашқы ауытқуымен анықталады.

Амплитуданың бастапқы орынға байланысты тәуелділігі тек еркін тербелістер үшін емес, сонымен қатар көптеген тербелмелі жүйелерге тиісті.

Маятниктің ұшына қыл байлап күйе жағылған пластинамен жүргізсек, онда қьш пластинаның бетіне ирек сызық сызып шығады. Бұл тәжірибеде қарапайым осциллограф аламыз. Осциллографтың жазатын сызықтары осциллограмма деп аталады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АВ – тербеліс амплитудасы, СД – периоды.

Пластинаны бірқалыпты қозғалтқаннан, оның кез-келген орын ауыстыруы уақытқа пропорционал болады.

Сондықтан ав – түзуінің бойына уақытты салуымызға болады.

аb — перпендикуляр бағытта қылдың тепе — теңдіктен ара қашықтығын, яғни маятниктің ұшының тепе — теңдік күйден жүрген жолын сызады.

Сонымен осциллограмма маятниктің жолының уақытқа байланысты қозғалыс графигі болып табылады. Мұндай сызықтарда көлбеу сызық қозғалыс жылдамдығын көрсетеді.

Тепе – теңдіктен маятник ең үлкен жылдамдықпен өтеді. Суретте бұған сәйкес келетін көлбеу сызық ав сызығын ең үлкен бұрышпен кеседі.

Ең үлкен ауытқуларда жылдамдығы 0 — ге тең болатындықтан көлбеу бұрышы 0 — ге тең де, ав — ғa параллель болады.

Мысалы, камертон тербелісін қарастырайық.

Дауыс шығаратын камертон, тура маятник сияқты тербеліс жасайды. Осциллограф ретінде камертон аяғына қыл байлап, күйе жағылған пластинадағы қисықты байқауға болады. Амплитудасы мен периодының аздығынан, жарық бағыттаушысы және айнадағы жазбасы бар осциллографты қолданған ыңғайлы. Ол үшін камертонның аяғына айна бекітеміз. Айнадан және айнадағы барабаннан шағылған жарық сәулесі қабырғада жарық дағын береді.Егер камертонды ұрып қалсақ, онда дақ вертикаль жолақ бойымен орын ауыстырады да, жолақ бізге белгілі бір қисық ирек сызықты сызады.

Амплитуда мен период, периодты қозғалыс жайында толық мағлұмат бермейді.

Амплитуда мен периоды бірдей, бірақ формалары әртүрлі периодты қозғалысты келтіруге болады. Формалары әртүрлі тербелістердің ішінде маятник пен камертон тербелісінің формасын айрықша атап көрсетуге болады. Ондай формаға серіппеге ілінген жүк тербелісі де, айнымалы ток тербелісі де ие. Тербелістің мұндай формасы, шеңбер бойымен бір қалыпты қозғалыспен байланысты. [1]

1. Математикалық маятник. Математикалық маятник деп салмақсыз және созылмайтын жіпке ілінген, массасы бір нүктеге жинақталған идеалданған жүйені айтады. [5]

Егер кедергі күші әсер етпесе математикалық маятниктің тербелісі еркін тербеліске жатады. Олай болса математикалық маятниктің қозғалысын сипаттайтын шамалардың бәрі, гармониялық тербеліс шамалардың бәрі гармониялық тербеліс теңдеуімен анықталады. Маятник бір жазықтықта өте аз бұрышқа ауытқиды деп есептесек, оның координатасын бір осьтің бойымен өзгереді деп қарастыруға болады. [15]

Сонымен математикалық маятник жіңішке жіптің ұшына байланған кішкене жүктен тұрады. Жіп созылмайтын, оның массасын жүктің массасына қарағанда ескермеуге болады. Математикалық маятниктің қозғалысын гармониялық тербеліс ретінде қарастыруға болады.

Жүк тепе – теңдік күйден екі жаққа да бірдей амплитудамен тербеліп, төменгі нүктені максимал жылдамдықпен өтеді. [2]

Яғни, маятник еркін тербелгенде оның h биіктіктегі потенциалдық энергиясы, маятник 0 нүктесінен өткенде түгел кинетикалық энергияға айналады және бұл нүктеде дененің жылдамдығы да, кинетикалық энергиясы да максимал мәнге жетеді. [4]

Осы тербеліс гармониялық па? Маятниктің доға бойымен х ығысуы .

 

 

 

 

 

 

 

Мұндағы: L — іліну нүктесінен масса центріне дейінгі қашықтық.

        — жіптің вертикаль бойымен ауытқуы.

Сонымен қайтарушы күш х — ке не  — ға пропорционал болса, онда тербеліс гармониялық болады. Қайтарушы күштің ролін дененің ауырлық күшінің құраушысы атқарады.

Доғаға жанама күш

 күші  бұрышына емес, оның синусына пропорционал болғандықтан, ол гармониялық емес.

Егер  бұрышы өте аз болса, онда синустың мәні бұрыштық радианмен алынған мәнінен айырмашылығы аз болады. Бұған тригонометриялық таблицалардан көз жеткізу қиын емес. Суретте көріп тұрғанымыздай доғаның  ұзындығы  хорданың ұзындығынан аз ғана айырмашылық жасайды. 15° — тан аз бұрыштар үшін  мен  мәні 1% — тен аз ғана айырмашылық жасайды.

