Дипломдық жұмыс: Жасанды Жер серіктерін ұшыру мәселелері

ТАРАЗ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ

«Физика және ФОӘ» кафедрасы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жасанды Жер серіктерін ұшыру мәселелері

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                Тараз 2012

                               Мазмұны

Кіріспе..……………………………………………………………………………….

І бөлім. Космонавтика негіздері……………………………………………

 

      І.1.Конустық  қиманың  қасиеттері………………………..……..

       І.2.Кеплер заңдары…………………………………………………………..

      І.3.Эллиптикалық қозғалыс кезіндегі                                                                               

            энергетикалық  баланc……………………………..………….

       І.4.Эллиптикалық қозғалыстық жылдамдықтар……………………

 

II бөлім. Кеплер заңдарының қолданылуы. ……….……….…….…

       II.1. Дөңгелек және параболалық  жылдамдық……….…………

      ІІ.2.Сандық мәндерді есептеу…………………………………….

       ІІ.3.Айналу  периоды..….………………..….………………………

       ІІ.4.Планета араларындағы мүмкін орбиталар……….……..…..

 

Қорытынды. ………………………………………………….…………

Пайдаланылған  әдебиеттер…………………..………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

XIX ғасырдың соңында орыс ғалымы К.Э.Циолковскийдің ғылыми еңбектерінде жердің тарту күшін жеңетін аппараттар жасау, космосқа ұшу жайлы мәселелер қамтылды. Ол 1903 жылы жарияланған «Әлем кеңістігін реактивті приборлармен зерттеу» және кейінгі еңбектерінде ракетаның ұшу кезінде массасының өзгеретіндігін және космостық ұшудың техникалық мүмкіншіліктерін негіздеді.

АҚШ-та сұйық отынды ракета двигателі жөніндегі тәжірибелерді 1921 жылы Р. Годдард бастады. Ол 1926 жылы сұйық отынды ракета ұшырды. Германияда мүндай ракеталарды лабораториялық сынақтан өткізу жұмыстарын 1929 жылдан Г. Оберт, ал ұшырып сынауды 1931 жылы И.Винклер бастады.

Ракетаның энергетикалық және пайдаланылу сипаттамалары ондағы ракеталық двигательдің түріне және  отынның қасиеттеріне тәуелді. Осы заманғы ракеталардың барлығында химиялық отындармен жұмыс істейтін двигательдер орнатылған. Ракеталық двигательдің тарту күші мен реактивті ағынының соплодан сыртқа шапшып шығу жылдамдығының маңызы үлкен. Космостық ұшу аппараттарын ұшыруға арналған ракеталық двигательдердің тарту күші 10 МН-ға, ал реактивтік ағынының шапшып шығу жылдамдығы 3000-4500 м/с-қа дейін жетеді.

Екінші дүние жүзілік соғыс аяқталған соң, ракета бейбіт мақсатқа пайдаланыла бастады. Бұл ракеталар геофизикалық ракеталар деп айтылады. Олардың практикалық маңызы үлкен болғанымен тәжірибе жүргізу ауқымы шектеулі болды. Бұлар қысқа мерзімді зерттеулер жүргізуге арналды да, өте биікке көтеріле алмады. Бірқатар ғылыми және техникалық мәселелер зерттеу жүмыстарын техникалық ойдың өсуі мен техниканың  даму дәрежесіне сәйкес келетін түбегейлі жаңа негізде жүргізуді талап етті. Жасанды спутник, планета аралық автомат станция және адамды космосқа ұшыру мәселелері бұлардың көмегімен шешілетін ғылыми және техникалық мәселелердің аумағын кеңейтті. Бұл мәселелерді шешу үшін көптеген теориялық және ғылыми-техникалық мәселелер, атап айтқанда ең алдымен қуатты ұшырғыш ракета, космодром, Жердің жасанды спутнигі, космостық корабль т.б. жасауды талап етті.

 Космос дәуірінің басы — 1957 жылдың 4 қазаны болды. Бұл күні Совет Одағында ең тұңғыш Жердің жасанды серігі ұшырылды.

          Көп ұзамай-ақ әр түрлі аппаратуралармен жабдықталған ауыр салмақты спутниктер ұшырылды. Космостың алғашқы кезеңдегі ғылыми мәселелерінің ішінде Күн жүйесінің қазіргі күйі, оның жаралуы мен Галактикалық және Галактикадан тысқары астрономия мәселелері бар. Космос арқылы шешілетін басқа бір мәселе — тіршіліктің пайда болуы мен дамуы — Адамзаттың Әлем құпиясын тану мәселесі. Космостың қазіргі жетістіктерімен қатар ғылым және техниканың жаңа идея — Жердей тысқары цивилизация іздеу және жұлдыз аралық байланыс жасау мәселелерін  күн тәртібіне  қойып отыр.

Егер   космостық  саяхаттың  тарихы   туралы  айтсақ,  онда        ол  —  ракеталардың  даму тарихы. Космостық саяхаттың  тарихы бұл  —  болашақ ісі.

           Жердің  жасанды серіктері мен ракеталардың Айға  ұшырылуы бұл тек алғашқы қадам болып  саналады. Басқа  планеталарға ұшу негізінде денелердің  орталық  күш  өрісіндегі қозғалысы жатыр. Бұл  жүмыста орталық  күш  өрісіндегі  кейбір  үнемді   орбиталар   қарастырылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I бөлім

Космонавтика  негіздері

І.1. Конустық қиманың қасиеттері

 

Күн жүйесіндегі барлық денелер, конустық қимаға жақын орбита бойымен қозғалады. Әдетте үлкен емес ауытқуды  елемеуге де болады.

Космонавтика негізін түсіну үшін, конустық қиманың қасиеттерімен гравитациялық өрістегі денелердің қозғалыс заңдарымен   танысу  керек.

Конустық қиманы әр түрлі бейнеде керсетуге болады. Барлық планета аралық саяхат, тартылыс центрі болып табылатын, күннің айналасында анықталады және де дене жағдайы әдетте күннің қатынасымен анықталады. Конустық қиманы фокалдық теңдеулер комегімен полярлық координаталарда корсету қолайлы. Барлық  конустық  қималар  төмендегі  теңдеуді  қанағаттандырады:

r                                  M

                                                (1.1)                                                                               Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       Сурет  1.1.  Шеңбер  орбитасы.     

