Дипломная работа: Дифференциальные уравнения гиперболического типа

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

 

1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 2- ПОРЯДКА

1.1 Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными

1.2 Уравнения гиперболического типа. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач

 

2. О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

2.1 Формулировка основных результатов

2.2 Доказательства основных результатов

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Дипломная работа посвящена изучению вопросов о существовании, единственности решений дифференциальных уравнений гиперболического типа, заданных в неограниченной области.

Цель работы: рассмотреть дифференциальные уравнения гиперболического типа и показать существование решений одного класса уравнений гиперболического типа.

Актуальность исследования краевых задач для гиперболических уравнений определяется в различных областях математической физики, например, и теории электромагнитных полей, теории упругости и гидро­динамике.

          Важное место в теории дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа занимают уравнения второго порядка, возникающие преимущественно в ходе решения физических задач. Ведущим фактором здесь является одна из самых известных задач XVIII века – задача о колебании струны, исследование которой связано с именами Г.Галилея, Р.Декарта, Л.Эйлера, Д.Бернулли, Ж.-Л.Лагранжа, П.-С.Лапласа.

          Применение разнообразного математического аппарата к исследованию краевых задач для гиперболических уравнений позволило разработать методы их решения и выделить специальные классы разрешимых задач. Использования различных подходов, методов при изучении вопросов существования, единственности и нахождения решений краевых задач для гиперболических уравнений привело к результатам, сформулированным в различных терминах. К настоящему времени получены важные результаты по различным методам решения краевых задач для гиперболических уравнений, накоплен большой опыт, позволяющий судить о достоинствах и применимости тех или иных методов.

          Как известно, запросы квантовой механики требуют детального исследования так называемых сингулярных дифференциальных уравнений, например, уравнений, заданных в неограниченной области.

          В приложениях часто встречаются дифференциальные уравнения, заданные в неограниченной области и имеющие не суммируемые коэффициенты. Разрешимость дифференциальных уравнений в неограниченной области  рассматривались в работах М.О.Отелбаева, К.Х.Бойматова, Р.О.Ойнарова, М.Б.Муратбекова, К.Н.Оспанова, Т.Като, Ю.М.Березанского, И.М. Глазмана, А.Г.Костюченко, Б.М.Левитана, М.С.Саргсяна и др.

Данная дипломная работа заключает в себе следующее:

1.Введение;

2. Содержание – состоит из 2 –х разделов:

— в первом разделе рассмотрена классификация уравнений с частными производными 2 – го порядка:

— во втором разделе раскрыт вопрос о существовании решений одного класса уравнений гиперболического типа;

3. Заключение;
4. Список использованной литературы.

 

1 Классификация уравнений с частными производными 2- порядка

 

1.1 Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными

 

Дадим необходимые определения.

Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными х, у называется соотношение между неизвестной функцией u(х, у) и ее частными производными до 2-го порядка включительно:

Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

        (1)

где, являются функциями х и у.

Если коэффициенты  зависят не только от х и у, являются, подобно  , функциями , то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных  так и относительно функции u и ее первых производных

      (2)

где — функции только х и у. Если коэффициенты уравнения (2) не зависят от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффицентами. Уравнение называется однородным, если

С помощью преобразования переменных

допускающего обратное преобразование, мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному. Естественно поставить вопрос: как выбрать

чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?

В этом пункте мы дадим ответ на поставленный вопрос для уравнений, линейных относительно старших производных вида (1) с двумя независимыми переменными х и у:

Преобразуя производные к новым переменным, получаем:

                (3)

Подставляя значения производных из (3) в уравнение (1), будем иметь:

        (4)

где

а функции  не зависит от вторых производных. Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е.

то имеет вид

т.е. уравнение остается линейным.

Выберем переменные  так, чтобы коэффициент  был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка.

          (5)

Пусть  – какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить  то коэффициент  очевидно, будет равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (5).

Докажем следующие леммы.

1. Если является частным решением уравнения 

то соотношение  представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

           (6)

2. Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения.

то функция  удовлетворяет уравнению (5).

Докажем первую лемму. Поскольку функция  удовлетворяет уравнению (5), то равенство

      (7)

Является тождеством: оно удовлетворяется для всех x, y в той области, где задано решение. Соотношение  является общим интегралом уравнения (6), если функция у, определенная на неявного соотношения , удовлетворяет уравнению (6). Пусть

есть эта функция, тогда

                       (8)

 

где скобки и значок  указывают, что в правой части равенства (8) переменная у не является независимой переменной, а имеет значение, равное . Отсюда следует, что  удовлетворяет уравнению (6), так как

 

поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях х, у, а не только при .

Докажем вторую лемму. Пусть  – общий интеграл уравнения (6). Докажем, что

      (7’)

для любой точки (х,у). Пусть (х₀,у₀) – какая-нибудь заданная точка. Если мы докажем, что в ней удовлетворяется равенство (7’), то отсюда в силу тождество и функция  является решением уравнения (7’). Проведем через точку (х₀,у₀) интегральную кривую . Очевидно, что . Для всех точек этой кривой имеем:

 Полагая в последнем равенстве x=x₀, получим:

что и требовалось доказать.

Уравнение (6) называется характеристическим для уравнения (1), а его интервалы – характеристиками.

Полагая , где  есть общий интеграл уравнения (6), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если  является другим общим интегралом уравнения (6), не зависимым от , то полагая  мы обратим в нуль также и коэффициент при

Уравнение (6) распадается на два уравнения:

 

             (9)

 

            (10)

 

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

 

               (11)

 

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением гиперболического типа, если в точке  эллиптического типа, если в точке  параболического типа, если в точке  Нетрудно убедиться в правильности соотношения

 

из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразования переменных, так как функциональной определитель (якобиан) D преобразования переменных отличен от нуля. В различных точках области определения уравнение может принадлежать различным типам.

Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Через каждую точку области G проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа – комплексны и различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительны и совпадают между собой.

 

1.2 Уравнения гиперболического типа

Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

 

Постановка краевых задач

1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Каж­дую точку струны длины l можно охарактеризовать значе­нием ее абсциссы х. Описание процесса колебания струны мо­жет быть проведено при помощи задания положения точек струны в различные моменты времени. Для определения поло­жения струны в момент времени t достаточно задать компонен­ты вектора смещения {u₁(x,t), u₂(x,t), u₃(x,t)} точки x в мо­мент t .

Мы рассмотрим наиболее простую задачу о колебаниях струны. Будем предполагать, что смещения струны лежат в од­ной плоскости (x, и) и что вектор смещения и перпендикулярен в любой момент к оси x; тогда процесс колебания можно опи­сать одной функцией u(x,t), характеризующей вертикальное пе­ремещение струны. Будем рассматривать струну как гибкую уп­ругую нить. Математическое выражение понятия гибкости за­ключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю (рис. 1). Это условие выражает собой то, что струна не сопро­тивляется изгибу.

Величина натяжения, возникающего в струне вследствие уп­ругости, может быть вычислена по закону Гука^. Будем рас­сматривать малые колебания  струны,  и пренебрегать квадратом и_х по сравнению с единицей.

Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытывае­мое участком струны (x¹,x²). Длина дуги этого участка равна

 

u		Т				α

           Х₁   Х₂                                              L                          X

Рис. 1.

Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т в каж­дой точке не меняется со временем. Покажем также, что натя­жение не зависит и от х, т. е.

T(x) = = const.

Найдем проекции натяжения на оси х и и  (обозначим их Т_х и Т_и):

 

где α — угол касательной к кривой u(x,t) с осью х. На участок (x₁, x₂) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инер­ции. Сумма проекций всех сил на ось х должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так как силы инерции и внешние силы по предположению направ­лены вдоль оси и, то

  или          (1)

Отсюда в силу произвольности х₁ и x₂ следует, что натяжение не зависит от. х, т. е. для всех значений х и t

T(x) =                             (2)

После сделанных предварительных замечаний перейдем к вы­воду уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся  вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения участка струны (х₁,x₂) по оси и равна

где  — линейная плотность струны. Приравняем изменение ко­личества движения за промежуток времени t₁—t₂

 

импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения

в точках x₂ и x₁ и внешней силы, которую будем считать не­прерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) F(x,t), рассчитанной на единицу длины. В результате получим урав­нение поперечных колебаний элемента струны в интегральной форме

+

              +                                      (3)

Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от u(х,t). Делая предположение о двукратной дифференцируемости функций, мы фактически уславливаемся о том, что будем рассматривать лишь функции, обладающие этим свойством. Таким образом, подобного типа предположение связано с ограничением круга изучаемых физических явлений и не содержит в себе утверждения, что не существует функций, удовлетворяющих интегральному уравнению колебаний и не имеющих вторых производных. Такие функции существуют и представляют значительный практический интерес.

Тогда формула (3) после двукратного, применения теоремы о среднем примет вид

 

где 

 

  Сократив на и переходя к пределу при x₂x₁, t₂t₁, по­лучим дифференциальное  уравнение поперечных колебаний струны

                          (4)

В случае постоянной плотности α = const этому уравнению обычно придают вид

                     (5)

где  

                                   (6)

отсут­ствии  внешней силы полу­чим однородное уравнение

 

 

u
				F0(t)

Рис. 2.

 

или   

 

 

 

описывающее свободные ко­лебания струны. Это урав­нение является простейшим примером уравнения ги­перболического типа.

Если  в  точке  х₀ (х₁ < х₀ < x₂)  приложена   сосредоточенная сила f₀(t)  (рис. 2), то уравнение (3) запишется так:

Поскольку скорости точек струны ограничены, то при x₁x₀  и  х₂х₀ интегралы в левой части этого равенства стремятся к нулю, и равенство (3) принимает вид

        (7)

Пользуясь теоремой о среднем, сокращая обе части равенства на  и переходя к пределу при  t₂ t₁, получим:  

Отсюда видно, что в точке приложения сосредоточенной силы первые производные претерпевают разрыв и дифференциальное уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполняться два условия сопряжения 

       (8)

первое из которых выражает непрерывность струны, второе определяет величину излома струны в точке х₀, зависящую от f₀(t) и натяжения T₀.

2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн. Урав­нения продольных колебаний для струны, стержня и пружины записываются одинаково. Рассмотрим стержень, расположенный на отрезке (0, l) оси х. Процесс продольных колебаний может быть описан одной функцией u(x,t), представляющей в момент t смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу x. Выбранная здесь геометрическая переменная х называется перемен­ной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего процесса характеризуется одной и той же геометрической координатой х. Физическая точка, занимавшая в начальный момент (в со­стоянии равновесия) положение х, в любой последующий момент t находится и точке с координатой X = х + u (х,t). Если мы фиксируем некоторую геометрическую точку А с координатой X, то в различные моменты времени и угон точке будут находиться различные физические точки (с разными лагранжевыми  координатами х). Часто пользуются также переменными  Эйлера X, t, где X — геометрическая координата. Если U (X,t)—смещение точки с эйлеровой координатой X, то лагранжева координата

x= X-U(X,t)

При продольных колебаниях это смещение происходит вдоль стержня. При выводе уравнения будем предполагать, что натяжения, возникающие в процессе колебания, следуют закону Гука.

Подсчитаем относительное удлинение элемента (x, x +∆x) в момент t. Координаты концов этого элемента в момент t имеют значения

x + u (x, t ), x+∆x + u (x + ∆x, t),

и относительное удлинение равно

=

().

      Переходя к пределу при ∆x→0, получим, что относительное удлинение в  точке х определяется   функцией  u_x(x,t).  В  силу

x = X—U (X, t)

закона Гука натяжение Т (х, t) равно

Т (х, t)=k(x)u_x (x, t)                        (9)

где k(x) — модуль Юнга в точке x(k(x) > 0).