Өте кішкене бұрыштар үшін

өте аз жуықтау болып табылады.  болғандықтан

Сонымен, вертикальдан өте аз ауытқу кезінде математикалық маятниктің қозғалысын  формуласымен анықталатын гармониялық тербеліс деп қарастыруға болады. [2]

Мұнда

                                 (3.1)

Математикалық маятниктің периоды оның ұзындығына және маятник тербеліп тұрған географиялық ендікке ғана тәуелді. Өйткені еркін түсу үдеуі географиялық ендікке тәуелді. [5]

Математикалық маятник тербеліс периодының мынадай қасиеттері бар.

1. Тербеліс периоды массаға тәуелсіз.
2. Тербеліс периоды амплитудаға тәуелсіз.
3. Тербеліс периоды маятник ұзындығының квадрат түбіріне, еркін түсу үдеуінің квадрат түбіріне тура пропорционал.
4. Тербеліс периоды еркін түсу үдеуінің квадрат түбіріне кері пропорционал. [5]

Бұған ең алғаш Галилей назар аударған.

Бұл жаңалық бірнеше ғасырдан бері дәл уақытты өлшейтін прибор — маятникті сағаттардың жасалуына жол ашты.

Маятниктің тербелісі қатаң түрде гармониялық емес оның тербеліс периодын жалпы түрде

                (3.2)

көрсетуге болады. Мұндағы  — маятниктің максимал бұрыштық ығысуы. [2]

(3.2) формуласының қайдан шыққанына тоқталсақ:

Маятник тепе — теңдік қалыптан ауытқыған кезде шама жағынан  — гe тең айналдырушы момент пайда болады. Ол маятникті тепе — теңдік қалпына келтіруге тырысатындай болып бағытталады және бұл жағынан квазисерпімді күш тәрізді М моменті мен бұрыштық ығысуына қарама — қарсы таңба жазу керек. Демек айналмалы моментке арналған өрнек мына түрде жазылады.

                                                           (3.3)

Маятник үшін айналмалы қозғалыс динамикасының формуласын жазамыз. Бұрыштық үдеуді  арқылы белгілеп және маятниктің инерция моменті  шамасына тең екендігін ескере отырып, мынаны аламыз:

Соңғы теңдеуді мына түрге келтіруге болады.

                                                     (3.4)

Әлсіз тербелістерде З деп ұйғаруға болады. Сонымен бірге  белгілеуін енгізе отырып, біз төмендегі теңдеуге келеміз.

                                                        (3.5)

Бұл пружинаға ілінген шарикке арналған теңдеуге ұқсас теңдеу. Оның шешімі

                                                (3.6)

түрінде жазылады.

(3.4) теңдеуін шешіп, тербеліс периодына арналған төмендегі формуланы алуға болады екен. [4]

Жоғарыдағы формулада әрбір келесі мүше алдыңғысынан кіші. Сондықтан бізге қандай дәлдікпен алу керек болса, сонша мүше аламыз.  болғаңда (3.1) формуласы 0,5% аз қателік береді, бұрыш артқан сайын қателік те көбейеді. Миятниктің үйкеліс әсерінен амплитудасының азаюы, оның дәл жүруіне әсерін тигізетін еді. Бірақ серіппенің энергиясы мен гирлер үйкеліске кеткен энергияны компенсациялап, амплитуданы тұрақты етіп ұстап тұрады. Сөйтіп сағаттар тура жүреді.

Маятник геологияда қолданылады. Геологтар жердің қабығының біртекті еместігін зерттейді. Ол үшін олар процизиялы маятник қолданылады.

Мысалы

Геолог жер бетінде ұзындығы 37,10см, амплитудасы 6,0° математикалық маятниктің көмегімен еркін түсу үдеуін өлшеді. Оның тербеліс жиілігі 0,8152 Гц екен. Геолог қандай еркін түсу үдеуін өлшеді?

Шешуі

(2) теңдеудегі жақшаның ішіндегі қосынды

 [2]

2. Физикалық маятник. Өзінің салмағының арқасында тербелетін реал қатты денені физикалық маятник дейді. Яғни, физикалық маятник деп оның инерция центріне дәл келмейтін қозғалмайтын нүкте маңындат тербеліс жасай алатын қатты денені айтады.

Физикалық маятникті, айналу қозғалысының динамикалық теңдеулері арқылы оқып үйрену ыңғайлы.

27 — суретте 0 нүктесіне ілінген беисбол битасы көрсетілген. 0 нүктесіндегі физикалық маятникке әсер ететін күш моменті

Ньютонның II заңы бойынша айналмалы қозғалыс үшін

 

 

 

 

 

 

 

мұндағы I — дененің инерция моменті.

 — бұрыштық үдеу. Сонымен немесе

деп жазуға болады.

Өте aз бұрыштар үшін , сондықтан соңғы теңдеуді төмендегідей жазуға болады.

Бұл теңдеу eгep  — ның орнына х және  — ң орнына  — ді қойсақ, гармониялық теңдеуді еске түсіреді.

Сонымен аз бұрыштық ығысулар үшін физикалық маятник

 гармониялық тербелістер жасайды.

Мұндағы  — вертикаль түзуден максимал бұрыштық ығысу. Физикалық маятниктің тербеліс периоды

                    (3.7)

Үлкен бұрыштық ығысулар үшін математикалық маятниктегідей  — ның формуласына жуықтауларды енгізуіміз керек.

Айналмалы қозғалыс, егер күш моменті  тең болғанда гармониялық тербелістер жасайды. Мұндағы  — жүйенің параметрлеріне тәуелді тұрақты.

