Реферат. Пирамида

Пирамида Пирамидой  называется  многогранник,  который  состоит  из  плоского  многоугольника  — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,—  вершины  пирамиды  и  всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.  Отрезки,  соединяющие  вершину  пирамиды  с  вершинами  основания,  называются  боковыми ребрами.  Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых  граней.  Каждая  боковая  грань  — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей  стороной  – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды  на  плоскость основания.   Пирамида называется n-угольной, если ее  основанием  является  n-угольник.  Треугольная пирамида называется также тетраэдром.   У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание —  многоугольник  А1А2  …An,  вершина пирамиды – S, боковые ребра — SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани – (SА1А2, (SА2А3, … .  В дальнейшем мы будем  рассматривать  только  пирамиды  с  выпуклым  многоугольником  в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.

Пирамида АВСDS (или:1-2-3-4-5) задается параллелограммом (через три точки A,B,C (или 1,2,3) в основании и высотой h — проводится от пересечения диагоналей основания. Координаты точек A,B,C, высота пирамиды и сечение выбираются автоматически по вариантам. Если вариант равен 0, то координаты и высоту можно задавать с экрана, отличные от вариантных. Сечение задается автоматически в зависимости от варианта всегда Координаты 4-й точки основания и вершина S пирамиды, при варианте отличных от 0, вычисляются для вариантных. Так, если вариант равен нулю, то можете вводить свои значения, и расчеты будут соответствовать тем, что ввели. Примечание: на аксонометрических проекциях точки изображены не все — издержки памяти. Из-за этого не показано сечение на горизонтальной и профильной плоскостях проекций.

  Построение пирамиды и ее плоских сечений   В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение  пирамиды  строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник.Затем отмечается вершина пирамиды,  которая  соединяется  боковыми  ребрами  с  вершинами основания.  Сечения  пирамиды  плоскостями,  проходящими  через  ее  вершину,  представляют   собой треугольники. В частности, треугольниками являются  диагональные  сечения.  Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.  Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.  Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее  боковых граней с секущей плоскостью.  Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь  точка  А,  принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g  секущей  плоскости  с  плоскостью  этой грани — точка D. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок  этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точкаА лежит на грани, параллельной следу g, то секущая  плоскость  пересекает  эту  грань  по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

 

Сечение пирамиды фронт-проецирующей плоскостью

 

 

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости

1. Проведем прямую CD, CD×g ≡ F, F ғ (SCD)
2. Рассмотрим грань SCD. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрами пирамиды: SD×FE ≡ H и SC×FH ≡ G
3. Проведем прямую AD. Найдем точку пересечения AD со следом g,

AD×g ≡ K

4. Теперь уже в грани SAD появились две точки K и H. Проведем прямую KH, она пересекает ребро SA в точке L: KH×SA ≡ L
5. Проведем прямую AB, найдем пересечение с прямой g:

g×AB ≡ M

6. В грани получились две точки M и L. Получаем прямую ML. Находим пересечение с ребром SB: CB×ML ≡ N
7. Соединим N и G. Сечение GHLN построено (рис. 5).

 

 

 

Усеченная пирамида

 

(*)Теорема:

Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду.

 

Доказательство:

Пусть S – вершина пирамиды, A – вершина основания и A₁ – точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 11). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homothetie греч. homos равный, одинаковый, общий + thetos расположенный) относительно вершины S с коэффициентом гомотетии:

k = SA₁/SA

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, вся пирамида – в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной. Теорема доказана.

 

По теореме (*) плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани – трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.

Например, многогранник ABCDA₁B₁C₁D₁ – усеченная пирамида (рис. 12). Плоский многоугольник ABCDE и сечение A₁B₁C₁D₁ – основания усеченной пирамиды. Трапеции A₁E₁EA, E₁D₁DE, C₁D₁DC, B₁C₁CB, A₁B₁BA – боковые грани. HH₁ – высота. E₁C₁CE – диагональное сечение усеченной пирамиды.

Теорема: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

1. боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
2. Сечение – это многоугольник, подобный основанию;
3. Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины;

Следствие: Площадь сечения параллельного основанию пирамиды – квадратная функция расстояния его плоскости от вершины (или основания) пирамиды.

Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.

 

Правильная усеченная пирамида

 

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды (рис. 13).

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Например, KK₁ – апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO₁ называется осью правильной усеченной пирамиды.

 

Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

 

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида, l – апофема, p и p₁ – периметры оснований.

Доказать: S_бок = ½(p+p₁) ∙l

Доказательство: В правильной усеченной пирамиде все боковые грани – равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a и a₁, ее высота k, тогда S_гр. = ½(a + a₁)∙l, таких граней n,

следовательно, S_бок = n ½ (a + a₁) l = ½ (na + na₁)∙l, т.е. S_бок = ½ (p+p₁)∙l

Теорема доказана.