Курсовая работа: Вычисление отсчетов Теоремы Котельникова

                                                 СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение…………………………………………………………………………………………………..2

1 Теоретическая часть……………………………………………………………………………….4

          1.1 Виды сигналов. Приоритеты использования дискретных сигналов……………………………………………………………………………………………………4

1.2 Дискретизация непрерывных сигналов по В.А.Котельникову………6

1.2.1 Непрерывные сигналы………………………………………………6

1.2.2 Сигналы с дискретным временем………………………………….8

1.2.3 Теорема Котельникова………………………………………………9

1.3 Восстановление дискретизированных сигналов……………………11

1.3.1 Интерполяция……………………………………………………….14

1.4 Погрешности, возникающие при дискретизации, квантовании и воспроизведении непрерывных сигналов…………………………………………………..19

1.4.1 Оценка ошибок квантования……………………………………….20

2 Расчетная часть………………………………………………………………………………………22

          2.1 Определение интервала дискретизации непрерывного сигнала по В.А Котельникову……………………………………………………………………………………………22

          2.2 Вычисление отсчетов Котельникова и построение по ним графика сигнала……………………………………………………………………………………………………..23

          2.3 Вычисление погрешности воспроизведения заданного сигнала в момент времени tx, возникающей за счет дискретизации по времени и восстановление его по отсчетам Котельникова в дискретизаторе (ФНЧ)………………………………..……………………………………………………23

          2.4 Модулирование сигнала……………………………………………………………..26

          2.4.1 Частотная модуляция……………………………………………………………….26

Заключение……………………………………………………………………………………………….33

Список использованной литературы………………………………………………………….34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      ВВЕДЕНИЕ

 

  К важнейшим достижениям человеческой цивилизации в XX столетии относится создание предпосылки становления в XXI веке Информационного общества. Одной из ключевых фигур в этом процессе является выдающийся отечественный ученый акад. В. А. Котельников, который живет, говоря словами другого выдающегося ученого – акад. А. Н. Колмогорова, «всегда руководствуясь тезисом, что истина – благо, что наш долг – ее находить и отстаивать».

   Одним из фундаментальных результатов теории связи является доказанная В. А. Котельниковым в 1933 г. теорема отсчетов, согласно которой сообщение, представляющее собой функцию с ограниченным спектром, может быть однозначно представлено своими значениями, взятыми через равные промежутки времени. Опубликованная в Трудах конференции, эта теорема была через 15 лет вновь открыта К. Шенноном. Важнейшей операцией над аналоговым сообщением, которое должно быть передано по цифровым системам связи, является его представление своими отсчетами. Цифровые системы связи в конце XX столетия пришли на смену аналоговым и приобрели, в силу своих огромных преимуществ, глобальный характер. Современное оборудование различного назначения (устройства связи, измерительная техника и т. п.), в котором осуществляется обработка и преобразование сигналов, в настоящее время является цифровым и содержит узлы, осуществляющие взятие отсчетов сигналов, поступающих на вход соответствующих устройств. Связь в широком смысле представляет собой передачу различного вида сообщений из одного или нескольких пунктов в другой или в ряд других пунктов. Сообщения содержат некоторые сведения (информацию), которые для разных получателей могут представлять различную ценность в зависимости от их смыслового содержания. Средств связи является только передача сообщений в определенное место, поскольку оценка смыслового содержания полученных сообщений — дело самого получателя.

       Теория и техника передачи информации складывались в течение многих лет и в настоящее время продолжают быстро развиваться. Это развитие происходит в условиях усиливающегося взаимодействия между различными областями науки и техники (радиотехники, физики, вычислительной техники, автоматики и т.д.). Такой процесс, являющийся объективным проявлением особенностей современной научно-технической революции, приводит к ломке многих традиций в инженерном мышлении, способствует развитию системного подхода к решению задач, относящихся к проблеме передачи информации.

       Современные системы передачи информации — весьма сложные устройства, и их создания связано с большими затратами средств. Поэтому при проектировании систем нужно учитывать перспективы развития техники связи и предусматривать возможность использования таких систем не только автономно. Но и в составе сложных информационных комплексов. Сетей связи и т.п.

       Усложнение и совершенствования систем связи и расширение областей их применения заставляют уделять большое внимание вопросам стандартизации и унификации параметров систем не только в пределах одной страны, но и в международном масштабе.

     Неиссякаемая созидательная энергия В. А. Котельникова, его научные идеи дали начало потоку новых научных разработок других ученых – его последователей. Число ученых, исследования которых были инициированы научными идеями В. А. Котельникова, весьма значительно. Эти идеи привлекали ученых не только возможностью получения новых результатов, имеющих важное прикладное значение, но еще и тем, что А. Эйнштейн называл «музыкальностью мысли» или «внутренним совершенством» теории.       Благодаря В. А. Котельникову, открывшему новые направления в науке, были созданы предпосылки для становления на Земле в XXI столетии Информационного общества, перед учеными открылись новые горизонты, а в мире прибавилось гармонии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.   ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

1.1 Виды сигналов. Приоритеты использования дискретных сигналов.

 

        Сигнал – это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией.

       Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы:

 

 

 

 

 

Рис. 1.1. Сигналы, произвольные по величине и по времени (а), произвольные по величине и дискретные по времени (б), квантованные по величине и непрерывные по времени (в), квантованные по величине и дискретные по времени (г).

 

              Аналоговые сигналы (сигналы, произвольные по величине и непрерывные по времени, рис. 1.1-а) описываются непрерывной во времени функцией , которая может принимать любые значения в определенном интервале. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы непрерывности, то чтобы избежать некорректности при описании, лучше эти сигналы обозначать термином континуальный сигнал.

              Дискретные сигналы (сигналы, произвольные по величине и дискретные по времени, 1.1-б), представляют собой последовательности или отсчеты функции , взятые в определенные дискретные моменты времени nT. Таким образом, термин «дискретный» характеризует не сам сигнал, а способ задания его на временной оси.

              Из рис. 1.1, в видно, что сигнал задан на всей временной оси, однако величина сигнала может принимать лишь дискретные значения. В подобных случаях говорят о сигнале, квантованном по уровню (сигналы, квантованные по величине и непрерывные по времени, рис. 1.1-в).

               Квантование используют при представлении сигналов в цифровой форме с помощью цифрового кодирования, поскольку уровни можно пронумеровать числами с конечным числом разрядов. Поэтому дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал (сигналы, квантованные по величине и дискретные по времени, рис. 1.1-г) в дальнейшем часто будет называться цифровым сигналом.

       Таким образом, можно различать континуальные (рис. 1.1-а), дискретные (рис. 1.1-б). Квантованные (рис. 1.1-в) и цифровые (рис. 1.1-г) сигналы.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   1.2 Дискретизация непрерывных сигналов по В.А.Котельникову.                 

     При передаче непрерывных сообщений по системам связи c использованием импульсной модуляции или кодирования возникает необходимость дискретизации сообщений по времени. В последнее время необходимость дискретизации непрерывных сигналов объясняется развитием методов квантования, дискретного анализа формы сигналов, развитием цифровой и вычислительной техники.

Сущность дискретизации заключается в том, что непрерывность во времени функции s(t) заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитуды которых (координаты) ск в общем случае определяются с помощью

дискретных весовых функций x_к(t) .

     Воспроизведение непрерывной функции по ее дискретным координатам производится с помощью системы базисных функций  Иногда весовые и базисные функции принимают одинаковыми  Ввиду сложности определения координатных функций более широкое распространение получили методы дискретизации, при которых сигнал s(t) заменяется совокупностью его мгновенных значений , называемых выборками, или отсчетами. Роль весовых функций в этом случае играют d-функции , Dt — шаг дискретизации (может быть неравномерным). . Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы было возможно восстановление непрерывной функции по ее отсчетам с допустимой точностью.

                            1.2.1 Непрерывные сигналы.

 

       Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.1.3-а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.1.2, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.

Рис. 1.2. График реализации телеграфного сигнала.

а)

б)

в)

г)
Рис. 1.3.

 Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени (импульсный) сигнал; в – дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г – ошибка квантования

             1.2.2  Сигналы с дискретным временем.

       Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени.         Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.1.3. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt…; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.1.3-а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.1.3-б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом uΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Dt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.1.3-б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т.е., значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала uΔ(t) иногда называют непрерывными величинами.

.

         

                     1.2.3  Теорема Котельникова.

       Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать: можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных; можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным. Ответы на эти вопросы дает доказанная в 1933 г. советским ученым В.А.Котельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал u(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем fв герц, то сигнал u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2fв) секунд.

       Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.1.3-а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала u(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой fв. Если интервал дискретизации Δt<2 fв, то в теореме утверждается, что по значениям u(Δt), u(2Δt), u(3Δt),… можно определить точное значение сигнала u(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой wв<=wΔ/2 можно представить рядом

, (1.1)

где u(nΔt), n=…-1, 0, +1,… — отсчеты мгновенных значений сигнала и(t), wΔ = 2¶fΔ , fΔ=ЅΔt – частота дискретизации по времени.

       Ряд 2 имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала u(t) в момент времени t необходимо знать значения всех отсчетов и(nΔt), n=…-1, 0, +1, … как до, так и после указанного момента t. Точное равенство в (1.1) достигается, только когда учитываются все слагаемые; если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части (1.1), то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала u(t).

       Представление сигнала u(t) рядом (1.1) иллюстрируется с помощью рис.1.4, на котором изображены временные диаграммы сигнала u(t) и трех слагаемых ряда (1.1).

Рис.1.4. Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова.

       Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Однако, выбирая шаг дискретизации Δt достаточно малый, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота fв = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fΔ і 6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным. Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигнала. Если же принять fΔ<6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             1.3Восстановление дискретизированных сигналов.

        При наличии выборочных значений  непрерывного сигнала s(t) и достаточно малом значении интервала дискретизации  можно с заданной точностью произвести восстановление исходного непрерывного сигнала. Однако при этом предполагается, что процесс восстановления должен заключаться в синтезе ряда Котельникова, а ошибки восстановления связываются либо с ограниченностью числа членов, либо с нарушением условия финитности спектра сигнала. В то же время следует иметь в виду, что аппаратурная реализация такого метода восстановления весьма затруднительна.