        Пользуясь теоремой  об   изменении   количества   движения, получаем интегральное уравнение колебаний

    (10)

где  F(x,t) — плотность  внешней   силы,   рассчитанная  на  еди­ницу длины.

Предположим существование и непрерывность вторых произ­водных функции u(x,t). Применяя теорему о среднем и совер­шая предельный переход при =х₂—х₁ и =t₂—t₁ приходим к дифференциальному уравнению про­дольных колебаний стержня. Условие малости колебаний в данном случае связано только с гра­ницей применимости закона Гука. В общем случае T=k(x, u_x )u_x, и мы приходим к квазилинейному уравнению[ k (x, ux) u_x|_x =pu_tt F (x,t).

[k (x) u_x ]_x=pu_tt – F(x, t).                       (11)

Если стержень однороден   (k(x) = const,   p = const),   то   это уравнение записывают следующим образом:

u_tt = a²u_xx +f(x, t) (a=,)                         (12)

 где

f(x, t)=                                 (13)

есть плотность силы, отнесенная к единице массы.

3. Энергия колебаний струны. Найдем выражение для энер­гии поперечных колебаний струны Е = К + U, где К — кинети­ческая и U—потенциальная энергия. Элемент струны  dx, дви­жущийся со скоростью   v= u_t ,обладает кинетической энергией

= p(x) dx (u_t)²         (m=p dx)

Кинетическая энергия всей струны равна

K=dx               (14)

 

Потенциальная  энергия  поперечных колебаний струны, имеющей  при t = t_o форму u (x, t₀) = u₀ (x), равна работе, которую надо совершить, чтобы

струна перешла из положения равнове­сия в положение U₀(х). Пусть функция u (х, t) дает профиль струны в момент t, причем

и (х, 0) = 0,               u (х, t₀)=u₀(x).

Элемент dx под действием   равнодействующей  сил   натяжения

=Tu_xx dx

за время dt проходит путь ut(x,t)dt. Работа, производимая всей струной за время dt, равна

=

                           = .

Интегрируя по t от 0 до t₀ получаем:

=

 

Нетрудно выяснить смысл последнего слагаемого правой части этого равенства. Действительно, Т₀и_х|_х=0 есть величина натяжения на конце струны х = 0;  u_t (0, t) dt — перемещение этого конца, а интеграл

u_xu_t|_х=0 dt                                (15)

представляет работу, которую надо затратить на перемещение конца х = 0. Аналогичный смысл имеет слагаемое, соответ­ствующее х = l.

Если концы струны  закреплены, то работа на концах струны будет равна нулю (при этом u (0, t) = 0, t) == 0). Следовательно, при перемещении закрепленной на концах «струны из положения равновесия и = 0 в положение работа не зависит от способа перевода струны в это по­ложение и равна

                         (16)

потенциальной энергии струны в момент t = t₀ с обратным зна­ком. Таким образом, полная энергия струны равна

                (17)

Совершенно аналогично может быть получено выражение для потенциальной энергии продольных колебаний стержня. Впро­чем, его можно получить также, исходя из формулы для потен­циальной энергии упругого стержня

(

где —начальная длина стержня,  — конечная длина. Отсюда непосредственно следует:

dx.

4. Вывод уравнения электрических  колебаний  в проводах.

Прохождение электрического тока по проводу с распределенны­ми параметрами характеризуется силой тока i и напряжением v, которые являются функциями положения точкиx x и времени t. Применяя закон Ома к участку длиной dx, можно написать, что падение напряжения на элементе провода dx равняется сум­ме электродвижущих сил:

                   (18)

где R и L — сопротивление и коэффициент самоиндукции, рас­считанные на единицу длины.

Количество электричества, притекающее на элемент прово­да dx за время dt

[ i (x,t) – i(x+dx, t)] dx = — i_x dx dt,                    (19)

равно сумме количества электричества, необходимого для за­рядки элемента dx, и количества, теряющегося вследствие несо­вершенства изоляции:

C[v(x, t+dx)-v(x, t)]dx+G dx • vdx=(Cv_t+Cv)dx dt,          (20)

где С и G — коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, причем величину потерь мы считаем пропор­циональной напряжению в рассматриваемой точке провода. Из формул (18), (19) и (20) получаем систему

                              (21)

называемую  системой   телеграфных  уравнений. Эти уравнения  являются  приближенными  в  рамках  теории электромагнитного поля, поскольку они не учитывают электромагнитных колебаний  в среде, окружающей провод.

Чтобы получить одно уравнение, определяющее функцию i, продифференцируем первое равенство (21) по х, второе — по t, умножив его на С. Производя вычитание в предположении постоянства коэффициентов, найдем:

Заменяя v_x его значением из второго уравнении (21), получим уравнение для силы тока

                         (22)

Аналогично выглядит уравнение, для напряжения

                     (23)

     Уравнение (22) или (23) называется телеграфным уравне­нием. Если можно пренебречь  потерями через изоляцию и если сопротивление очень мало

    (G R0), то мы приходим к изве­стному уравнению колебаний

    .                               (24)

5. Поперечные колебания мембраны. Мембраной называется плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Рас­смотрим мембрану, натянутую на плоский контур С. Будем изу­чать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярен к плоскости мембраны.

Пусть ds— элемент дуги некоторого контура, взятого на по­верхности мембраны и проходящего через точку М (х, у). На тот элемент действует  натяжение, равное Т ds. Вектор Т вследствие отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу лежит в каса­тельной плоскости к мгновенной поверхности мембраны и пер­пендикулярен к элементу ds. Можно показать, что отсутствие сопротивления сдвигу приводит к тому, что величина натяжения  и не зависит от направления элемента ds, так что вектор натяжения T=T (x, y, z) является функцией  x, y и t. Эти свойства вектора Т служат математическим выражением отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу.