Мұндағы: r – радиус-вектор; p- конустық қима  параметрі ;   

эксцентристеті және перицентрлік бұрыш.

• теңдеуден  алатынымыз: 

          шеңбер  үшін:    

          эллипс  үшін:     

        парабола  үшін:  

        гипербола үшін:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сурет 1.2  Эллипс  орбитасы

 

 

 

Барлық осы төрт қисықтар  1.1 — 1.4 суреттерде көрсетілген. Эллипс болған жағдайда келесі белгілеулерді қолданамыз.

 Ғ, Ғ₂ — фокустар

 РМ = а — үлкен жарты ось

ВМ = b — кіші жарты ось

Р – перицентрі

А – апоцентрі

F₁ Q = r — радиус-векторы                                

PF₁ Q = φс – перицентрлік бұрыш

М – центр

 

 

 

   Шеңбердің екі фокусы да центрмен сәйкес келеді және   = 0. Эллипстің екі фокусы болады:  Ғ, және Ғ₂.  Фокус пен центр арасындағы ара қашықтық мынаған тең: 

           Ғ₁ М = Ғ₂М = aε

           Эллипстің эксцентриситеті:

                                                            (1.2)

 

 

 

                    Сурет 1.4.   Гиперболалық траектория.

Р нүктесін перицентр деп атайды, егер эллипс фокусында Күн немесе Жер жатса, онда ол перигелий және перигей атауларымен сәйкес келеді.

А нүктесін апоцентр деп атайды; егер эллипс фокусында Кун немесе Жер жатса, онда ол апогелий және апогей атауларымен сәйкес келеді (1.2 сурет).

 

         Параболада бір ғана фокус болады және оның осі шексіз ұзын болып келеді, ал эксцентриситеті бірге тең. Гиперболаның центріне қарағанда симметриялы екі тармағы болады. Гиперболаның, эксцентриситеті:

                                                           (1.3)                 

Гиперболадағы шексіз қашықтықтағы нүкте бағыты, МС асимптотасының көлбеу бұрышымен анықталады:

                                                       (1.4)

Шеңбер мен эллипс тұйтықталған қисықтар, ал гипербола мен парабола — тұйықталмаған қисықтар. Эллипсте F₁P  радиус векторының   ұзындығы     үшін мынаған тең:

                                 (1.5)                                   

 

ал  F₁ A  радиус – векторының  ұзындығы      үшін:

                          (1.6)

 

Шеңбер үшін  Р( = 90°) параметрінің г₀(  = 0°)-ге қатынасы:

                                                                            (1.7)

эллипс үшін:

 

парабола үшін:

 

гипербола үшін:

 

          Шеңбер үшін  =0, ал парабола үшін  =1 болғандықтан, барлық канондық қималар үшін мына формула орындалады деп айтуға болады.

 

 

 

 

                                    I.2. Кеплер заңдары

 

            Кеплер планеталардың Күнді айнала қозғалыс заңдарын бірінші болып ашты. Оның ашқан  заңдылығы 1609 және 1619 жылдар аралығында жатады және эмпирикалық болып табылады. Бұл заңдылықтарға тек 70 жыл өткеннен кейін Ньютон тұжырымдама берді. Яғни 1687 жылы, бүкіләлемдік тартылыс заңы ашылғаннан  кейін.

 

Сурет 1.6. Өзара тартылатын екі масса.

 

Ньютон заңдарынан Кеплер заңдарын шығаруға болады. Кез- келген m денесі қозғалмайтын тыныштықта тұрған М денесінің айналасында қозғалсын. М-ді тік бұрышты координаталар жүйесінің бас нүктесі деп есептейік. Денелер бір-біріне мынандай күшпен тартылады:

 

                                                                   (1.8)

 

Теңдіктің  оң  бөлігінде  «минус»  таңбасы  бар,   ол  m  денесіне  әсер  ететін  күш  М  денесіне  бағытталғандығын  көрсетеді.

         Денелер  ара  қашықтығы  r  арқылы,  ал  r  мен  у  осьтерінің  арасындағы  бұрыш    арқылы  белгіленген.  κ  күшін  берілген  осьтер  бойынша  жіктейміз:

                                                 (1.9)

 

                                                      (1.10)     

k = ma  болғандықтан:

 

Бұдан  шығатыны:

 

 

немесе

                                                                  (1.11)

                                                              (1.12)

мұндағы      .

(1.11)  теңдігін   у-ке  көбейтіп,  ал  (1.12)  теңдігін  х-ке  көбейту  арқылы  біріншісінен  екіншісін  аламыз.

 

немесе

 

Интегралдау  арқылы  мынаны  аламыз:

                                                                          (1.13)   

мұндағы  с – тұрақты.

Айталық:                                                  

M

X

Y

φ

dφ

rdφ

Сурет  1.7.  Радиус-векторды  сипаттайтын  үшбұрыш.

 

мұндағы:               

немесе:                 

 

 

      Сурет   1.8.  Бірдей  уақыт  аралығындағы  радиус- векторды

                                сипаттайтын,  тең  аудандары.

 

 

Бірақ:                                              

және                                              

 

Демек:                                    

 

немесе:

                                                               (1.14)

 

Егер   m   нүктесінен   dt   уақытта     m₁      жағдайдан        m ₂    жағдайға  өтсе,  онда  радиус-векторы  m₁ m ₂M  үшбұрышын  сипаттайды,   оның  ауданы  мынаған  тең:

 

      (1.14) теңдеуі  радиус-векторы  бірлік уақыт  ішінде сол  ауданды  сызатындығын  сипаттайды.  Басқаша  айтқанда  радиус – векторы  бірдей  ара  қашықтық  уақытында  тең  аудандарды  сызады.  С  шамасы  секториалды  жылдамдық  деп  аталады,  мұндай  үлгіде  біз  Кеплердің  екінші  заңы — аудандар  заңын  шығардық  (1.8-сурет).

     Бұл заңдар тек күштер үшін ғана емес, сонымен қатар кері пропорционалды квадраттың ара қашықтығын, кез-келген орталық күштер  үшін  де орындалады. Мысалы: пропорционалды ара қашықтықтағы сығылу күштері.