 Часто в качестве модели идеального устройства восстановления дискретизированных сигналов рассматривают фильтр низких частот с функцией передачи  вида

         (1.2)

Импульсный отклик такого фильтра, совпадающий с преобразованием Фурье функции передачи, имеет вид:

 

(1.3)

 

           При этом,  а импульсный отклик y(t) по определению есть реакция линейного фильтра на воздействие в форме -функции, то, представив дискретизированный сигнал в виде последовательности взвешенных -функций  получим на выходе фильтра (1.2) исходный сигнал s(t).

Однако практическое использование такого метода восстановления, строго говоря, невозможно как вследствие невозможности аппаратурной реализации последовательности -функций, так и в связи с тем, что фильтр (1.2) является типичным примером физически нереализуемой системы.

На практике в процессе дискретизации непрерывный сигнал обычно преобразуется в последовательность импульсов, амплитуды которых соответствуют выборочным значениям дискретизируемого исходного сигнала, т.е. осуществляется амплитудно-импульсная модуляция (АИМ). Такая АИМ-последовательность импульсов может быть представлена в виде:

 

     (1.4)

 

где  — одиночный импульс, длительность  которого удовлетворяет соотношению

С целью нахождения метода восстановления исходного сигнала вычислим спектр  последовательности (1.4). Имеем:

 

 

                       (1.5)

 

где — спектр одиночного импульса . Поскольку,  

 

 

то получаем:

 

 

откуда находим:

 

     (1.6)

На рис 1.5-а,б условно изображен вид функции  и , в случае финитного спектра  при значении  Здесь же пунктиром условно показаны соответственно функции s(t) и .

 

 

Как следует из (1.6) и рис. 1.5, в спектре  содержится составляющая  (заштрихована на рис. 1.5-б), которая при достаточно малой длительности импульса , когда спектр  в области  меняется незначительно, практически соответствует (с точностью до постоянного множителя) спектру  исходного непрерывного сигнала s(t). Следовательно, для восстановления исходного сигнала достаточно пропустить последовательность  через фильтр низких частот с функцией передачи (1.2), подавляющей все побочные составляющие спектра  в (1.6), соответствующие значениям  При этом как следует из рис. 1.3-б полное подавление побочных сигналов (безошибочное восстановление сигнала) возможно лишь в случае, когда составляющие спектра  в (1.6), соответствующие соседним значениям индекса k, не перекрываются на оси частот, так что заштрихованная на рис. 1.5-б  часть спектра может быть выделена в «чистом» виде. Последнее имеет место лишь при выполнении условия  или  что, как и следовало ожидать, полностью соответствует теореме Котельникова.

Однако, как уже отмечалось, фильтр вида (1.2) физически нереализуем. Функция передачи  реального восстанавливающего фильтра отличается от (1.2) как некоторой неравномерностью в полосе , так и неполным давлением побочных составляющих спектра дискретизированного сигнала в полосе , что приводит к дополнительному отличию восстановленного сигнала s_в(t) от исходного s(t).

                         1.3.1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

        Рассмотрим задачу интерполяции непрерывного сигнала, заданного произвольной выборкой своих измерений. В этой формулировке задача интерполяции является более содержательной и полезной. Что же касается задачи преобразования выборки сигнала с некоторой частотой дискретизации в выборку сигнала с более высокой частотой дискретизации, то заметим, что непрерывный сигнал можно рассматривать как выборку сигнала с бесконечно большой частотой дискретизации. Поэтому, произвольную выборку сигнала можно получить как простую децимацию непрерывной интерполяции сигнала.

Пусть — непрерывный сигнал. Введем следующие обозначения:

— выборка моментов времени измерения сигнала,

— выборка значений координаты сигнала в моменты времени измерения, то есть

.

Разделим выборку измерений сигнала на группы по М последовательных элементов выборки в каждой группе и представим индекс n, характеризующий элемент выборки измерений сигнала , в следующем виде:

,

(1.7)

где — номер группы, — номер позиции соответствующего элемента выборки измерений сигнала в этой группе.

Пусть номер позиции принимает одно из следующих значений: , тогда группа, описываемая номером , включает выборочные значения сигнала на интервале , исключая правую граничную точку интервала. Следующая группа, описываемая номером () включает выборочные значения сигнала на интервале и так далее до крайних значений выборки сигнала.

Обозначим через — некоторую колоколо-образную функцию (окно), выделяющую сегмент сигнала соответствующего группе на исследуемом интервале времени Т. Например, прямоугольное окно, которое соответствует индикаторной функции сегмента сигнала, можно записать в виде

где

,

— функция Хэвисайда, — дополнительная функция Хэвисайда.

При разделении сигнала на сегменты должно выполняться условие целостности сигнала, т.е.

,

из которого следует, что

.

(1.8)

Систему окон, удовлетворяющую условию (1.8), будем называть целостной.

Инфинитную интерполяционную формулу [1] для сигнала x(t) можно записать в виде

,

(1.9)

где — сегментная интерполяционная функция.