Будем изучать малые колебания мембраны, пренебрегая квадратами первых производных и_х и и_у, где функция u(x, y, t) определяет форму мембраны в момент времени t. Из предположения сразу же следует, что T_h(x,y,t) —проекция натяжения на плоскость (х, у) — равна абсолютной величине натяжения. В самом деле, при любой ориентации дуги ds  угол   между вектором Т и плоскостью (х,у) не превосходит угла  образуемого нормалью к поверхности мембраны в точке с осью z. Поэтому

ꞌ 

т.е. ꞌ    и

ꞌ                   (25)

Вертикальная составляющая натяжения, очевидно, равна

Выделим на поверхности мембраны элемент площади, проекция которого на плоскость (х, у) является прямоугольником ABCD со сторонами, параллельными осям координат (рис. 3). На этот элемент действует сила натяжения, равная

 

                                              (26)

 

В силу отсутствия перемещения вдоль осей х и у проекции  на эти оси равны нулю:

Аналогично

 =

Пользуясь теоремой о среднем и учитывая произвол в выборе площадки ABCD, получаем:

                      (27)

т.е.  натяжение Т не меняется при изменении х и у и может за­меть лишь от t.

Площадь какого-либо элемента  мембраны   в   момент времени t равна в нашем приближении

             (28)

Следовательно, в процессе колебаний не происходит растяжения, откуда в силу закона Гука вытекает независимость натяжения от времени. Таким образом, мы установили, что натяжение  не  зависит от  переменных х, у и t.

 

Т (х, y_, t) = const = Т₀.                             (29)

        y

                   D                                        C

y=y₂                                                                                                                                

 

 

y=y_{1                                                                                               B}

                   A                                        B                        x

x=x₁                      x=x₂                                Рис. 3.    

 

 

 

Перейдем  к  выводу  урав­нения    колебаний    мембраны. Воспользуемся теоремой о приращении количества движения. Пусть  Si — проекция  на  плоскость  (х, у)  некоторого участка   мембраны,   a   C_t —   -гра­ница   Si.   Приравнивая   изменение   количества  движения   им­пульсу вертикальных составляющих сил натяжения и внешних действующих сил с плотностью F(x,y,t), получаем уравнение колебаний мембраны в интегральной форме

где р (x, у)—поверхностная плотность мембраны, a F(x,y,t) — плотность внешней силы (на единицу площади).

Для перехода к дифференциальному уравнению предполо­жим, что функция u(x,y,t) имеет непрерывные вторые производные. С помощью теоремы Остроградского контурный ин­теграл преобразуется в поверхностный

вследствие чего интегральное уравнение колебаний приводится к виду

Пользуясь теоремой о среднем, произвольностью выбора Si и промежутка времени (t₁, t₂), делаем заключение о тождествен­ном равенстве нулю выражения в фигурных скобках. Таким об­разом, приходим к дифференциальному уравнению колебаний мембраны

ри_tt =Т₀(и_хх + и_уу) + F (х, у, t).                                                      (31)

Для однородной мембраны уравнение колебаний можно запи­сать в виде

и_tt = а²(и_хх + и_уу) + f (х, у, t).      (а² = ) ,                  (32)

где f(x,y,t) — плотность силы, рассчитанная на единицу мас­сы мембраны.

6. Уравнения гидродинамики и акустики. Для характери­стики движения жидкости пользуются функциями v₁(x, y, z, t), v₂(x, y, z, t), v₃ (x, y, z, t), представляющими компоненты вектора скорости v в точке (х, у, z) в момент t (эйлеровы переменные). Величинами, характеризующими движение жидкости, являются также плотность p(x,y,z,t), давление p(x,y,z,t) и плотность внешних действующих сил F (х, у, z, t) (если они имеются), рас­считанная на единицу массы.

Рассмотрим некоторый объем жидкости Т и подсчитаем дей­ствующие на него силы. Пренебрегая силами трения, обуслов­ленными вязкостью, т. е. рассматривая идеальную жидкость, по­лучим для результирующей сил давления выражение в виде поверхностного интеграла

—n dS,                                                           (33)

где S — поверхность объема Т, п — единичный вектор внешней нормали. В   самом   деле,   рп   =   pcos(n, x)i + pcos (n, y)/ + p cos(n, z)k, где i, j, k — единичные векторы в системе координат (х, у, z),

 =    d и т. д.

 

Формула Остроградского дает:

—n dS= —                   (34)

При вычислении ускорения какой-либо точки жидкости необходимо учесть перемещение самой точки. Пусть x=x(t), у = у(t), z = z(t) — уравнение траектории этой точки. Вычислим производную скорости по времени

 

=

где

Такая производная по времени, учитывающая движение частицы среды (субстанции), называется субстанциональной или материальной. Уравнение движения жидкости выражает обычную связь между ускорением частиц и действующими на них силами

              (35)

где последний интеграл представляет собой равнодействующую внешних

   сил, приложенных к объему Т. Отсюда в силу произвольности объема Т

   получаем уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера

v_t + () v =  grad р + F.                                               (36)

перейдем к выводу уравнения непрерывности. Если внутри Т никаких источников или стоков,  то   изменение  в   единицу времени количества жидкости, заключенной внутри Т, равно потоку через границу S.

                 (37)

Преобразование поверхностного интеграла в объемный дает

 

Так как это равенство справедливо для сколь угодно малых объемов, то отсюда следует  уравнение  непрерывности

+div (pv)=0

или            

+ v grad p + р div v = 0.                                                                (38)

К уравнениям (36) и (38) следует присоединить термодинамическое уравнение состояния, которое мы здесь возьмем в виде

p = f (p)

Следовательно, мы получаем систему пяти уравнений с пятью неизвестными функциями v_x, v_y, v_z, р и р. Если бы уравнение состояния содержало температуру, то нужно было бы добавить еще уравнение теплопереноса (см. приложение IV). Таким образом, система уравнений        

               (39)

представляет замкнутую систему уравнений гидродинамики.