Мысалы

Инерция моментін өлшеу.

Инериия моментін өлшсу үшін, сол дененің айналу осіне байланысты периодын өлшеген жеткілікті. Массасы 1.6 кг біртекті емсс ағаштың ауырлық центрі оның бір ұшынан 42 см қашықтықта орналассын.

Егер ағашты сол ұшынан тербелтсек онда ағаштың еркін тербелістерінің жиілігі 2,5 Гц тең болады. Ағаштың осы ұшына байланысты инерция моменті қандай?

Шешуі

Инерция моменті  формуласымен анықталады.

Мұндағы

  табамыз.

¥зыңдығы  біртекті стерженнің оның бір ұшы арқылы өтетін осіне қатысты инерция моменті

Мысал

Массасы  жіңішке түзу біртекті ұзындығы стержень бір ұшынан оське ілінген. Оның периоды қандай? Сонда периодқа ие математикалық маятниктің ұзындығы қандай?

          Шешуі

а) Жіңішке стерженнің инерция моменті

масса центрі стерженнің ортасында орналасқанын ескеріп,  — деп, периодын

табамыз.

б) Сондай периоды бар математикалық маятниктің ұзындығы

               тең.

Физикалық маятниктің айналу осінен  ара қашықтықта жатқан нүктесін тербелу центрі дейді. Біртекті стерженнің тербелу центрі  қашықтықта жатады.

Жоғарыдағы мысалдан  ұзындықты математикалық маятниктің тербеліс периоды физикалық маятниктікінен бірдей екенін көрдік. Басқаша айтқанда, физикалық маятник барлық массасы тербелу центріне жинақталғандай периодпен тербеледі. Тербеліс центрінің тағы 2 қасиетін келтірейік.

1. Егер С нүктесі 0 нүктесі арқылы өтетін осьтің тербеліс центрі болса, онда 0 нүктесі С нүктесі арқылы өтетін осьтің тербелу центрі болады да, екі жағдайда да тербеліс периоды бірдей болады.
2. Егер оське ілінген денеге көлденең бағытта тербеліс жазықтығына тербеліс центріне соққы берсе, онда іліну нүктесінде ешқандай реакция болмайды.

Бұл жағдай бейсбол ойнағанда байқалады.

Бейсбол ойнаушы битамен допты ұрғанда, егер соққыны тербеліс центрімен жібермесе қолы ауыратынын сезеді Тербеліс центрін тағы де соққы центрі дейді. [2]

Сонымен  және  өрнектерін салыстырудан ұзындығы

                                (3.8)

 

болатын математикалық маятниктің берілген физикалық маятниктің тербеліс периодындай периоды болады.

(52) шамасын физикалық маятниктің инерция моментін мына түрде жазуға болады.

                               (3.9)

(3.9) формуласындағы  — айналу осіне параллель және маятниктің инерция центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті. (3.9) өрнегін (3.8) формуласына қойып мынаны аламыз.

                                 (3.10)

(3.10) формуласынан келтірілген ұзыңдық әрқашанда  — тан үлкен екендігі байқалады. Сондықтан іліну нүктесі мен теңселу центрі инерция центірінің әр жағында жатады.

Бұл маятникті теңселу центріне сай келетін нүктеге ілгенде де тербелу центріне ауыстырып ілгенде келтірілген ұзындық, сондай – aқ тербеліс периоды да бастапқы күйінде қалады (айналу осінен келтірілген ұзындыққа тең қашықтықта жатқан іліну нүктесін инерция центрімен қосатын түзудегі нүкте физикалық маятниктің теңселу центрі деп аталады).

Демек, іліну нүктесі мен тербеліс центрінің қайтымдылық қасиеті бар. Іліну нүктесін тербелу центріне ауыстырғаңда бұрынғы іліну нүктесі жаңа тербелу центрі болады.

Ауырлық күшінің үдеуін, аудармалы маятник деп аталатын маятниктің көмегімен анықтау біз тағайындаған қайтымдылық қасиетіне негізделген. Аудармалы маятник деп, ұштарының маңында алма — кезек асып қоюға арналған бір — біріне параллель екі тірек призмасы бар маятникті айтады.

Маятниктің бойына ауыр жүкті бекітіп қоюға және оны қозғалтуға болады. Жүкті орын ауыстыру арқылы кез — келген призманың біріне ілінген маятниктің тербеліс периодын бірдей етіп алуға болады. Онда призмалардың тірек қырлары арасындағы қашықтық Һ_кел — ге тең болады. Маятниктің тербеліс периодын өлшеп Һ_кел — ді біле отырып

Формуласы бойынша ауырлық күшінің үдеуін табуға болады. [4]

 

3.3 Өшпелі гармониялық тербелістер

 

Еркін тербелістерді қарастырғанда біз амплитудалары бірте — бірте азайып, тербеліс тоқтайтын құбылыстарлы ескерген жоқпыз. Ондай құбылыс тербелістердің өшуі деп аталады.

Өшудің болуы кез — келген тербеліс жүйесінде тербелкті орнына келтіруге тырысатын күшпен бірге үйкелістің болуынан. Әрбір тербелісте, толық тербеліс энергиясы, үйкеліске қарсы істелетін жұмысқа кетеді. Ең ақырында энергияның барлығы сол жұмысқа жұмсалады.