1.8 суретте бірдей (тең) ауданды сектор көрсетілген. Эллипс доғасы бойынша өтетін планеталардың ара қашықтығы АВ, ВС, CD, DE, ЕҒ  және  FG  бірдей және планеталардың  күнді айналу жиілігі.

Енді (1.11) теңдігін    -ға  кобейтеміз, ал (1.12) теңдігін    -ға   кобейтіп,  оларды  қосамыз.  Бізге бұдан шығатыны:

 

 

 

 

 

                                   (1.15)

 

онда:      

Бізге  белгілі

 

 

 

                       Сурет 1.9.  Қарапайым  үшбұрыш.

 

(1.5)  теңдеуін  dt-ға  көбейту  арқылы,  мынаны  аламыз:

 

Интегралдасақ:

                                                                                  (1.16)

(1.7)  суреттен  көрініп  тұрғандай:

 

немесе:

 

Сондықтан:

 

немесе:

                                                                   (1.17)

Бірақ:                              

Ал  (1.14)  теңдеуінен  бізге  белгілі:

                                          және             

 

Бұдан

                                                                          (1.18)

Бұл  дифференциалдық  теңдеуді  мына  үлгіде  шешуге  болады.  Айталық

                                                                                       (1.19)

және

                                                                                       (1.20)

Онда

                  (1.21)

                 болғандықтан  (1.18)  теңдеуін  мына  түрде  көшіріп  жазуға  болады:

                                                                      (1.22)

Интегралдағаннан   кейін  біз  мынаны  аламыз:

                                                                                     (1.23)

немесе

                                                                                    (1.24)

      берілгендерді  қоя  отырып:

 

немесе

 

немесе  

                                                    (1.25)

Келесіні  қоя  отырып:

                                                  (1.26)

және

                                                                   (1.27)

(1.25)  теңдеуін  мына  түрге  келтіреміз:

                                                                        (1.28)  

 

Бұл  теңдік,  көрініп  тұрғандай,  (1.1)  теңдеуімен  бірдей.  Яғни  поляр  координаталарындағы  канондық  қиманың  фокалдық  теңдеуін  берді.  Мұндағы: а – эллипстің  үлкен  жарты  осі,   — эксцентриситеті  және     — перицентрлік  бұрыш.  (1.28)  теңдеуіндегі  -ді      болғанда  r  минимал  кездегі  жағдайын  анықтаймыз.  Бірақ      минимал  болған  жағдайда  ғана  r   минимал  болады.

     Синустың  минималдық  мәні:

 

 

Сондықтан:              және         

Бұдан             

 

Сонда  (1.28)   теңдеуі  мына  түрге  келеді:

                                                                                   (1.29)

          Осылай  біз  Кеплердің  бірінші  заңын  шығардық:  Әрбір  планета  өзінің  қозғалысы  кезінде  эллипс  сызады,  соның  бір  фокустарында  Күн  жатады.

         Кеплердің  үшінші  заңы:  Планеталардың  Күнді  айналу  периодының  квадраты  олардың  орбитасының  үлкен  жарты  осьтерінің  кубы  сияқты  екендігін  көрсетеді.

         Қарапайым  үшбұрыштың  ауданын  dF    арқылы,  m₁m₂M  деп  алайық,  барлық  эллипстің  ауданын – F арқылы  және   планеталардың  Күнді  айналуының  толық  уақытын – Т  деп  алайық.  Сонда  біздің  теңдеуіміз:

 

 

 

 Эллипс  үшін  (1.26)  теңдеуінен  мынау  шығады:

                                                               (1.30)

     Эллипстің  ауданы:

 

немесе:                             

Бұдан                                 

 

немесе                                                                  (1.31)

         Егер  де  орталық  дененің  массасы  салыстырмалы  түрде  оны  айналатын  дененің  массасынан  өте  үлкен  болса,  онда  Кеплер  заңының  дұрыс  екендігі  көрінеді.

        Біз  Күн  жүйесінде  де  тура  осындай  жағдай  болады  деп  есептеуімізге  болады.  Күн  массасы  Жер  массасынан  329000  есе  үлкен  ең  үлкен  алып  планета  Юпитердің  массасынан  1050  есе  үлкен.

        Бұл  шарт  жалпы,  планеталардың  табиғи  серіктері  үшін  де  орындалады:  Яғни  спутниктерінің  көп  бөлігінің  массасы  болады,  планеталардың  0,0001  массасынан  аспайтын.  Айдың  массасы  Жердің  1/81  массасына  тең.  Сондықтан  Жер – Ай  жүйесін  «қоспланета»  деп  санаймыз.

 

 

                                 Е      С                                                   М

 

                                                                                                             1740

                          6370

                                             4700

                                                        384000

                                  Сурет  1.10.  Жер – Ай  жүйесі.

 

           Сонда  Кеплердің  бірінші  заңына  дәлірек  тұжырымдама  беруге  болады:  Жер  мен  Ай   өздерінің  қозғалысы  кезінде  олардың  орталық  ауырлық  центрінде  эллипс  сызады.  Ең  соңғысы  Жердің  ішінде  центрден  4700  км.  Қашықтықта  орналасқан.

     Бұл  жағдайда:

                                                                                      (1.31a)

      (1.26)  теңдеуі  бойынша: 

 

Ал  (1.27)  теңдеуі  бойынша: 

 Бұдан

                                                       (1.32)

(1.16)  теңдеудің  көмегімен  жылдамдықты  есептеп,  ең  керекті  формула  аламыз:

                                                              (1.33)

        Бұл  жердегі  оң  таңба – гиперболаға,  ал  теріс  таңба – эллипске  сәйкес  келеді.

          Бұл  формулаға  конустық  қиманың  эксцентриситеті  кірмейтіндігін  айта  өткен  жөн.  Яғни  ол  жылдамдыққа  ешқандай  әсер  етпейді.

 

І. 3.  Эллиптикалық  қозғалыстың энергетикалық  балансы.

 

          Енді  эллиптикалық  қозғалыстың   энергетикалық  балансын  зерттейміз.  М  массасынан  r  ара  қашықтықта  бірлік  масса  берілсін.  М  массасының  гравитациялық  тұрақтысы:     fM = .