Применим уравнения гидродинамики к процессу распростронения звука в газе. Сделаем следующие допущения: 1) внешние силы отсутствуют; 2) процесс распространения звука является адиабатическим, поэтому уравнением состояния служит адиабата Пуассона

        (

где р_о и р_о — начальная плотность и начальное давление, с_p и с_v — теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме; 3) колебания газа малы, можно пренебрегать высшими степенями скоростей, градиентов скоростей и изменения плотности.

Назовем конденсацией газа величину s(x,y,z,t), равную относительному изменению плотности

s (x, у, z, t) =  ,                            (40)

откуда

.                        (41)

Уравнения  гидродинамики при сделанных предположениях принимают вид

                    (42)

так как

 p=

где точками обозначены члены второго и высших порядков малости. Вводя обозначение а² =     перепишем систему (42) в следующем виде:

                            (42′)

применяя к первому уравнению (42′)  оператор дивергенции и меняя порядок

 дифференцирования, будем иметь:

где

оператор Лапласа. Используя второе уравнение (42′), получим уравнение колебаний

                               (43)

Или

Отсюда и из (40) получаем уравнение для плотности

 

а² (р_хх +p_yy+p_zz)=p_tt                                                   (43′)

Уравнения (43) и (43′) являются уравнениями колебаний. Введем теперь потенциал скоростей и покажем, что он удовлетворяет  тому же уравнению колебаний (43), что и конденсация

Из уравнения      

Следует      

v (х, у, z, t) = v (х, у, z, 0) — a²grad    (  dt),     (44)

где v(x, y, z, 0)—начальное распределение скоростей. Если поле скоростей в начальный момент имеет потенциал

v |_t=0 = — grad f (х, у, z),                                              (45)

то имеет место соотношение

          (46)

которое означает, что существует потенциал скоростей U(x, y, z, t) . Из формулы  (46)  видно, что потенциал U определен с точностью до слагаемого,   являющегося   произвольной   функцией   t.   Из   уравнения   v, = —a² grad s и (46) следует   grad (s  т. е. s = Ut  при  соответствующей нормировке потенциала U,

  Знания потенциала скоростей достаточно для опи­сания всего процесса движения

                            (47)

Подставляя эти значения в уравнение непрерывности

s_t+div v=0,

получим уравнение колебаний для потенциала

или

                           (48)

Для давления р и скорости v также можно получить уравне­ние колебаний

вида (48), называемое часто уравнением акустики.

При решении задач для двумерного и одномерного случаев надо в уравнении (48) оператор Лапласа заменить оператором  и, соответственно,  . Постоянная

имеет размерность скорости и, как будет показано в § 2, явля­ется скоростью распространения звука.

Вычислим скорость звука в воздухе при нормальном атмо­сферном давлении. В этом случае =7/5,  р₀ = 0,001293 г/см³, р₀ = 1,033 кг/см²; следовательно,

=336 м/сек.

В случае колебаний газа в ограниченной области на ее границе должны быть заданы определенные граничные условия. Если граница представляет собой твердую непроницаемую стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что приводит условиям

7. Граничные и начальные условия. При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т.е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса.

Дифференциальные уравнения с обыкновенными и, тем более частными производными имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия.

В случае   обыкновенного    дифференциального    уравнения 2-го порядка решение может быть определено начальными условиями, т.е. заданием значений функции и ее первой производной при    «начальном»   значении   аргумента    (задача   Коши). Встречаются и другие формы дополнительных условий, когда, например, задаются значения функции в двух точках  (задача о цепной линии). Для уравнения с частными производными возможны также различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим сперва простейшую задачу о поперечных колебаниях струны, закрепленной на концах. В этой задаче u(x,t) дает склонение струны от оси х. Если концы струны 0≤х≤l закреплены,   то должны   выполняться   «граничные   условия»

u(0, t) = 0,    и(1, t) = 0.                                            (50)

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать «начальные условия»:

                          (51)

Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных

  условий, где   и — заданные функции точки. В дальнейшем мы

  покажем, что эти условия вполне определяют решение уравнения колебаний  

  струны                  

                                          (52)

Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (50) принимают другой вид:

                         (50′)

где   и  — заданные функции времени t. Аналогично ставится задача для продольных колебаний струны или пружины.

Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.

В точке подвеса х — 0 отклонение

на свободном конце х =  натяжение пружины

                            (53)

равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид

Если конец  х = 0 движется по определенному закону   при х =   задана сила = , то

Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для  х =   

Или

                   (54)

при котором конец х =   может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает  на этом конце напряжение, стремящееся вернуть сместивщийся конец в прежнее положение. Эта сила, согласно закону Гука, пропорциональна смещению ; коэффициентом пропорциональности  называется коэффициент жесткости закрепления.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается и ее отклонение от начального положения дается функцией  то граничное условие принимает вид

              (55)

Условие упругого закрепления на левом конце х = 0 имеет вид

формально можно считать, что (55) имеет место и при х = 0, <0). Следует отметить, что в случае жесткого закрепления ( велико), когда даже небольшие сдвиги конца вызывают большие натяжения, граничное условие (55) переходит условие  u(l,t)= () при  . В случае мягкого закрепления ( мало), при котором большие сдвиги 1 вызывают слабые натяжения, граничное  условие переходит  условие свободного конца

В дальнейшем  мы будем  говорить о трех основных типах граничных условий:

граничное условие   1-го   рода  — заданный   режим,

граничное условие 2-го рода  — заданная сила,

граничное условие 3-го рода — упругoe закрепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце х =   Если функции, задаваемые в правой части — или , равны нулю, то граничные условия называются однородными.

Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, мы получим шесть типов простейших краевых задач. Более сложное граничное условие имеет место, например, упругом закреплении, не подчиняющемся закону Гука, когда натяжение на конце является нелинейной функцией смещения, ,   так что

                      (56)

Это граничное условие в отличие от рассмотренных выше является нелинейным. Возможны, далее, соотношения между смещениями и натяжениями на разных концах системы. Например задачах о колебании кольца, когда х = 0 и х =  представляют одну и ту же физическую точку, граничные условия принимают вид

                 (57)

 

т. е. сводятся к требованиям непрерывности и и и_х. Произвольные по   могут также входить в граничные условия. Если конец пружины испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости его движения (к концу пружины прикреплена пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси пружины) то граничное условие принимает вид

ku_x () = — au_t ().                                            (58)

Если к концу х =  пружины прикреплен груз массы m, то при х = l должно выполняться условие

mu_tt () = — ku_x ()+mg.                        (59)

Для поперечных колебаний струны все граничные условия записываются в той же форме с заменой k на Т₀.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением трех простейших типов граничных условий, проводя основное изложение на примере первого типа граничного условия и отмечая лишь попутно особенности, связанные со вторым и третьим условиями.

Сформулируем первую краевую задачу для уравнения  (5):

найти функцию u(x,t), определенную в области  удовлетворяющую уравнению

u_tt = а²и_хх +f(x, t)  для 0 < х < l, t> 0,

граничным

             (60′)

и наличным условиям:

          (60»)

Аналогично ставится задача для уравнения (11).

Если на обоих концах берутся граничные условия 2-го или 3-го рода, то соответствующие задачи называются второй или третьей краевыми задачами. Если граничные условия при х = 0 и х = l имеют различные типы, то такие краевые задачи называют смешанными, не проводя более подробной их классификации.

Обратимся теперь к рассмотрению предельных случаев поставленной задачи. Влияние граничных условий в точке m₀, достаточно удаленной от границы, на которой они заданы, сказывается через достаточно большой промежуток времени.

Если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, когда влияние границ еще несущественно, то вместо полной   задачи   можно   рассматривать   предельную   задачу с начальными условиями для неограниченной  области:   найти решение уравнения

^‘u_tt = а²и_хх + f (x, t)   для    —  < х <,    t > 0,

с начальными условиями

Эту задачу часто называют задачей Коши.

Если же мы изучаем явление вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существен­но значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой  ≤ х <, когда помимо уравнения даны дополнительные условия:

(62)

Характер явления для моментов времени, достаточно удаленных от начального момента t — 0, вполне определяется граничными значениями, так как влияние начальных условий благодаря трению, присущему всякой реальной системе, с течением времени ослабевает¹). Задачи этого типа встречаются особенно часто в случаях, когда система возбуждается периодическим граничным режимом, действующим длительное время. Такие задачи «без начальных условий» (на установившийся режим) формулируются следующим образом:

найти решение изучаемого уравнения для   при граничных условиях

                               (63)

Аналогично ставится задача без начальных условий для полуограниченной прямой.

В дальнейшем мы будем рассматривать помимо основных краевых задач также предельные задачи:

1. Задачи в бесконечной области, когда одна или обе гра­ницы находятся в бесконечности.
2. Задачи без начальных условий (на установившийся ре­жим), когда рассматривается решение, определенное в течение бесконечного промежутка времени.
3. Редукция общей задачи. При решении сложной задачи естественно стремиться свести ее решение к решению более простых задач. С этой целью представим решение общей крае­вой задачи в виде суммы решений ряда частных краевых задач.

Пусть u_i (х, t) (i = 1,2,…, п) — функции, удовлетворяющие уравнениям

  (64)

при 0 < x < l, t > 0  и  дополнительными условиями

                         (65)

Очевидно, что имеет место суперпозиция решений, т. е. функ­ция

                            (66).

удовлетворяет аналогичному уравнению с правой частью

(67)

и дополнительным условиям, правые части которых суть функ­ции

                       (68)

Указанный принцип суперпозиции относится, очевидно, не только в данной задаче, но и к линейному уравнению с линейными дополнительными условиями. Этим свойством мы и дальнейшем неоднократно будем пользоваться.

Решение общей краевой задачи

                   (69)

может быть представлено в виде суммы

и (х, t) = u₁ (х, t) + и₂ (х, t) + и₃ (х, t)+u₄(x, t)         (70)

где  u₁, u₂, u₃, u₄— решения следующих частных краевых задач:

 (71)

Мы ограничимся здесь этой формальной редукцией для того, Чтобы характеризовать частные краевые задачи, составляющие Основные этапы при решении общей задачи. Аналогичная ре­дукция может быть произведена и для предельных случаев об­щей краевой задачи.

9. Постановка краевых задач для случая многих переменных. Мы

подробно рассмотрели постановку краевых задач для случая одной независимой геометрической переменной х (и времени t). Если число геометрических переменных n> 1 (например п = 3), то первая краевая задача ставится совершенно входным образом:

требуется найти функцию и (М, t) = и (х, у, z, t) , определен­ную при t0 внутри заданной области Т с границей ∑ , удов­летворяющую при t > 0 внутри Т  уравнению

       (72)

граничному условию на  ∑

           (73)

 (x,y,z,t) есть функция, заданная на  и начальным условиям

              (74)

Разложение общей краевой задачи на ряд более простых про­исходит аналогично предшествующему. Отметим, что возможна также постановка предельных краевых задач для неограничен­ной области, полупространства и т. д.

10. Теорема единственности. При решении краевых задач:

1) надо убедиться в том, что дополнительные условия до­статочны для выделения однозначного решения; это дости­гается доказательством теоремы единственности;

2) надо убедиться в том, что дополнительные условия не переопределяют задачу, т. е. среди них нет несовместных условий; это достигается доказательством теоремы существо­вания; доказательство существования решения обычно тесно связано с методом нахождения решения.