Үйкеліс жоқ кездегі өшпейтін еркін тербелістер жүйенің өздік тербелістері деп аталады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Үйкеліс бар кездегі тербеліс гармониялық емес және периодты емес. Оның осциллограммасы 28.29 суреттегідей.

Үйкелісті көбейте отырып, бірінші ауытқудан соң – ақ тоқтайтын жүйені байқауға болады.

Мұндай тез өшетін тербелістер апериодты деп аталады. Серіппедегі жүктің тербелісі, ауадағыға қарағанда суда тез тоқтайтынын байқауға болады. Майда одан да тез өшеді, қозғалыс апериодты болады.

Практикада өшудің азаюымен де, көбеюімен де кездесеміз.

Мысалы, балансир осі катты тастардан (агат, рубин) өшу аз болу үшін жасалады. Кейбір өлшеуіш приборларда, олардың жылжымалы құрылғылары тез орнына келу үшін үйкелісті көбейтіп, қозғалыс апериодты болатындай етіп жасайды. Үйкеліс тербелістің амплитудасына ғана емес, ауытқу ұзақтығына да әсер етеді. Оның ұзындығын периодты болмағандықтан период деп айта алмаймыз. [1]

 

 

 

 

 

 

 

Сонымен реал жағдайларда, кез — келген тербелетін дененің амплитудалары бірте — бірте азайып, тербеліс біткенде өшеді.

3.8 – суретте тербеліс амплитудасының уақытқа тәуелділігі көрсетілген.

Ондай тербелістерді өшпелі гармониялық тербелістер дейді.

Тербелістің өшуі ауаның кедергісіне және тербеліс жүйесінің ішіндегі үйкеліске байланысты. Егер өшуі онша үлкен болмаса, онда оны гармониялық ретінде қарастыруға болады. Шындығында өшу тербелістің жиілігін өзгертеді.

Өшуді тудыратын күш, тербелмелі қозғалыстың жылдамдығына байланысты, ал қозғалысқа қарсы бағытталған, көп жағдайда4

 мұндағы  — тұрақты сан.

Жүктің серіппенің ұшында тербеліс кезінде оны қайтаратын күш

 тең. Сонда Ньютонның ІІ – заңын  деп жазамыз.

 

орын ауыстырып

                                         (3.11)

аламыз.

Егер өшу тұрақтысы — в аз болса, онда х t мен 30 — суреттегідей тәуелді болады.

Оның шешімін      түрінде іздейміз.

Мұндағы  — тұрақтылар.  үшін  болады.

 

Осыларды (3.11) теңдеуге қойып, түрлендіріп

 

             (3.12)

аламыз.

Бұл теңдеудің сол жағы барлық t үшін 0 — ге тең болу керек. t=0 үшін

 сонда (2) теңдеу

 

ендеше (3.12) теңдеу  орындалады.

 

Сонымен өшетін гармониялық тербеліс кезінде х ығысуы

                                                                           (3.13)

 — түрінде жазылады.

Жиідігі  немесе  өрнегімен анықталады.

Периоды  немесе

Бұдан біз өшпейтін тербелістерге қарағанда өшетін тербелістер үшін жиіліктің аз, ал периодтың көп екенін көреміз.

 тұрақтысы тербеліс амплитудасының 0 — ге дейін кемитінін көреміз.

 уақыт аралығы амплитуданың е есе азаятын уақытын көрсетіп, орташа өмір сүру уақыты немесе тербеліс релаксациясының уақыты деп аталады.

В артқан сайын тербеліс тезірек тоқтайды.

(3.13) шешімі b өтe үлкен болғанда өз күшін жояды, себебі , ал  жалған болады. Бұл жағдайда, жүйе тербеліс жасамай тепе — теңдік қалыпқа келеді.

Осы жағдайды қарастырайық.

3.9 — суретте қатты өшетін тербелістердің үш түрі көрсетілген. С қисығы , өшу өте жоғары жағдайға сәйкес. Жүйе тепе — теңдікке келу үшін өте ұзақ уақыт керек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бұл кризистен әрі өшу жүйесі.

А қисығы () кризистік өшуге дейінгі жағдайға сәйкес келеді.

Жүйе тепе — теңдікке келу үшін бірнеше тербеліс жасайды.

В қисығы () кризистік өшуге сәйкес келеді. Мұнда жүйе тепе — теңдік күйге өте аз уақытта келеді.

Тербелістің өшуіне мысал ретінде, есіктің жабылуы мен автомобильдің амортизаторын келтіруге болады. [2]

Сонымен қатар бір — бірінен қашықтығы Т периодқа қалып отыратын екі амплитуданың қатынасын өшу декременті деп атайды.

Осы амплитудалардың қатынасының натурал логарифмі өшудің логарифмдік декременті деп аталады.

Бір — бірінен бір периодқа қалып отыратын тербеліс амплитудасының бір — бірінен еш айырмашылығы жоқ, соңдықтан өшy коэффициентін дәлірек анықтау керек болса, бір — бірінен уақыт бойынша  периодқа қалып отыратын амплитудаларды өлшейміз. [15]

 

Жалпы тербеліс амплитудасы экспоненциялды заңдылық бойынша өзгереді, яғни азаяды  

 

 

 

 

 

 

 

ІV ЭКСПЕРИМЕНТТІК БӨЛІМ

 

4.1  Бір еркіндік дәрежесі бар жүйенің тербелісін

 экспериментальды зерттеу әдістемесі

 

          Бір еркіндік дәрежесі бар механикалық жүйенің тербеліс теңдеулеріне талдау жасау, тербелістің сөну дәрежесінің жүйенің қатаңдығы мен демпферлік қасиеттеріне тәуелді екендігін көрсетті. Жүйенің қатаңдығын есепке алу үшін маятниктің стерженіне қосымша бекітілген серпімді серіппелер алынған.Серіппенің қатаңдығы алдын ала статикалық әдіспен анықталады. Қарастырылатын жүйенің демпферлік қасиеттеріне мына төмендегідей кедергілердің түрлері әсер етеді: ауаның аэродинамикалық кедергісі, маятник стерженінің бекітілу түйіндеріндегі құрғақ  үйкеліс.