В качестве сегментной интерполяционной функции обычно используют линейную функцию по параметрам

(1.10)

где заданное семейство базисных функций. Параметры = определяют из условия равенства сегментной интерполяционной функции выборочным значениям сигнала в узлах интерполяции, т.е.

(1.11)

        В формуле (1.11) число параметров M* сегментной интерполяционной функции может отличаться от числа измерений М, лежащих на выбранном сегменте сигнала. Если M*>M, то для определения значений параметров сегментной интерполяционной функции можно использовать измерения сигнала, принадлежащие соседним сегментам интерполяции. В этом случае инфинитная интерполяционная функция (1.9) будет непрерывной функцией не только внутри, но и на границах сегментов сигнала.

Пусть M* = М + v , где v > 0 . Матрица системы уравнений (1.11) имеет вид

(1.12)

        Для однозначного вычисления значений параметров сегментной интерполяционной функции необходимо, чтобы определитель матрицы (1.12) был отличен от нуля. В этом случае значения параметров можно найти по формуле

,

где — определитель матрицы (1.12), — определитель , в котором элементы m-го столбца заменены столбцом .

        Cегментную интерполяционную функцию теперь можно переписать в виде

.

(1.13)

Если определитель разложить по элементам m-го столбца

,

где — соответствующее алгебраическое дополнение, и подставить в (1.13), получим выражение для инфинитной интерполяционной функции (1.14) непосредственно через заданные значения измерений координаты сигнала, т.е.

(1.14)

где функция

удовлетворяет условию

,

— символ Кронеккера.

        В качестве сегментной интерполяционной функции часто используют степенные многочлены

,

для которых инфинитная интерполяционная формула (1.14) имеет вид

(1.15)

Формула (1.15) представляет инфинитную интерполяционную формулу Лагранжа, которая строится по М выборочным значениям сигнала, принадлежащим текущему сегменту, и v+1 выборочному значению сигнала, принадлежащему соседнему или соседним сегментам.

Интерполяционная формула (1.15) асимптотически соответствует формуле Котельникова для равномерной выборки сигнала. Действительно, интерполяционную формулу Лагранжа для инфинитного сегмента сигнала можно записать в виде

.

(1.16)

        В случае равномерной выборки , где T — интервал между измерениями или шаг дискретизации сигнала. Введем переменную и подставим в (1.16). Выражение под знаком произведения можно привести к виду

.

Учитывая, что , интерполяционную формулу Лагранжа для инфинитного сегмента сигнала в случае равномерной выборки измерений с шагом Т можно представить в виде

.

(1.17)

Выражение (1.16) совпадает с формулой Котельникова.

        Преобразование выборки сигнала заданной частоты дискретизации к более высокой частоте описывается формулами (3.10), в которых вместо непрерывного времени (t) следует подставить соответствующую выборку моментов времени измерений сигнала. Заметим, что на практике обычно используются кусочно-постоянная или кусочно-линейная интерполяции выборочных значений сигнала (3.14), ввиду их простой реализации.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Погрешности, возникающие при дискретизации, квантовании и воспроизведении непрерывных сигналов.

 

   Никакое достижение в науке и технике не дается даром; так обстоит дело в вопросе дискретизации непрерывных сигналов. Преимущества дискретизации рассмотрены выше, о недостатках там не было сказано ни слова. Обратимся к этому.

          Указанные преимущества достигаются следующей ценой: вносятся дополнительные погрешности при передаче сообщения; они возникают на этапах дискретизации по времени, квантования, но уровню и при прохождении импульсов – отсчетов через ФНЧ на выходе приемника.

          Этих погрешностей не было бы только при следующих обстоятельствах: бесконечно малая ширина импульсов В.А. Котельникова при бесконечно большом их количестве; шаг квантования (интервал между соседними уровнями квантования) равен бесконечно малой величине, число уровней неограниченно велико; ФНЧ (дедискретизатор)  — идеальный. Но эти обстоятельства отсутствуют в реальной системе связи и никогда не могут быть осуществлены. А, значит, указанные погрешности необратимы.

          Численное определений их для реальных условий и систем не представляет сложную задачу. Дело в том, что отличие выходного сигнала Uн(t) от входного Uн(t) есть функция многих переменных: многочисленных искажений, вносимых собственно каналом связи, и большого количества помех (внутренних и внешних). Для определения изменения выходного сигнала ΔUн(t) только за счет рассматриваемых (трех) погрешностей необходимо было бы исключить все искажения и помехи (что невозможно осуществить). В этом случае общая погрешность равнялась бы

 

ε₀(t)=f[ε_Д(t),ε_к(t),ε_фнч(t)]                                                          (1.18)

 

где ε_Д(t) – искажения сигнала за счет дискретизации по времени;

ε_к(t) – погрешность, вносимая квантованием по уровню;

ε_фнч(t) – искажения, обусловленные неидеальностью ФНЧ на выходе приемника (дедискретизатора).

          При конкретных условиях и детерминированном сигнале анализируемые погрешности поддаются расчету.

          Так, погрешность за счет дедискретизации по времени определяется следующим образом:

                                                                       (1.19)

 

Где Uн(tx) – истинное значение сигнала в точке tx оси времени.

Uд(tx) – значение сигнала в указанной точке, найденное с помощью вида Котельникова.