          М  массасының  бірлік  массаға  әсер  ететін  тартылу  күші:

 

          Егер  біз  бірлік  массаны  dr  ара  қашықтықта  М  массасының  бағытымен  орын  ауыстырсақ,  онда  мынадай  жұмыс  табылады:

 

          Бірлік  массаны    r₁    орнынан     r₂    орнына  көшіру  үшін  жасалынатын  толық  жұмыс:

                                                                     (1.34)

          Егер  r₂   ара  қашықтығы  М  массасынан  шексіз  өсетін  болса,  онда  жұмыс  мынаған  тең  болады:

                                                                                (1.35)

        Бірлік  массасы  r₁   орнынан  шексіздікке  орын  ауыстыру  кезіндегі  гравитациялық  өріс  күшінің  жұмысы:

                                                                                                (1.36)

         Бұл  М  массасының     r₁    ара  қашықтығы  гравитациялық  өрістегі  бірлік  массасының  потенциалды  энергиясы  деп  аталады.  Бірлік  массаға    V    жылдамдыққа  қажет:

                                                                                              (1.37)

         Бұл  энергия  кинетикалық  энергия  немесе  бірлік  массаның  қозғалыс  энергиясы  деп  аталады.

         Егер  бірлік  масса  М  массасының  айналасында  эллиптикалық  орбита  бойынша  қозғалса  және  қандай  да  бір  уақыт  ішінде  радиус – векторы  r   шамаға  ие  болса,  онда  бұл  бірлік  массаның  потенциалдық  энергиясы:

 

     Егер  эллипстің  үлкен  жарты  осі    α-ға  тең  болса,  онда  (1.33)  теңдеуіне  байланысты  жылдамдық  мына  формуламен  анықталады:

 

Ал  бірлік  массаның  кинетикалық  энергиясы:

 

Толық  энергиясы:

                                                      (1.38)

 

Сурет 1.11.

 

  Алынған  мәліметтер  бойынша,  потенциалдық  энергия  мен  кинетикалық  энергияның  қосындысы  тұрақты  болып  қалады:  егер  олардың  біреуі  қаншалықты ұлғайса,  екіншісі  тура  соншалықты  азаяды. 

        Перицентрде  потенциалдық  энергияның  мәні – минимал, ал  кинетикалық  энергияның  мәні – максимал.  Апоцентрде  бұл  жағдай  керісінше.  1.1  таблицада  а – үлкен  жарты  осьтің,  — эксцентриситеттің  және  — перицентрлік  бұрыштың  (сурет 1.11.)  эллипс  бойынша  қозғалысының  энергетикалық  байланысы  көрсетілген.

 

                                                                                                     Таблица 1.1

Эллиптикалық қозғалыстың энергетикалық балансы.

0   900   arccos(1-ε)     180	a(1-ε)          a(1+ε2)                a            a(1+ε)

 

• суретте эксцентриситеттің  8 ;  0.5;  0.2  және 0  мәндері  үшін 

эллипстің  потенциалдық  энергиясы  мен  кинетикалық  энергия  арасындағы  қатынас  көрсетілген,  эллипстердің  үлкен  жарты  осьтері  бірдей.

          —  ге  тең  нүктесін  айта  кеткен  жөн.  Бұл  нүктенің  радиус-векторы  эллипстің  үлкен  жарты  осіне  тең  және  кинетикалық  энергияның  шамасы  потенциалдық  энергия  шамасының   тура  жартысына  тең. 

         Қарастырылған  үш  эллипс  пен  шеңбер  үшін    Е_t   толық  энергия  барлық  берілген  бұрыштарда  бірдей  болады. 

          Графикте  көрініп  тұрғандай    Е_к   қисығы  Е_р   қисығының  айналы  кескіні  болып  табылады,  яғни  олар   1/ 2Е_t      ординатасына  қарағанда  симметриялы  және      Е_t   толық  энергия  барлық  сызықтарда  тұрақты  болып  қалу  керек.

 

 

     Тура  осы  жолмен  бірлік  массаның  толық  энергиясын  табамыз:

     дөңгелек  орбита  үшін:           ;

     параболалық  орбита  үшін:     0;

     гиперболалық  орбит  үшін:  +         

 

 

І. 4.  Эллиптикалық  қозғалыстың  жылдамдықтары.

 

       Орбитаның  кейбір  нүктелеріндегі  жылдамдықтарын  есептейміз.  Эллипс  болған  жағдайда    r₀  ( ),  яғни  перицентрінде:   

 

Бірақ          r₀=  

r₀-дың  орнына  мәндерін  қойып  жазсақ:

 

 

немесе:

                                                                                 (1.39)

  Апоцентрде      үшін:

 

 

Бірақ                             

Орнына  қойсақ:

                                     ,

немесе:

                                                                             (1.40)

(1.39)  және  (1.40)  теңдеулерінен  мынаны  аламыз:

 

немесе:

                                                                                     (1.41)

 

                                                                     (1.42)

болғандықтан,  (1.41)  және  (1.42)  теңдеуінен:

                                                  ,

немесе:

                                                                              (1.43)

Сонымен  (1.42)  теңдеуінен    -ді  тауып  аламыз:

                                                                                     (1.44)

Егер     және    белгілі  болса,  осы  формула  бойынша  эксцентриситетті  табуға  болады.

 

 

 

ІІ  бөлім.

Кеплер  заңдарының  қолданылуы.

ІІ.1.  Дөңгелек  және  параболалық  жылдамдық.

 

 

 (1.33)  теңдеуінен:         

Шеңбер  үшін:     және  дөңгелек  жылдамдық:

                                                                                           (2.1)

Парабола  үшін:        және  параболалық  жылдамдық:

                                                                                          (2.2)

        Дөңгелек  жылдамдық – бұл  орталық  дене  тартылысының  айналасындағы  дөңгелек  орбита  бойынша  қозғалған  дене  жылдамдығы.  Дененің  осы  жылдамдықпен  қозғалуы  тартылыс  күшінің  орталық  денедегі  ортадан  тепкіш  күшіне  тең.

       Айталық  m  массалы  дене  V  жылдамдықпен  дөңгелек  орбита  бойынша  М  денесі  айналасында  қозғалсын,  және  — ді  гравитациялық  тұрақты  деп  алайық.  Сонда  гравитациялық  күш  мынаған  тең  болады:       

      Центрден  тепкіш  күш:

 

 

 Осы  екі  күшті  теңестіре  отырып,  мынаны  табамыз:

 

     және:            (2.1)  формуласымен  сәйкес  келеді.