          Эксперимент барысында жүйе тербелісінің динамикалық сипаттамаларын: тербелістің периодын (жиілігін), тербелістің амплитудасын және логарифмдік декрементін (параметрлерін) анықтау жоспарланады.

           Зерттеудің бірінші этапында қосымша факторларсыз маятник тербелісінің логарифмдік декременті мен жиілігі анықталады (1-сурет). Екінші этапта маятникке, оның тербеліс жазықтығына перпендикуляр жазық пластина бекітеміз.(2-сурет) . Бұл тербелістің сөнуіне ауаның кедергісінің әсерін оқып үйренуге мүмкіндік береді. 

  Үшінші этапта тербелістің сөнуі қосымша енгізілген серпімді        

элементті ескере отырып зерттеледі. Эксперимент екі серпімді серіппенің маятник стерженіне әр түрлі деңгейде бекітілуінде жүргізіледі. Қондырғының схемасы 1-суретте келтірілген.

          Жүйе тербелісінің сөнуіне жоғарыда аталған факторлардың әсерін оқып үйрену үшін классикалық жоспар қабылдаймыз, яғни эксперименттің әрбір сериясында тек бірғана фактор түрлендіріледі :серіппенің маятник стерженіне бекітілу деңгейі, ал екінші фактордың мәні анықталған тұрақты деңгейде ұсталады.

          Сынақтар жүргізген кезде жүйенің динамикалық сипаттамаларына әсер тигізетін біршама факторларды тұрақты деңгейде қабылдаймыз. Мысалы, маятниктің ұзындығы, маятник жүгінің салмағы. Маятник жүгінің массасы 145 гр-ға тең деп алынады. Маятниктің ұзындығы –стерженнің бекітілу нүктесінен жүкке дейінгі арақашықтық — 39,5 см.

 

 

 

4.2  Экспериментальді қондырғының сипаты

 

          Эксперимент жүргізуге FPM-13 қондырғысы қолданылады. Қондырғының жалпы көрінісі 1-суретте келтірілген. Прибордың түзу тұруын қамтамасыз ететін табанның 1 реттелетін аяқтары бар.(7-сурет) Табанға діңгек 2 бекітілген. Діңгекке втулка 3 және корнштейн 4 бекітілген . Втулканың стерженінде 5 үш ілмешек (подвеска) орналасқан, оларға тербелістерді қоздырушы 2 маятник ілінген .

 Маятник стерженнен 7 және жылжымалы жүктен 9 тұрады. Маятник екі серппенің 9,10 көмегімен жылжымайтын стержнге бекітілген. С-тәрізді обоймаларды, серппелерді және бекіткіш элементтерді маятник стержені бойымен жылжытуға болады.

   Төменгі кронштейнге маятник тербелісінің амплитудасын анықтайтын бұрыштық шкала 11 бекітілген. Ол кронштейнге сонымен қатар фотоэлектрлік датчик бекітілген, оның жарық ағынын тербелістер жасайтын түйіндес маятниктердің біреуінің стержені қиып өтеді.

  FPM-13 қондырғысының басқару және   өлшеу блогының беттік панелі 1 және 7-суреттерде көрсетілген. Прибордың ағымдық қызметке арналған элементтері басқару және өлшеу блогының беттік панелінде орналасқан , ал фотоэлектрлік датчикті қосуға арналған ұяшық оның артқы қабырғасында орналасқан.

  Приборды өлшеулерге дайындау үшін мына төмендегілер орындалады:

• прибордың жерлестірілуін тексеру;
• балқымалы қорғағыштың бар екендігін тексеру;
• фотоэлектрлік датчикті ZL1 разъеміне қосу;
• прибордың теңгеруші аяқтарын тексеру;
• приборды қоректендіруші желіге қосу;
• сеть түймесін басу;

өлшеуіштің барлық индикаторлары “0” цифрын көрсетіп тұр ма және фотоэлектрлік датчиктің шамы жанды ма, жоқ па соларды тексеру;

• маятниктердің стерженьдері бірдей вертикаль жазықтықта орналасқандығын тексеру, яғни 4 бекітілген серппенің масштабтары бірдей екендігін тексеру.

Жұмыстың бірінші этапын орындау үшін тербелістің жиілігі мен амплитудасы өлшенеді, одан соң тербелістің логарифмдік дакременті есептеледі.