          Суммарная погрешность за счет дискретизации по времени и квантования по уровню определяется по той же формуле, но при нахождении Uд(tx) амплитуды импульсов U(kΔt), входящих в ряд (2), стоит брать не истинные, а округленные до ближайшего уровня квантования.

          Для определения погрешности, вносимой дедискретизатором (ФНЧ), можно поступить следующим образом: найти его по выражению

ε_ФНЧ(t)=1/t_с∫[U_ФНЧ(t) – U_н(t)]dt                      (1.20)

Где Uн(t) – детерминированный сигнал на входе канала связи, Uфнч(t) – временное изображения сигнала, прощедшего через реальный ФНЧ.

 

                    1.4.1 Оценка ошибок квантования

        Будем рассматривать квантование с равномерным шагом Dx=const, т.е. равномерное квантование. В процессе квантования неизбежно возникает ошибка квантования e.           Последовательность ошибок квантования e(k×Dt), возникающая при квантовании процесса с дискретным временем, называется шумом квантования. Обычно шум квантования предполагают стационарным эргодическим случайным процессом.
        Чаще всего интерес представляют максимальное значение ошибки квантования, ее среднее значение e, равное математическому ожиданию шума и среднеквадратическое отклонение s_e, равное квадратному корню из дисперсии шума (она характеризует мощность шума квантования). Все эти величины зависят от способа округления, применяемого при квантовании, кроме того и s_e зависят от закона распределения w(e) мгновенных значений сигнала в пределах шага квантования.
        Считая шаг квантования Dx малым по сравнению с диапазоном изменения сигнала, плотность w(x) в пределах этого шага можно принять равномерной, т.е. .
        Различают квантование с округлением, с усечением и с усечением модуля.
При квантовании с округлением истинному значению отсчета приписывает ближайший разрешенный уровень квантования независимо от того, находится он сверху или снизу. Очевидно, что при этом

emax=0.5×Dx;

(1.21)

        Квантование с округлением требует определенной сложности в реализации. Проще выполняется квантование с усечением, при котором истинному значению отсчета приписывается ближайший нижний уровень. При этом

emax=Dx;

т.е. максимальное значение погрешности в 2 раза больше, а , что приводит к накоплению погрешности квантования при дальнейшей обработке квантованной последовательности.
        Промежуточное положение по точности и сложности реализации занимает квантование с усечением модуля, которое для положительных отсчетов является таким же, как и квантование с усечением. Отрицательным отсчетам приписывается ближайший верхний уровень. При этом то есть накопление погрешностей не происходит, но в 2 раза увеличивается максимальная погрешность, и в 2 раза — мощность шума квантования . Выбирая достаточно большее число уровней квантования N, шаг квантования.
, а следовательно и все рассмотренные погрешности можно сделать необходимо малыми. При неравномерном законе распределения мгновенных значений сигнала квантования с постоянным шагом не является оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки . Квантуя участки с менее вероятными значениями сигнала с большим шагом значение можно уменьшить, при этом же количестве уровней квантования.

 

 

 

 

 

2.                               РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

 

Дано: задан сигнал U_н(t_i)=(1-cosωt_i)e^—ati

 

 

 

F=6 Гц	а=2	Fв= 23 Гц	Тс=0,5 с
Δt=1/2*Fв=1/2*23=	0.021739 с	K=T/Δt=0,5/0,021739=23	w=2*пF=2*3,14*6=37,68Гц

 

Wв=2пFв=2*3,14*23=	144,44 Гц

 

 

2.1 Определение интервала дискретизации  Δt непрерывного сигнала Uн(t) по теореме Котельникова.

 

 

Таблица  № 2.1    Вычисление отсчетов В.А.Котельникова,и построение по ним графика сигнала.  U_н (t_i) = (1-cos t_i) e ^–at.

 

 

 

Порядок отсчета K	Время  отсчета ti=K*∆t	coswt	1-coswt	exp(-at)	Uн(ti) 0
1	0,021739	0,682860319	0,31713968	0,957454	0,303646535
2	0,043478	-0,06740357	1,06740357	0,916717	0,978507458
3	0,065217	-0,774914766	1,77491477	0,877714	1,557868284
4	0,086956	-0,990913517	1,99091352	0,840371	1,673105679
5	0,108695	-0,578396275	1,57839628	0,804616	1,270003068
6	0,130434	0,200985788	0,79901421	0,770383	0,615546649
7	0,152173	0,852886713	0,14711329	0,737606	0,108511586
8	0,173912	0,963819198	0,0361808	0,706223	0,02555172
9	0,195651	0,463421056	0,53657894	0,676176	0,362821761
10	0,21739	-0,330915497	1,3309155	0,647407	0,861644117
11	0,239129	-0,915359181	1,91535918	0,619862	1,187258855
12	0,260868	-0,919209426	1,91920943	0,593489	1,139030366
13	0,282607	-0,340024103	1,3400241	0,568239	0,761453327
14	0,304346	0,454831492	0,54516851	0,544062	0,296605489
15	0,326085	0,961196858	0,03880314	0,520914	0,020213107
16	0,347824	0,857894894	0,14210511	0,498751	0,070875086
17	0,369563	0,210447903	0,7895521	0,477531	0,377035678
18	0,391302	-0,570481849	1,57048185	0,457214	0,718046092
19	0,413041	-0,989566738	1,98956674	0,437761	0,870954881
20	0,43478	-0,780989867	1,78098987	0,419136	0,746476842
21	0,456519	-0,077047241	1,07704724	0,401303	0,432222516
22	0,478258	0,675764859	0,32423514	0,384229	0,124580612
23	0,499997	0,999953256	4,6744E-05	0,367882	1,71963E-05

 

Uн=

 

 

 

 

 

 

                         График непрерывного сигнала U_н (t_i) = (1-cos t_i) e ^–at.