        Параболалық  жылдамдық  немесе  тастап  кету  жылдамдығы  деп  алатын  жылдамдық,  бұл – дененің  жерден  тартылу  сферасынан  шығу  жылдамдығы.  Орталық  дене  айналасында  параболалық  жылдамдықпен  қозғалатын  дене  маңында  басқа  тартылатын  денелер  болмаған  жағдайда  онда  орталық  денеден  шектеусіз  алшақтайды. 

        (1.35)  формуладан  бірлік  массаның,  М – нан  r₁  ара  қашықтықта  шексіздікке  орын  ауыстыру  кезінде  жасалынатын  қажетті  жұмыс:

 

 

Осы  жұмыс  жасалғанда,  нүктеге  берілетін  кинетикалық  энергия:

 

Бұдан:

 

Бұл  (2.2)  формуласымен  сәйкес  келеді.

         Егер    ара  қашықтық  тартылатын  дене  радиусы  R-ге  тең  болса,  онда  V- жылдамдық  осы  дене  бетінде  параболалық  жылдамдық  болады:

 

            жылдамдығы  дененің  планетаның   тартылу  сферасын,  осы  планета  бетін  тастап  кету  жылдамдығын  көрсетеді.  (2.1)  және  (2.2)  теңдеулерінен:
                                                           немесе:

                                                                                        (2.3)

         Кез  келген  қашықтықта  параболалық  жылдамдық  дөңгелек  жылдамдықтан         есе  үлкен  болады.

 

 

 

ІІ. 1. 1.  Денеге  дөңгелек  жылдамдық  беру  үшін  қажет  энергия.

 

         Денеге  дөңгелек  жылдамдық  беру  үшін  жасалынатын  жұмысты  екі  бөлікке  бөлуге  болады:

а)  Жердің  центрінен    R   қашықтықтан  денені    — ге  дейін  көтеру  үшін  қажетті    Е_р   жұмыс  (потенциалдық  энергия) .  Бірлік  массаға  сәйкес  (1.34)  формуласы  бойынша  бұл  жұмыс:

 

 

 

б) Денеге V_С  жылдамдық  беру  үшін   жасалынатын  жұмыс (кинетикалық  энергия). Бірлік масса  үшін  бұл  жұмыс:

 

Бірақ         болғандықтан:

 

Сондықтан, атқарылатын  толық  жұмыс  мынаған  тең:

 

                                                 (2.4)

        Бірлік массалы  денені  дөңгелек  орбитаға  шығару  үшін,  мына  теңдеумен  анықталатын  жылдамдық  керек.

 

 

Бұдан                           

немесе:                                                           (2.5)

       r=∞ болған  жағдайда:  (жер  бетіндегі  параболалық  жылдамдық).

       r = R  кезінде:       (жер  бетіндегі  дөңгелек  жылдамдық).

       2.1  таблицада теңіз  деңгейінен  ( h=r – R) әжртүрлі  h биіктікте  дененің  -дөңгелек  жылдамдығының,  — характеристикалық  жылдамдығының, оның  дөңгелек  жылдамдыққа  жетуін  денеге  хабарлайтын  және  жерді  айналу Т периодының мәндері  келтірілген .

  Таблица 2.1.

Әртүрлі биіктік Һ үшін дөңгелек  жылдамдық , характеристикалық жылдамдық  және айналу периоды.

h, km	vc, km	Vхар ,km	T,час	мин	сек	сек
0 100 200 500 1000 2000 ∞	7,89 7,83 7,77 7,60 7,34 6,88 0	7,89 7,95 8,01 8,17 8,41 8,78 11,16	1 1 1 1 1 2	24 26 28 34 45 7	38 39 40 49 22 25	=5078 =5199 =5320 =5689 =6322 =7645

 

Осы кестедегі  берілген  мәндер  бойынша  2.1  суретте  қисықтар  тұрғызылған.

 

 

ІІ. 1. 2.  Дененің  тартылыс  сферасынан  шығу  жылдамдығы  және  гравитациялық  үдеу.

 

    Планета бетіндегі  гравитациялық  өріс  әсерінен  пайда  болатын  үдеу:

 

 

Сурет 2.1 Спутниктің биіктікке байланысты характеристикалық жылдамдығын, айналу жылдамдығы және айналу периоды.

Бүл жердегі r — планета радиусы.

Бірақ

Егер M-ді біртекті деп алсақ, онда:

 

 

Басқаша айтқанда, масса радиустың кубына пропорционал  — пропорцпоналдық коэффициенті, ол планетаның меншікті салмағына  байланысты.

Меншікті салмақтары бірдей планеталар үшін:

                       (2.6)

          Яғни, екі планета бетіндегі тартылу нәтижесінде туатын үдеу олардың радиустарына пропорционал болады.

Планета бетіндегі тартылыс сферасын тастап кететін дене жылдамдығы мынаған тең:

 

                                              (2.7)

 

        Сонымен, планеталар тыгыздығы (меншікті салмақтары) бірдей болса, тартылу сферасынан шығу жылдамдығы және планета бетіндегі дөңгелек жылдамдықтары олардың радиустарына пропорционал. Көптеген серіктер мен астероидтар тығыздығы Аймен  шамалас, яғни 3.34 г/см³.

Таблица 2.2.

Кейбір аспан денелерінің радиусы, тартылыс сферасынан шығу жылдамдығы және гравитациялық үдеуі.

 

Aспан  денесі	Радиусы, км	Тартылыс                                                                                              сферасынан шығу    жылдамдығы км/с	Гравитациялық үдеу, см/ с2
Жер	6378	11.2	981
Ай	1738	2.38	162
X	1000	1.37	93.4
Церрера	385	0.527	36.0
Ахиллес	70	0.096	6.5
Фобос	10	0.0137	0.93

 

 

2. 2. Caн мәнін есептеу.

 

Жоғарыда алынған формулалар бойынша бірнеше есептеулер жүргіземіз. Алдымен Жердің бетіндегі тартылыс сферасынан  дененің шығу жылдамдығын есептейміз. Айталық,  — тастап кету жылдамдығы, ал R — Жер радиусы.