 Тербелістің жиілігі мен амплитудасын практикалық түрде өлшеу мына төмендегі тәсілмен орындалады:

 *маятник стержендерінің жоғарғы жағына серппелерді бекітетін обоймаларды орналастыру,ал жүктерді стерженнің төменгі бөлігіне,екі маятник үшін де бірдей арақашықтыққа (бірдей жүктер және серппелер) бекіту;

* тербелістер қоздыратын маятниктердің стержендерін қосатын обоймадан серппелерді ажырату;

* сеть түймесін басу;

* маятниктерді бірдей шамамен 6ْ бұрышқа ауытқытып ,оларды босатып жіберу;

* СБРОС ауыстырып қосқышын басу;

* прибор маятник тербелісінің шамамен 10 периодын санаған кезде СТОП түймесін басу;

*көрсеткіш индикатордан уақыттың және тербеліс периодының сан мәндерін жазып алу;

*тербелістің басында және соңында амплитуданы анықтау.

  Төмендегі келтірілген формула бойынша маятниктің тербеліс периодын анықтаймыз:

T= t/N

Бұнда N-тербеліс периодының саны, t- өлшеудің ұзақтығы.

   Тербелістің логарифмдік декрементін мына формула бойынша анықтаймыз;

δ =1/N*ln*A/A     ln

бұнда А-тербелістің басындағы амплитуда, А_i – t уақыттан кейінгі

тербелістің амплитудасы.

 

4.3 Эксперимент жүргізу және зерттеу нәтижелерін талдау

 

Жұмыстың мақсаты кедергі бар және жоқ кездегі маятник тербелісін оқып үйрену болып табылады. Маятник тербелісінің сөнді маятник массасының ауытқу бүрышының әсері ескеріле отырып зерттелді.

  Бұл үшін тербелістердің саны N, өлшеулер ұзақтығы t және маятниктің ауытқу бұрышы α өлшенеді.

  N цикл үшін тербелістің логарифмдік декременті мына формуламен анықталды:                    δ =1/N*ln*A/A      ln

бұнда А=Lsinφ , A=Lsinφ, L-маятниктің ұзындығы ,яғни стерженнің бекітілу нүктесінен жүкке дейінгі арақашықтық(L=cost=39.9см) ;φ , φ –маятник стерженінің өлшеудің басындағы жіне соңындағы ауытқу бұрыштары.

Бірінші этапта өлшеулер қосымша кедергісіз өткізілді. Еркін тербелістер маятникті белгілі бір бұрышқа ауытқыту арқылы қоздырылды. Бұл жерде ауытқу бұрышы 19ْ –тан 1ْ-қа дейін жайлап түрлендіріледі. Өлшеулердің және есептеулердің нәтижелері 1 және 2 кестелерде келтірілген.

 Үшінші этапта маятниктің стерженіне оның тербеліс жазықтығына перпендикуляр ауданы S пластина бекітілді. Өлшеулер серіппенің әртүрлі бекітілу деңгейлерінде жүргізілді. Маятник жүгінің массасы 290 г. Нәтижелер 4,5,6 кестелерге түсірілген.

   Алынған мәліметтер бойынша тербелістің логарифмдік декрементінің маятниктің ауытқу бұрышынан  тәуелділігінің графигі тұрғызылды.

  А суретте маятник жүгі   А суретте маятник жүгі массасының өзгерісін есепке ала отырып тұрғызылған δ=f(φ) тәуелділігінің графигі келтірілген. Графиктен жүктің массасы 2 есе өзгергенде тербелістің декременті елеусіз шамаға (6-10%) өзгеретіндігі көрінеді. Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады: қарастырылған аралықта массаның өзгерісі тербелістің периоды мен декрементіне әсер етпейді; маятниктің ауытқу бұрышын 0ْ –тан 10ْ –қа дейін арттырғанда тербелістің декременті кемиді. Бұл маятник стерженнің бекітілу түйініндегі домалау үйкеліс күшінің кемуімен байланысты болса керек. φ бұрышының одан ары артуы тербеліс декрементінің артуына әкеп соқты. Бұл кері қайтарушы күш mgsinφ  ауытқу бұрышына φ пропорционал артатындығымен түсіндіріледі.

           Б суретте ауаның кедергісін есепке алатын және алмайтын жағдайлардағы  δ=f(φ) тәуелділігінің графигі келтірілген. Маятник стерженіне S=94 см² пластинаны бакіткенде ауаның кедергісі тербеліс декрементінің 1,30-1,50 есе артуына әкеп соқты. φ бұрышының 1ْ-7ْ аралығында артуы домалау үйкеліс күшінің кемуіне  декременттің төмендеуіне әкеп соқты.  φ бұрышының одан әрі 7ْ-тан 11ْ-қа артуы декременттің 2,1 есе артуына әкеп соқты. Бұл тербелістің сөнуіне кері қайтарушы күштің  mgsinφ әсері болатындығымен байланысты.

 

                                                                                                        Кесте 1

№	j0	jt	N	tсек	t сек	A мм	À1мм	d
1	190	170	8	9,851	1,2313	128,61	115,5	0,0136
2	170	150	10	12,301	1,2301	115,50	102,23	0,0126
3	150	130	11	27,014	1,2279	88,875	75,75	0,00745
4	130	110	22	35,567	1,2264	75,75	61,79	0,00688
5	110	90	29	44,123	1,2256	61,78	48,14	0,00693
6	90	70	36	33,897	0,7703	48,15	34,44	0,00762
7	70	50	44	84,516	1,2248	34,42	18,61	0,00891
8	50	30	69	177,484	1,4790	20,935	13,789	0,00913
9	30	10	120

 

 