В настоящем пункте нами будет доказана следующая тео­рема единственности:

Возможно существование только одной функции u(x,t), определенной в области  и удовлетворяющей  уравнению       

                     (75)

начальным  и граничным условиям

           (76)

если выполнены условия:

• функция и производные, входящее в уравнение (75), а также производная  непрерывны на отрезке
• коэффициенты и  непрерывны на отрезке

Допустим, что существует два решения рассматриваемой задачи:

и рассмотрим разность     

Функция   , очевидно, удовлетворяет однородному уравнению                         (77)

однородным дополнительным условиям
                      (78)

и также условию 1) теоремы.

Докажем, что функция v(x,t) тождественно равна нулю.

Рассмотрим  функцию

и покажем, что она не зависит от t. Физический смысл функ­ции E(t) очевиден: это полная энергия струны в момент вре­мени t. Продифференцируем E(l) no t, выполняй при этом дифференцирование под знаком интеграла¹)

Интегрируя по частям первое слагаемое правой части, будем иметь:

              (80)

Подстановка обращается в нуль в силу граничных условий (из  

следует  и аналогично для  ).

Отсюда следует, что

т. е. E(t) — const. Учитывая начальные условия, получаем:

 (81)

так как                      (х, 0) = 0,         (x, 0)=0.

Пользуясь формулой (81) и положительностью , заклю­чаем, что

откуда и следует тождество

(х, )= const = С₀.

Пользуясь начальным условием, находим:

(х, )= С₀ = 0;

тем самым доказано, что

(х, ) = 0.                                (83)

Следовательно, если существуют две функции u₁ (х, t) и u₂ (x, t), удовлетворяющие всем условиям теоремы, то u₁ (х, t) = u₂ (x, t).

Для второй краевой задачи функция v = и₁ — и₂ удовлетворяет граничным условиям   

(0, ) = 0,            (, ) = 0,                       (84)

и подстановка в формуле (80) также обращается в нуль. Дальнейшая часть доказательства теоремы остается без вменений.
    Для третьей краевой задачи доказательство требует некоторого видоизменения. Рассматривая по-прежнему два решения
и₁ и и₂, получаем для их разности v(x,t) = и₁ – и₂  уравнение (77) и граничные условия

                (85)

Представим подстановку в (80) в виде

Интегрируя  в пределах  от нуля до , получим:

 

откуда в силу уравнения и начальных условий следует:

(х, ) = 0,          (x, )=0,

Е (t)=         (86)

Так как в силу неотрицательности  подинтегральной  функции Е (t) то

 (87)

и следовательно, и              

(х, ) = 0.                                (88)

Изложенный здесь метод доказательства теоремы единствен­ности, основанный на использовании выражения полной энер­гии, широко применяется при доказательстве теорем единствен­ности в различных областях математической физики, например, и теории электромагнитных полей, теории упругости и гидро­динамике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 О существовании решений одного класса уравнений гиперболического типа

 

              2.1 Формулировка основных результатов

 

Рассмотрим дифференциальное уравнение                                                                   ,     (2.1.1)

где ,.   

В дальнейшем рассмотрим в виде оператора

 Предположим, что коэффициенты  удовлетворяют условиям:

1. i) — непрерывные функции в ;
2. ii) ;

iii)  при , — постоянное число.

          Под решением задачи (2.1.1) понимается функция , если существует последовательность  функций из множества  такая, что ,  при , где  — множество состоящее из бесконечно дифференцируемых и финитных функций.

          Найти единственное решение задачи (2.1.1) означает доказать обратимость оператора .

          После такого разъяснения вопроса, касающегося понятия решения уравнения, в дальнейшем формулировки результатов и доказательства приведем на языке операторов.

          Теорема 2.1.1. Пусть выполнено условие:

1. i) — непрерывные функции в . Тогда оператор имеет непрерывный обратный оператор.

          На  положим

Нетрудно проверить, что оператор  допускает замыкание и его обозначим через .

          Лемма 2.1.1. Пусть выполнено условие i). Тогда для всех  выполняется неравенство

.

Лемма 2.1.2. Пусть выполнено условие i). Тогда при  существует непрерывный обратный , определенный в пространстве , где  — обратный оператор к замкнутому оператору .

 

2.2 Доказательства основных результатов

 

Доказательство леммы 2.1.1.

Рассмотрим следующий функционал на :

                           .                                        (2.1.2)

Интегрируя по частям и учитывая, что  — финитная и бесконечно гладкая функция, имеем

                     .

.

,

          т.е.              .

Отсюда и из (2.1.2) имеем

.

Применим неравенство Коши с «»:

.

Отсюда

.             (2.1.3)

Вычислим теперь следующее скалярное произведение:

.

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности (интегрируя по частям):

,

поэтому .

          Интегрируя по частям имеем:

.

          Далее, нетрудно получить что

  .

Отсюда       .

          Для  справедливо равенство:

.

          Из последнего равенства имеем, что . Учитывая, что , имеем:

.

Использую условие i) и применяя неравенство Коши с «» находим, что

или                             .

Выбрав , окончательно имеем:

.

Складывая последнее неравенство с (2.1.3) получаем, что

.

Отсюда

или                                            ,

где  — постоянное число. Лемма 2.1.1 доказана.

Далее, доказывается существование резольвенты дифференциального оператора

в . Для этого, сперва, рассмотрим оператор 

 определенный на множестве функций удовлетворяющих следующим требованиям:

, .

Здесь  и -правые и левые концы интервалов .

Доказательство леммы 2.1.2.

Интегрируя по частям  для всех , имеем:

   .

Теперь, если показать, что множество  плотно в , то отсюда будет следовать что оператор имеет непрерывный обратный оператор . Мы докажем это от противного.

Допустим, что множество  не является плотным в . Тогда существует элемент  такой, что  для всех . Отсюда следует, что  в смысле теории распределении.

Поскольку функции ,  ограниченные, непрерывные функции на отрезке . Тогда функции , .

Для завершения доказательства достаточно убедиться в том, что элемент , для которого  принадлежит  т.е.