 

Сонда,                           

Жердің экваториалды радиусын 6378 км немесе 6.378∙10⁸  см деп аламыз. Сонда,

 

          =1.116∙10⁶ см / с = 11.16км / с .

 

Бұл жылдамдықпен Жер бетін тастап кететін объект, Әлемде Жерден басқа тартушы денелер болмаса, шексіз қашықтыкқа ұзап кетер еді. Ең алдымен Күннің тартылысын ескеру керек, сонда берілген үлкен жылдамдықпен Жерден алыстаған дене, шексіздікке кетпейді. Ол тек Күн айналасында эллиптикалық орбита бойымен қозғалады.

        Енді жасанды серіктердің дөңгелек жылдамдықтарын есептейік, дөңгелек орбита бойынша Жер айналасында ұшып жүрген, айталық оның бетінен 500 км ара қашықтықта ұшып жүрген жасанды серіктердің қашықтықтарын есептейік.

Дөңгелек жылдамдықтың шамасы:   

 

Сурет 2.2. «Спутник — 3» орбитасы.

 

Бұл жағдайда:

                r = 6378+ 500 = 6878 км = 6,878∙10⁸ см,

                  _Е=3,97∙10²⁰ см³/сек²

Бұдан:

          7,60 • 10⁵ см/сек = 7,60км / сек

Бұл шама 2.1 таблицадағы мәндермен сәйкес келеді. «Спутник — 3» алтыншы жасанды спутник болып табылады. Ол 1958 жылдың 15 майында ұшырылды. Оның пайдалы жүгі 1330 кг — ды кұрды. Бұл салмақ сол кезде мұндай спутник үшін керемет үлкен жүк болып саналады. Ол Жер айналасында екі жылға жуық айналып жүрді. Оның Жер бетінен ең үлкен қашықтығы Н = 1880 км, ал ең аз қашықтығы һ = 230 км болды. Оның орбитасы 1.14 суретінде көрсетілген. Суретте көрініп тұрғандай:

 

2a=2R+H+h

немесе:

                     a=R+                 (2.8)

Мәндерін орнына қойсақ:

 

Эксцентриситетін (1.44) формуласы бойынша табамыз:

 

Бізге белгілі:          r₁₈₀ = R + Н = 6378 + 1880 = 8258 км

немесе:

            r₀ = R + һ = 6378 + 230 = 6608 км

 

 

Енді «Спутник — 3»-ң апогей және перигейдегі жылдамдықтарын табамыз:

 

             см/с=6,54км/с

V₀ жылдамдықты  (1.41) қатынасымен тауып аламыз:

 

 

Бұдан шығатыны

 

 

Перигейдің жылдамдығы апогейге қарағанда 25%-ке үлкен. Эксцентриситеті үлкен орбитадағы «Эксплолер-6» спутнигінің перигей және апогейдегі жылдамдықтарын есептейік. Оның Жерден ең үлкен және ең кіші ара қашықтықтары

 

Н=42450 км

 

Һ=252км

Сонда,

а=27736 км

 

=0,760

мәндерін  орнына қойсақ

 

см/с=1,40 км/с

 

 

 

 

        Бұл жағдайда перигейдің жылдамдығы, апогейдің

жылдамдығына қарағанда жеті есеге жуық жоғарылайды.

 

 

3. 3. Айналу периоды.

 

Енді дененің өзінің орбитасының белгілі бір бөлігін жүретін уақытын анықтайық.

(1.16) теңдеуіндегі v²-ты (1.17) теңдеуіне қойсақ:

 

 (1.32) және (1.30) теңдеулерінен:

   (эллипс)  немесе                  

 

(1.14)  теңдеуіне сәйкес:

 

 

                                                                (2.9)

 

 

rdr-ді мына  түрде  жазайық:

 

Сонда:

 

 

 

 

      -r=(a,-r)-a болғандықтан, соңғы теңдеуді мына түрде жазамыз:

 

 

 

 

Енді бұны шешу қиынға соғады.

 деп белгілейік  (2.10)

 

Сонда:

 

 

немесе:

 

 

Енді

 

  (2.12)

 

деп белгілейік. Сонда:

 

 

 Немесе:

 

 

 

 

Егер  болған кезде t=0 деп алсақ, мұндағы r – перицентрлік радиус, онда С – нөлге айналады да:

 

      Мұндағы         .             

 

 моментінде (апоцентрлік радиус) дене жарты орам жасайды.

 

 

немесе: sin

 

 

 

        Түбірге кіргізіп жазсақ:

 

 

 

Бұл теңдік Кеплердің үшінші заңын береді.

         r₁ радиусымен анықталатын орбита нүктесінен r₁ радиусымен анықталатын нүктеге көшу үшін қажетті уақыт мынаған тең:

 

                       (2.16)

мұндағы

 

                                                                         (2.17)

немесе:

 

                                                                       (2.18)

 

       Тура осы жолмен параболалық және гипербола қозғалыс кезіндегі уақытты табуға болады.

Эллиптикалық орбитаның үлкен жарты осінің үзындығын, айналу периодын есептеу өлшеуден оңай.

          (2.15) теңдеуден:     

                                   .

Егеp Жерді центрлік дене есебінде алсақ, онда:

 

 

Бұдан

      а=                          (2.19)

 

Егер серіктің Жер айналасындағы айналу периоды белгілі болса, онда бұл формула бойынша жасанды серіктің элиптикалық орбитадағы үлкен жарты осін есептеуте болады.

         «Спутник — 3»-ның айналу периоды 106 мин. =6360 секундқа тең болады.

          Жасанды серіктің Жерді айналу периоды Жердің өз осінен айналу  периодына тең болсын.  Орбитаны дөңгелек деп алып, формуламен Жер бетінен қашықтығын табамыз:

 

 

ІІ. 4.  Планета араларындағы мүмкін орбиталар.

 

Екі планета арасындағы космостық  кеме орбитасын есептеу үшін, ең алдымен ықшамды болжам жасаймыз. Былай деп алайық:

• Космостық кеме өзінің жолының көп бөлігін бос ұшу кезінде жүреді.
• Ұшу кезінде планеталардың тартылысын елемеуге болады, тек Күннің тартылысын ескеру керек, сонда космостық кеме кеплерлық орбита бойынша қозғалады. Яғни эллипс, парабола және гипербола бойынша.
• Эклиптика жазықтығында планеталар Күнді айнала дөңгелек орбита сызады.
• Саяхаттар біздің Күн системасымен шектеледі.
• Жер ұшырылу орны болып табылады.