 

 

2.3 Вычисление погрешности воспроизведения заданного сигнала в момент времени tx, возникающей за счет дискретизации Uн(t) по времени и восстановления его по отсчетам  В.А Котельникова в дедискретизаторе (ФНЧ).

 

 

 Таблица № 2.2 Приближенное значение сигнала в указанной точке, определяемое по В.А.Котельникова.

 

ti=K*∆ti	Uн(ti)	tx-K*∆ti	w(tx-K*∆ti)	sinw(tx-K*∆ti)	sinw(tx-K*∆ti)	Uн(ti)*sinw(tx-K*∆ti)
					w(tx-K*∆ti)	w(tx-K*∆ti)
0,021739	0,303646535	0,108696	15,70005024	0,007913	0,000504	0
0,043478	0,978507458	0,086957	12,56006908	-0,0063	-0,0005	-0,00049
0,065217	1,557868284	0,065218	9,42008792	0,00469	0,000498	0,000776
0,086956	1,673105679	0,043479	6,28010676	-0,00308	-0,00049	-0,00082
0,108695	1,270003068	0,02174	3,1401256	0,001467	0,000467	0,000593
0,130434	0,615546649	1E-06	0,00014444	0,000144	1	0,615547
0,152173	0,108511586	-0,02174	-3,13983672	-0,00176	0,000559	6,07E-05
0,173912	0,02555172	-0,04348	-6,27981788	0,003367	-0,00054	-1,4E-05
0,195651	0,362821761	-0,06522	-9,41979904	-0,00498	0,000529	0,000192
0,21739	0,861644117	-0,08696	-12,5597802	0,00659	-0,00052	-0,00045
0,239129	1,187258855	-0,10869	-15,69976136	-0,0082	0,000522	0,00062
0,260868	1,139030366	-0,13043	-18,83974252	0,009813	-0,00052	-0,00059
0,282607	0,761453327	-0,15217	-21,97972368	-0,01142	0,00052	0,000396
0,304346	0,296605489	-0,17391	-25,11970484	0,013036	-0,00052	-0,00015
0,326085	0,020213107	-0,19565	-28,259686	-0,01465	0,000518	1,05E-05
0,347824	0,070875086	-0,21739	-31,39966716	0,016259	-0,00052	-3,7E-05
0,369563	0,377035678	-0,23913	-34,53964832	-0,01787	0,000517	0,000195
0,391302	0,718046092	-0,26087	-37,67962948	0,019481	-0,00052	-0,00037
0,413041	0,870954881	-0,28261	-40,81961064	-0,02109	0,000517	0,00045
0,43478	0,746476842	-0,30435	-43,9595918	0,022703	-0,00052	-0,00039
0,456519	0,432222516	-0,32608	-47,09957296	-0,02431	0,000516	0,000223
0,478258	0,124580612	-0,34782	-50,23955412	0,025925	-0,00052	-6,4E-05
0,499997	1,72E-05	-0,36956	-53,37953528	-0,02754	0,000516	8,87E-09

 

 

 

Сумма значений столбца  Uд=Uн(ti)*sinw(tx-N*ti)/ w(tx-N*ti)  равна:

 

∑Uд=	0.615680926 В

 

Погрешность равна:

Eд(tx)=(0.06157-0.615680926)\0.06157=0,003

 

Ед=

0,003

*100%=

0,3%

 

Погрешность вполне приемлема для практики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                  2.4 Модуляция

 

        Модуляция — это изменение параметров переносчиков информации (радио или оптических волн) по заданному закону. Существует три основные вида модуляции: амплитудная (АМ), частотная (ЧМ) и фазовая (ФМ), — каждая из которых имеет большое число вариантов.
        При амплитудной модуляции передаваемая информация управляет амплитудой радиосигнала. Такой вид модуляции получил широкое распространение в радиовещании на диапазонах длинных, средних и коротких волн (2-7 диапазоны) и для эфирного телевидения, работающего в диапазонах метровых и ультракоротких волн (8-й и, частично, 9-й диапазоны). Частотная модуляция (управление частотой несущих колебаний) применяется для высококачественного радиовещания в УКВ диапазоне, в аналоговых радиорелейных и спутниковых линиях связи. Фазовая аналоговая модуляция близка по характеристикам к частотной модуляции. В современных цифровых системах связи применяются сложные виды частотной или фазовой модуляции. При этом цифровые потоки разделяются на несколько параллельных ветвей, в каждой из которых проводится модуляция. Затем сигналы отдельных ветвей объединяются в общий сигнал, образую композицию, которая называется многоуровневой модуляцией. 4ФМ, 16КАМ, 64КАМ — некоторые примеры многоуровневой модуляции, позволяющие значительно сузить полосы частот, занимаемые передаваемым сигналом. С целью повышения помехоустойчивости цифровых систем разработаны кодированные виды многоуровневой модуляции (32BCM, 128TCM и пр.).
    В приемной частях систем связи устанавливаются соответствующие демодуляторы, проводящие операции, обратные модуляции.