                                                                                                                 Кесте 2

                                                                                                               m=290 г

№	j0	jt	N	t сек	tсек	А0,мм	Аt,мм	d
1	190	170	9	11,038	1,2264	128,61	115,5	0,0118
2	170	150	11	13,476	1,2250	115,50	102,23	0,0111
3	150	130	12	14,686	1,2238	102,23	88,875	0,0117
4	130	110	22	26,889	1,2222	88,875	75,75	0,00765
5	110	90	31	37,851	1,221	75,75	61,79	0,00641
6	90	70	40	48,782	1,2195	61,78	48,14	0,00624
7	70	50	52	63,407	1,2193	48,15	34,44	0,00645
8	50	30	31	38,969	1,2570	34,42	18,61	0,00718
9	30	10	53	65,625	1,2382	20,935	13,789	0,00765

Кесте 3

                                                                                                       m=290 г, S=94см²

№	j0	jt	N	t сек	t сек	А0,мм	Аt,мм	d
1	190	170	6	8,854	1,4756	128,61	115,5	0,01793
2	170	150	7	9,8	1,4	115,50	102,23	0,01744
3	150	130	9	11,010	1,2233	102,23	88,875	0,01556
4	130	110	13	17,19	1,3223	88,875	75,366	0,01268
5	110	90	20	23,197	1,1598	75,366	61,778	0,00994
6	90	70	25	30,497	1,2198	61,778	48,15	0,00997
7	70	50	37	45,102	1,2189	48,15	34,44	0,00905
8	50	40	25	36,541	1,4616	34,44	27,57	0,0089
9	30	20	40	48,668	1,2167	20,935	13,789	0,0101
10	20	10	75	95,85	1,278	13,786	6,913	0,0092

 

Үшінші этапта маятниктің стерженіне екі серіппе бекітілді. Өлшеулер серіппенің әр түрлі бекітілу деңгейлерінде жүргізіледі. Маятник жүгінің массасы 290 г. Нәтижелер 4,5,6 кестелерге түсірілген.

 

Кесте 4.

m=290г, h=100мм

№	j0	jt	N	t, сек	t сек	A0 мм	At мм	d
1	190	170	10	12,100	1,210	128,61	115,5	0.0108
2	170	150	12	14,712	1,226	115,50	102,23	0,0102
3	150	130	13	15,808	1,216	102,23	88,875	0.0108
4	130	110	17	21,080	1,240	88,875	75,366	0.0097
5	110	90	24	28,800	1,200	75,366	61,778	0.00828
6	90	70	31	37,200	1,200	61,778	48,15	0.00804
7	70	50	39	46,833	1,201	48,15	34,44	0.00859
8	50	40	25	30,075	1,203	34,44	27,57	0.00890
9	30	20	40	47,920	1,198	20,935	13,789	0,0101
10	20	10	65	77,350	1,190	13,786	6,913	0,0106

 

Кесте 5

m=290г, h=200 мм

№	j0	jt	N	t, сек	t, сек	À0 мм	Àt мм	d
1	190	170	9	10,620	1,180	128,61	115,5	0,0120
2	170	150	10	11,400	1,140	115,50	102,23	0,0122
3	150	130	11	13,090	1,190	102,23	88,875	0,0127
4	130	110	15	18,075	1,201	88,875	75,366	0,0110
5	110	90	21	24,870	1,180	75,366	61,778	0,00947
6	90	70	30	32,700	1,090	61,778	48,15	0,00831
7	70	50	40	46,400	1,160	48,15	34,44	0,00838
8	50	40	31	37,200	1,200	34,44	27,57	0,00718
9	30	20	37	37,148	1,004	20,935	13,789	0,0109
10	20	10	55	58,850	1,070	13,786	6,913	0,0126

 

 

Кесте 5

m=290г h=300 мм

´ð/ñ	j0	jt	N	t, сек	t, сек	À0 мм	Àt мм	d
1	190	170	7	6,860	0,980	128,61	115,5	0,0154
2	170	150	8	8,824	1,103	115,50	102,23	0,0153
3	150	130	10	10,120	1,012	102,23	88,875	0,0140
4	130	110	13	13,104	1,008	88,875	75,366	0,0127
5	110	90	17	16,932	0,996	75,366	61,778	0,0117
6	90	70	27	24,240	1,010	61,778	48,15	0,0100
7	70	50	33	32,967	0,999	48,15	34,44	0,0102
8	50	40	26	29,926	1,151	34,44	27,57	0,00856
9	30	20	48	47,904	0,998	20,935	13,789	0,00843
10	20	10	90	100,80	1,120	13,786	6,913	0,00767

 

Алынған мәліметтер бойынша тербелістің логарифмдік декрементінің маятниктің ауытқыу бұрышына (амплитудадан) тәуелділігінің графигі тұрғызылды. Маятник  жүгі массаның өзгерісін есепке ала отырып тұрғызылған =f(j)  тәуелділігінің графигінен жүктің массасы екі есе өзгергенде  тербелістің  декременті елеусіз (6-10%)  шамаға  өзгеретіндігі көрінеді. Бұдан мынандай қорытынды жасауға болады: қарастырылған аралықта жүк массасының өзгерісі тербелістің периоды мен  декрементіне әсер етпейді. Маятниктің ауытқу бұрышын  0⁰-тан 10⁰-қа дейін арттырғанда тербелістің декременті кемиді. Бұл маятник стерженінің бекітілу түйінініндегі домалау үйкеліс күшінің  кемуімен байланысты болуы керек. j

бұрышының одан ары артуы тербеліс декрементінің артуына әкеп соқты. Бүл кедергі қайтарушы күш  mgsinj ауытқу бұрышына j пропорционал артатындығымен түсіндіріледі.