 

         2.3 суретте космостық кеменің орбитасы көрсетілген.

 

 

 

Сурет 2.3. Космостық кеменің элиптикалық орбитасы.

 

Суреттегі белгілеулер мынадай мағына береді:

Е —  космостық кеменің ұшу кезіндегі Жердің орны.

Р₁ — космостық кеменің ұшу кезіндегі планеталар орны.

Р_2-  космостық кеме келгендегі планеталар орны.

𝛹-  жердің өзара орны мен космостық кеменің ұшу кезеңін анықтайтын, Е   және P₁ арасындағы бұрыш.

Ф —  космостық кеме орбитасының ұшу кезеңінен қонғанға дейінгі          

       бұрыштық қашықтығын анықтайтын, Е және Р₂ арасындағы, бұрыш.

Ф₁ — ұшу кезеңіндегі Жердің орнын және  космостық кеменің

       орбита бойынша перигелийден өлщенетін бұрышы.

Ф₂ — Р планетасының жеткендегі орнын және космостық

       кеменің орбита бойынша перигелийден анықтайтын бұрышы.

r₁ —  Жер орбитасының радиусы.

r₂ —  планеталар орбитасының радиусы.

r₀ —  космостық кеме орбитасының перигелийдегі радиусы.

r₉₀ — эллиптикалық орбитаның параметрі.

r₁₈₀ — космостық кеме орбитасының афелийдегі радиусы.

         2.3 суретте көрсетілгендей саяхат сыртқы планетадан ішкі планетаға ұшу кезіндегі жағдайын қарастырамыз. Эллиптикалық орбитаның г₀ радиус-векторы перигелийде аз болу керек немесе ең болмағанда планета орбитасы  радиусқа тең болады, ал r₁₈₀ афелийде Жер орбитасы радиусына тең болады, сондықтан:

 

 

 

Егер а үлкен жарты осі, ал  — эллиптикалық орбитаның эксцентриситеті болса, онда:

 

r₀=а(1- )  және   r₁₈₀=а(1+ )                                         (2.20)

Бұдан:

а(1- )      және    а(1+ )                                      (2.21)

Бірінші  теңсіздікті (1+ )-ге, ал екіншісін (1— )-гe көбейтсек,

мынаны аламыз:

 

 а(1-) (1+ )     және     а(1-) (1- )              (2.22)

 

Эллипстің үлкен осімен 90⁰ немесе 270⁰ бұрыш құратын,

 а(1-)   мүшесі радиусқа тен, оны конустық ағынның параметрі деп атайды.

Екі теңсіздікті де -ге бөлеміз, сонда ара қашықтық астрономиялық бірлікте беріледі:

 

                   (2.23)

 

                                                 (2.24)

 

Тура осы жолмен, егер саяхаттар Жерден сыртқы планетаға жасалғандағы жағдайы үшін:

 

                                                 (2.25)

 

 2.4-суретінде космостық кеменің гиперболалық орбитасы көрсетілген

 

 

а(  -1)  немесе   а( ) ( )     (2.26)

 

Бұл теңсіздік эллиптикалық орбитаның бір шартымен сәйкес келеді. Ішкі планетадан сыртқа саяхат болған жағдайда осы жолмен мынаны аламыз:

Сурет 2.5. Жерден планеталарға саяхат жасау үшін мүмкін орбиталар.

 

                                                              (2.27)

 

Яғни тағы да эллиптикалық орбитаның бір шартымен сәйкес келеді.

Егер клетка қағазға ордината осі бойынша  — ні, тура сол масштабта абсцисса осі бойынша Р-ны графикке тұрғызсақ, онда ішкі планетаға жасалған саяхаттың графиктік көрінісі 2.5 суреттегідей болады. Бұл графиктегі GH, HI және GI сызықтары — мүмкін эллиптикалық орбиталардың шекаралық облысын көрсетеді, ал IL сызығы — мүмкін гиперболалық орбитаның шекаралық облысын көрсетеді.

Осы  жолмен барлық мүмкін эллиптикалык орбиталар GHІ

 үшбұрышы  ішінде табылады, ал барлық мүмкін параболалық  орбита ( )    —GI сызығында жатыр. Максималды р — 2n-ге тең. Сонымен барлық мүмкін  гиперболалық  орбиталар вертикал ось пен GI және IL сызықтарының арасында жатыp. Эллиптикалық орбиталар  облысынан айырмашылығы  гиперболалық  орбиталар  облысы  шектелмеген  болып  табылады.

 

 

 

Таблица 2.3.

	Ішкі планеталар
GH сызығы мен ордината арасындағы бұрыш IH сызығы мен ордината арасындағы бұрыш GH сызығының теңдеуі IH сызығының теңдеуі CI сызығының ұзындығы (параболалық орбита)	450 arctg(n) p=1- p=n(1+ p=2n

 

 

Мысал.

2058 жылдың 15 майында Жер мен Шолпан арасындағы 𝛹 бұрышы +90⁰-қа тең болады. Космостық кеме бірге тең, максималды Е-мен Шолпанға алғашқы мүмкіндіктен-ақ ұшуы керек.

Космостық кеме бұл саяхатқа қашан аттанады және Шолпанға қашан жетеді? Жер мен Шолпан арасындағы 𝛹 бұрышы күніне 0.617°- қа азаяды. Сондықтан да алдағы дата үлкен 𝛹 мүмкін белгісімен анықталады. Изоэнергетикалық Е = 1.0 сызығын  ескере үлкен 𝛹 белгісін сол жақ диаграммадан: 𝛹 = 33°- тан табамыз, космостық кеме ұшырылуын күту керек:

 

                                         күн

Координаталары:  = 0.562 және р= 0.438- ге тең.

Осы нүкте үшін изохрон саяхаттың жалғасқандығын көрсетеді:

                    Т= 43 күн

 

Және 2058 жылдың 27 қыркүйегінің 15 мамырынан бастап санағанда космостық кем Шолпанға 92 + 43= 135 күннен кейін жетуі мүмкін.