 

                               2.4.1 Частотная модуляция

 

        В методе частотной модуляции (ЧМ) амплитуда модулирующего сигнала управляет мгновенной частотой несущей. Идеальная ЧМ не вносит изменений в амплитуду несущей. Следовательно, форма напряжения модулированной несущей может быть выражена в виде:

 

     е_чм=А_нcos[w_нt+d×sin(w_мt)]                          (2.1)                                                     

 

где w_н и w_м — соответственно несущая частота и частота модуля­ции, а d — индекс модуляции. Частоты модулированного колеба­ния могут быть получены из выражения cos[w_нt+d×sin(w_мt)] с ис­пользованием тригонометрических формул и специальных таблиц (функции Бесселя)..

Индекс модуляции d определяется как Dw_н/w_м=Df_н/f_м — от­ношение максимальной девиации частоты (за один период модули­рующего сигнала) к частоте модуляции. Детальный анализ частот­ной модуляции сложен. Рассмотрим на примерах основные черты этого метода. Будем предпо­лагать наличие одиночной частоты модуляции w_м (е_м=А_мsin(w_мt)).

Девиация частоты Dw_н прямо пропорциональна мгновенному значению модулирующего сигнала е_м=А_мsin(w_мt). Таким образом, Dw_н можно выразить через е_м:

Dw_н=k_fА_мsin(w_нt)                                                                                                    (2.2)

 

где k_f — коэффициент пропорциональности, аналогичный по сво­ему характеру чувствительности; он дает девиацию частоты на 1 В (Dw/В). Следовательно, при w_нt=90° (sin(w_нt)=1) Dw_н=k_fА_м — максимальная девиация частоты синусоидального модулирующего сигнала. Например, если sin(w_нt)=0,5, k_f=2p×1000 (рад/с)/В=1000 Гц/В и А_м=10В, то мы получаем Dw_н=2p×1000×10×0,5=2p×5000 рад/с, т. е. девиацию частоты несущей 5 кГц. Максималь­ное значение Df_н при этих условиях (sin(w_нt)=1) будет составлять 10 кГц. Отметим, что, так как sin(w_нt ) может быть равным +1 или -1, то Df_{н макс}±10 кГц. Если задано значение f_м, то можно вычис­лить индекс модуляции d. Для f_м=2000d=10000/2000 (Df_н/f_м ); таким образом, d=5. Индекс модуляции должен быть всегда воз­можно большим, чтобы получить свободное от шумов верное воспро­изведение модулирующего сигнала. Девиация частоты Df_н  в ЧМ-радиовещании ограничена величиной до +75 кГц. Это приводит к значению d=75/15=5 для звукового модулирующего сигнала с максимальной частотой 15 кГц.

Исследуя изменения частоты несущей с ЧМ, есть соблазн прийти к выводу о том, что ширина полосы, необходимой для ЧМ-передачи, составляет ±Dw_н,  или 2Dw_н, так как несущая меняется по частоте в пределах ±Dw_н, т. е. w_чмàw_н±Dw_н.Этот вывод, однако, полностью ошибочен. Может быть показано, что ЧМ-колебания состоят из несущей и боковых полос аналогично AM с одним лишь существенным различием: при ЧМ существует множество боковых полос. Амплитуды боковых полос связаны весьма сложным образом с индексом модуляции. Отметим, что частоты боковых по­лос связаны лишь с частотой модулирующего сигнала w_м, а не с девиацией частоты Dw_н. Для предыдущего примера, когда d=5 и w_м=15 кГц (максимум), мы получаем семь пар полос (w_н±w_м, w_н±2w_м, w_н±3w_м, и т.д.) с изменяющимися амплитуда­ми, но превышающими значение 0,04А_н. Все другие пары за пре­делами w_н±7w_м имеют амплитуды ниже уровня 0,02А_н.

Первая пара боковых полос может быть описана как 0,33А×[sin(w_н+w_м)t+sin(w_н-w_м)t] имеет амплитуду 0,33 А_н; вторая пара — w_н±2w_м — имеет амплитуду 0,047А_н. Отметим, что амплитуды различных боковых полос не являются монотонно убывающими по мере того, как их частоты все более и более удаляются от w_н. Фактически в приведенном примере с d=5 наибольшей пo амплитуде (0,4 А_н) является четвертая пара боковых полос. Амп­литуды различных боковых полос получены из специальных таблиц, описывающих эти полосы для различных значений d. Очевидно, что ширина полосы, необходимая для передачи семи пар боковых полос, составляет ±7×15 кГц, или 14×15 кГц= 210 кГц (для f_м=15 кГц). На этом же основании ширина полосы, необходимая для d=10 (Dw_н/w_м=10), равна 26f_м; 13 боковых полос в этом случае составят 26×15=390 кГц. Таким образом, частотная модуляция требует значительной ширины полосы частот и, как следствие, ис­пользуется только при несущих с частотами 100 МГц и выше.