ауаның кедергісін есепке алатын  және алмайтын жағдайлардағы =f(j) тәуелділігінің графигінен маятник S=94 м² стерженіне пластинаны бекіткенде ауаның кедергісі тербеліс декрементінің 1,30-1,50 есе артуына әкеп  соқты. j бұрышының 1⁰-7⁰ аралығындағы артуы домалау үйкеліс күшінің кемуінен декременттің  төмендеуіне әкеп соқты.

j  бұрышының одан әрі 7⁰-тан 11⁰-қа артуы декременттің 2,1 есе артуына әкеп соқты. Бұл тербелістің сөнуіне кері қайтарушы күшінің mgsinj әсері болатындығымен  байланысты.

Жүйенің қатаңдығының түрліше мәндеріндегі =f(j) тәуелділігінің графигі қарастырылған жүйенің қатаңдығы екі серіппенің бекітілу биіктігін әр түрлі етіп алу арқылы түрлендіріледі. Маятниктің бекітілу нүктесінен серіппенің бекітілу h деңгейіне дейінгі h дейінгі қашықтық 100, 200 және 300мм болды.

 h мәнінің арттырылуы арқылы жүйенің қатаңдығы арттырылды. Графиктен жүйенің қатаңдығының артуы маятниктің сөну қасиеттерінің артуымен қатар жүретіндігі көрінеді. h=100, 200 мм болғанда тербеліс декременті алғашында төмендейді, ал одан соң ауытқу бұрышының артуымен ол өседі. h- ты 300 мм – ге дейін арттыру арқылы жүйенің қатаңдығын арттыру кезінде =f(j) графигі сынықсыз алынады, яғни тербелістің сөнуінде жүйенің қатаңдығы және кері қайтарушы күш

mgsinj  күш шешуші роль атқарады.

 

 

 

Қорытынды

 

Маятник тербелісінің сөнуіне қатаңдық және кері қайтарушы күш mgsinφ үлкен әсерін тигізеді.

Маятник жүгі массасының 2 есе өзгерісі (145-тен 290 гр-ға дейін) тербелістің периоды мен декрементінің мәніне әсері болмайды. Маятниктің маңдайлық кедергі күшін ауданы S=94 см² қосымша пластина қою арқылы арттыру тербелістің декрементінің 1,30-1,50 есе артуына әкеп соғады.

δ=f(φ) графигіне талдау жасау, тербеліс декрементінің алғашында (φ 7ْ-тан 10ْ-қа дейін) кемуін, ал одан соң оның ауытқу бұрышымен артуын көрсетеді. Жүйенің қатаңдығының артуымен тербелістің декременті артады.

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

 

1. Под ред. академика Г.С.Ландсберга «Элементарный учебник физики» III – том. М. Наука, 1972г. 15 — 50 стр.
2. Д. Джанколи «Физика» І — том. М. Мир, 1989г. 395 — 420 стр.
3. Т. И. Трофимова «Курс физики» М. Высшая школа, 1995г.203 — 217 стр.
4. И. В. Савельев «Жалпы физика курсы» I — том. Мектеп, Алматы 1977г. 221 — 261 бет
5. Б. С. Арызханов «Физика» Алматы, Payан, 1994г. 162 — 173 бет
6. А. В. Перышкин «Курс физика» М. Просвещение, 1968г. часть II. 34 — 52 стр.
7. А. Н. Обморшев «Введение в теорию колебаний». Издательство М. Наука, 1965г. 31 — 270 стр.
8. А. А. Яблонский С. С. Нарейка «Курс теорий колебаний» М. Высшая школа. 1975г. 20 — 77 стр
9. Под ред. В. В. Мичулика «Основы теорий колебании». М. Наука, 1973г. 303 — 305стр
10. Пейн Г. «Физика колебаний и волны». М. Высшая школа, 1983 г.45 — 52 стр.
11. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э «Теория колебаний» Физматиц 1969г. 263 — 270 стр
12. Бабаков И. М. «Теория колебаний» М. Наука, 1965г.
13. Бутонин Н. В. «Теория колебаний» М. Высшая школа, 1963г.36. — 45 стр.
14. Булгаков Б. В. «Колебания» ГИТТЛ 1964г. 434 — 440 стр.
15. И. И. Петровский «Механика» Издательство БГУ им. В. И. Ленина. Минск, 1973г. 283 — 316 стр.
16. Ден — Гартог «Механические колебания» Физматиц, 3960г. 65 — 68 стр.
17. Пановко Я. Г. «Основы прикладной теорий упругих колебаний» Изд. «Машиностроения» 1997г.
18. 18. Пановко Я. Г. «Введение в теорию механических колебаний» М. Наука, 2000г.
19. 1 Стрелков С. П. «Введение в теорию колебаний» ГИТТЛ, 1972г. 405 — 412 стр.
20. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. – М.: Высш.шк., 1986. – 320 стр.
21. Ақылбаев Ж. С., Гладков В. Е., Ильина Л. Ф., Тұрмағамбетов А. Ж., Механика. – Астана: Фолиант, 2005.
22. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. – М.:Высш. Шк., 2002. – 718с.
23. Хайкин С. Э. Физические основы механики. – М.: Наука, 1992. – 772с.
24. Рабинович М. И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 2000г.
25. Неймарк Ю.В., Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний – М., 2001г.
26. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. – Красноярск: Издательство Красноярского университета, 2005г.