Осыған ұқсас есептеулерді дәл шығару көп еңбекті және уақытты қажет етеді. Құрылған диаграмманың нәтижесінен, планетааралық саяхаттардың негізгі шарттары туралы анық көріністі алуға болады.

Планеталар әр турлі жылдамдықпен Күнді айнала қозғалғандықтан, қандай да екі планетаның өзара орналасу орны үздіксіз өзгереді. m және n астрономиялық бірлікке сәйкес келетін орбита радиустарымен бірге А және Р екі планетаны қарастырайық. Сонда  А планетасының  Күн айналасындағы айналу периоды m^3/2  жылға  тең, ал Р планетасы n^3/2 жылға тең болады. Бұдан А планетасы бір жылда  рад бұрышқа, ал Р  планетасы  рад бұрышқа бұрылады. Бұрыштардың бір жыл ішіндегі өзгерісі:

 

 

 Егер планеталар арасындағы бұрыш    радианға  тең  болса, онда біз алғашқы    конфигурациямызды аламыз. Сондықтан бір жыл ішіндегі екі барабар  конфигурация арасындағы бұрыш мына формуламен анықталады:

 

                                                                    (2.29)

 

      Егер  Жер  А планетасы  болса, онда екі бірдей конфигурация арасындағы уақыт:

                                                                          (2.30)

 

    Жер және әр түрлі планеталар үшін Т^*— ның мәні таблицада көрсетілген.    

                                                                                  Таблица 2.4

Планеталардың  синодтық  периоды

 

Планеталар	n	Күндер	𝛹 бұрышының тәуліктік өзгеруі, градуспен.
Меркурий Шолпан Марс Юпитер Сатурн	0,387 0,723 1,524 5,20 9,54	116 584 780 398 379	-3,10 -0,617 +0,462 +0,904 +0,949

 

 

Т^*  уақытын  планеталардың  синодтық периоды деп атайды. Біз изогонды диаграммасынан, егер 𝛹 бұрышы нөлге жақын болса, айталық +4⁰ немесе – 4⁰ –қа тең болса, онда космостық кеменің траекториясы айтарлықтай үлкен  эксцентриситет болу  керектігін көреміз және ол Е-нің  үлкен  мәні. Егер, мысалы, космостық кеме көп энергияны шығындамау үшін, яғни Е аз болу үшін, сәттірек жағдайды күту керек.  2.4-таблицасында мұндай келесі ыңғайлы жағдай бір жарым – екі жылдан кейін кезігетіндігі, әсіресе жақын планеталар – Шолпан мен Марс қатынастары көрініп тұр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды.

 

Жылдамдықтары 50-100 км/с-қа жеткенде, жақын планеталарға саяхат жасау бар жоғы бірнеше  жыл уакыт алады: мүндай жылдамдықтар планеталар арасында саяхат жасауға жеткілікті.

Егер біз Күн системасын қалдырғымыз келсе және жақын  аралықтағы қозғалмайтын жұлдыздарға сапар шекксек, онда бұл жылдамдық жеткіліксіз. Ең жақын аралықтағы қозғалмайтын жұлдыз — Проксима (α Центавра) бізден 4.3 жарық жылдар ара қашықтықта орналасқан, одан шыққан жарық, 300000 км/с жылдамдықпен тарап, бізге 4 жылдан кейін келеді. Қарапайым есептеулер көрсеткендей космостық кеменің 100км/с жылдамдығында саяхатқа 12000 жылдан астам уақыт өтеді.

Жұлдыздардың арасында саяхат жасау үшін жарық жылдамдығына жақын жылдамдық қажет, бірақ бұл жағдайда көп нәрселерді бір адам өміріндей уақыт аралығында үлгеруге болады. Біздің әлем бөлігінде 12 жарық жыл радиусында бар жоғы 18 қозғалмайтын жұлдыздар бар. Біз орналасқан  Галактиканың өте үлкен емес бөлігі бірнеше миллион күн сәулелерінен тұратын  смпиральдық тұмандық түрінде көрсетеді. Бұл спиральдық тұмандық диаметрі 80000 жарық жылына тең. Ал біздің Күніміз оның центрінен ара қашықтығы  27000 жарық жылында орналасқан. Атомның, ионның және электронның тасталуыман біз ешқашанда жарық жылдамдығына жақындамаймыз. Бұл жылдамдыққа жетудің жалғыз жолы — жарықтық энергияның кванттары фотондарды жіберу. Олардың жылдамдығы с = 300000 км/с.

Мұндай жылдамдыққа жету энергияның концентрация- сын қажет етеді. Жарық жылдамдығымен біз Күннің маңайын ғана зерттей алатын жағдайға жетеміз. Материалдық дене, соның ішінде космостық кемеде, жарық жылдамдығын үзетін (бөлетін) жылдамдық болмайды. Сондықтан да адам Галактиканың үлкен емес бұрышында қала беруге бекітілген, деген корытындыға келеміз.

 

                                Пайдаланылған  әдебиеттер

 

1. Основы космонавтики. Москва: Просвещение. 1969.
2. Космонавтика (энциклопедия)
3. М. Фертрит Основы космонавтики. – М.:Просвещение. —

     1969.

4. Дагаев М.М. и др. Астрономия. — М.: Просвещение. —

    1983.

5. Еремеев А.И. Астрономическая картина мира и ее

     творцы. — М.: Наука. — 1980.

6. Моше Д. Астрономия. М: Просвещение. —1985.
7. Бакулин П.И., Кононович З.В., Мороз З.И. Курс общей

     астрономии. М.: Наука. —1988.

8. Жарков В.П. Внутреннее строение Земли, Луны и планет.

     М.: Знание. — 1909.

9. Куликов К.А., Гуревич В.П. Астрономия.
10. Допугаева О.Д. О космонавтике и об астрономии. М.:

      Знанием — 1987.

11. Рябов, Ю.А. Движение небесных тел. — М.: Наука. —

      1977.

12. Куликов К.А. Курс сферической астрономии. М.: Наука.

      — 1974.

13. Циолковский К.Э. Реактивные летательные аппараты. М.:

      Наука. 1964.

14. Гребенников Г.А., Демин В.Г. Межпланетные полеты.

      М.: Наука. — 1965.

15. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника

       относительно центра масс. -М.: Наука.—1965.