Рисунок 2.1  Боковые полосы ЧМ.

w_н-несущая частота; w_м-частота модуляции.

 

Частотно-модулированная связь гораздо менее чувствительна к помехам. Шумы, попадающие в ЧМ-сигнал, будь то атмосферные возмущения (статические), тепловые шумы в лампах и сопротивле­ниях или любые другие шумы, имеют меньшую возможность влиять на прием, чем в случае AM. Основной причиной этого является по­просту тот факт, что большинство шумов амплитудно модулируют несущую. Делая приемник нечувствительным к изменениям амплиту­ды, практически устраняем эту нежелательную модуляцию. Вос­становление информационного сигнала из ЧМ-волны связано лишь с частотным детектированием, при котором выходной сигнал зависит лишь от изменений частоты ЧМ-сигнала, а не от его амплитуды. Большинство приемников содержит усилитель-ограничитель, который поддерживает постоянную амплитуду ЧМ-колебаний, устраняя тем самым любой АМ-сигнал.

Существуют различные методы ЧМ-детектирования и селекции. В основе большинства методов лежит использование наклона час­тотной характеристики резонансного контура (рис. 2.1). Амплитуда отклика изменяется с частотой. Для w_н+Dw_н получаем амплиту­ду А₁, для w_н-Dw_н — амплитуду А_2, а для частот между

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.2 Принцип использования резонансного контура в качестве частот­ного детектора.

w_н+Dw_н и w_н-Dw_н имеем все промежуточные амплитуды меж­ду А₁ и А₂. Выходной сигнал соответствует девиации частоты вход­ного сигнала (хотя и не совсем линейно в простом резонансном кон­туре) и тем самым воспроизводит первоначальный модулирующий сигнал.

Цепь фазовой автоподстройки (ФАП), вскоре стала одним из наиболее распространенных средств ЧМ-детектировапия, особенно применительно к импульсным моду­лирующим сигналам. Некоторые схемы ФАП снабжены логическими выходными схемами, согласованными с соответствую­щими входными сигналами импульсной формы.

Как отмечалось ранее, ЧМ — лишь один тип угловой модуля­ции. Другим является фазовая модуляция. Эта модуляция очень похожа на ЧМ. При фазовой модуляции мгновенная фаза несущей из­меняется пропорционально мгновенной амплитуде модулирующе­го сигнала. Это приводит к изменению несущей частоты w_н, как вид­но из уравнения

 

w_фаз=w_н+k_фw_мА_мsin(w_мt)                                                                                         (2.3)

 

где k_ф, — коэффициент пропорциональности, измеряемый в едини­цах рад/В. Фазовая и частотная модуляция часто используются в одной системе модуляции, так как прием и детектирование обеих идентичны.

Функциональные схемы передатчика и приемника с ЧМ почти те же, что и для AM. Ширина полосы частот ЧМ существенно шире, а несущая частота значительно выше (100 МГц и более). Более широ­кая полоса частот приводит к более верному воспроизведению вход­ных звуковых сигналов, так что звуки с частотами выше 5 кГц должны передаваться системами ЧМ. В приемниках с частотной мо­дуляцией иногда используется двойное гетеродинирование с двумя промежуточными частотами — 5 МГц и 455 кГц.

 

 

 

Заключение

 

 

В данной курсовой работе исследовали влияние дискретизации на непрерывный сигнал, определяли интервал дискретизации  Δt непрерывного сигнала Uн(t) по теореме Котельникова. Так же вычисляли отсчеты Котельникова и строили график сигнала Uн(ti), вычисляли погрешность                                      (которая равна 0,3%) воспроизведения  заданного сигнала в момент времени tx, возникающей за счет дискретизации сигнала по времени и восстанавливали его по отчетам В.А. Котельникова в дедискретизатрое (ФНЧ).

Исследовав возможность дискретизации, мы поняли, что непрерывный сигнал, представляемый функцией времени и не имеющий частотных составляющих выше некоторой частоты fв, определяется своими отсчетами (отсчеты Котельникова), взятыми через интервал времени Δt, равный Δt=1/2fв.

          Данная теорема обосновывает возможность передачи непрерывного сигнала по дискретному каналу и восстановление его формы на приеме и обеспечивает временное уплотнение трактов электросвязи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                Список использованной литературы

 

1. В.А. Гуров « Методическое руководство к курсовой работе по «теоретическим основам транспортной связи». Алма-Ата 1991.

 

2. М.Я. Каллер, А.Ф.Фомин «Теоретические основы транспортной связи», Москва 1989.

 

3. В.А. Никитин «Книга начинающего радиолюбителя», Москва 1990.

 

4. И.С. Гоноровский «Радиотехнические цепи и сигналы», Москва 1977.

 

5. П.И. Пеннин, Л.И. Филиппов «Радиотехничесие системы передачи информации», Москва 1984.

 

6. Программное обеспечение «Microsoft Excel».

 

7. Программное обеспечение «Microsoft Word».