.

В этом можем убедиться, интегрируя по частям:

.

Здесь мы воспользовались тем, что .

Далее,

По предположению , следовательно . Отсюда в силу произвольности функции  следует, что

.

Таким образом, окончательно имеем, что .

Для завершения остается доказать, что справедливо неравенство

,   .                        (2.1.4)

Для этого рассмотрим скалярное произведение , интегрируя по частям и учитывая, что вне интегральные члены исчезают в силу только что написанных краевых условий, получим:

.

Теперь, пользуясь неравенством Коши-Буняковского и условием i) ( — не меняет знак), получим неравенство:

,   .

Из последнего неравенства, в силу , следует, что .

Лемма 2.1.2 доказана полностью.

          Возьмем набор  неотрицательных функции из  таких, что

, supp.

Через  обозначим оператор, определенный равенством

, .

Доказательство теоремы 2.1.1.

Применяя преобразования Фурье по  к уравнению (2.1.1) при  получаем:

,      (2.1.5)

где

,

.

Отсюда нетрудно заметить, что задача о решении уравнения (2.1.1) перейдет в задачу о решении уравнения (2.1.5). Следовательно:

                                                         (2.1.6)

дает решение уравнения (2.1.5). Теорема 2.1.1 доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Для достижения цели нашей дипломной работы, а именно рассмотреть существование решений одного класса уравнений гиперболического типа, мы решали ряд задач:

1. Описать понятие и виды уравнений с частными производными 2-го порядка.
2. Рассмотреть методику решений дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными.
3. Рассмотреть уравнения гиперболического типа.
4. Разработать планы нахождения решений одного класса уравнений гиперболического типа.

В результате изучения проблемы мы пришли к следующим выводам:

— Под решением дифференциального уравнения  понимается функция , если существует последовательность  функций из множества  такая, что ,  при , где  — множество состоящее из бесконечно дифференцируемых и финитных функций;

— Применяя методы функционального анализа доказано существования решений одного класса гиперболических уравнений.

Все названные виды дифференциальных уравнений гиперболического типа в большинстве случаев тесно связаны друг с другом, имеют много общего и направлены на развитие у студентов интереса к предмету, логического мышления.

Таким образом, мы считаем цель нашей работы достигнутой.

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 735с.

2 Соболев С.Л. Уравнения математической физики. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. — 440с.

3 Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.: Мир, 1951. — Т.2. — 544с.

4 Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448с.

5 Гурса Э. Курс математического анализа. — М.: Мир. Т.3. — Ч.I. — 1933. — 276с., — Ч.II. — 1934. — 320с.

6 Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Ленинград: ЛГУ. — 1950. — 255с.

7 Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз. — 1961. — 140с.

8 Кальменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа – Шымкент.: Ғылым – 1993, — 327с.

9 Елдесбай Т.Ж. Обратная задача для гиперболического уравнения, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Известия НАН РК, Сер. физ.-матем. — 2005., №5. — С.17-20.

10 Нагумо М. Лекции по современной теории уравнений в частных производных. – М.: Мир – 1967, -132с.

11 Нахушев А.М. Методика постановки корректных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка на плоскости // Дифференциальные уравнения, 1970, Т.6, №2, -С.192-195.

12 Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения – 1969. Т.5, №1. – С.44-59.

13 Кигурадзе Т.И. Об ограниченных и периодических в полосе решениях квазилинейных гиперболических систем // Дифференц. уравнения. — 1994.

— Т.30, № 10. — С.1760-1773.

14 Асанова А. Т. Ограниченные на полосе решения систем гиперболических уравнений // Математический журнал. — 2001. — Т.1, ,№1. — С.14-20.

15 Джумабаев Д.С., Асанова А.Т. Метод параметризации применительно к полупериодической краевой задаче для гиперболического уравнения // Известия МО и Н РК. Сер. физ.-мат. — 2001., №1. — С.23-29.

16 Отелбаев М. Оценки спектра оператора Штурма-Лиувилля. Алма-Ата. -1990. –С.190.

17 Муратбеков М.Б. Разделимость оператора смешанного типа и полнота его системы корневых векторов // Диф. уравнения -1991. –Т27, №16. –С2127-2137.

18 Муратбеков М.Б. Разделимость, оценка сингулярных чисел (-чисел) оператора смешанного типа и полнота его системы корневых векторов // Тезис докладов республиканской научной конференции «Теория приближения и вложения функциональных пространств». Караганда, 1991, -С.89.

19 Муратбеков М.Б. Разделимость и оценка сингулярных чисел оператора смешанного типа // Известия АН КазССР, -1992. №1. –С.25.

20 Муратбеков М.Б. Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, -2006. –С163.

21 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы функции и функционального анализа. Москва -1981. 544с.

22 Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва. -1980. –С.496.

23 Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва.-1984. -567с.

24 Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва. -1988. –С.567.

25 Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва. -1976. -392с.

26 Ахиезер Н.И., Глазман И.П. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Москва. -1966. -543с.

27 Иосида К. Функциональный анализ. Москва. -1967. -624с.

28 Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Москва.-1969.-526с.

29 Муратбеков М.Б., Жусипназаров Р.М. О существовании и единственности решений одного класса гиперболических уравнений // Вестник КазНУ серия математика, механика, информатика №1, 2006г., -С.88-92.

30 Жусипназаров Р.М. Разделимость одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа // Вестник КарГУ №2 (46)/2007. -С.15-22.

31 Муратбеков М.Б., Жусипназаров Р.М. О существовании и дифференциальных свойствах решений одного класса сингулярных гиперболических уравнений в  // Евразийский математический журнал. Астана, №1 2008г., -С.65-86.

32 Муратбеков М.Б., Жусипназаров Р.М. О существовании и дифференциальных свойствах решений одного класса сингулярных дифференциальных уравнений гиперболического типа плоскости // Математический журнал. Алматы, №4 2008. -С.59-67.