Жоспар
Кіріспе………………………………………………………………………………………………………..
1 Шамалардың және сандардың қатынасы
- Шамалардың қатынасы, сандардың қатынасы…………………………………………
- Қатынас мүшелерінің қасиеттері, кері қатынастар…………………………………..
2 Бастауыш математика курсында қатынастарды оқыту
- Қатынас ұғымы. Қатынастың қасиеттері……………………………………………….
- Сәйкестік туралы ұғым………………………………………………………………………..
- Бөлінгіштік қатынасы туралы ұғым………………………………………………………
- Геометриялық фигуралар және олардың қатынасы………………………………..
- Математикадан алғашқы ұғым беру……………………………………………………..
Қорытынды…………………………………………………………………………………………………
Әдебиеттер…………………………………………………………………………………………………
КІРІСПЕ
Математикада тек қана обьектілер емес (сан, фигура, шама т.с) олардың арасындағы қатынастар, байланыстар да зерттеледі. Натурал сан ұғымын қалыптастыру — бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды.
Геометрияда түзулердің параллельдік, перпендикулярлық, фигуралардың теңдік, ұқсастық т.с.с. геометриялық обьектілердің арасындағы әр түрлі қатынастарды зерттейді.
Жиындарды салыстырып, олар қиылысады немесе тең, біреуі екіншісіне тиісті, т.с.с. яғни жиындар арасында да қатынастар орнатылады.
Сандардың, геометриялық фигуралардың, жиындардың және басқа да обьектілердің арасындағы белгілі бір қатыстар туралы біле отырып, оларда қандай ортақ қасиет бар екенін, әртүрлі қатыстардың жиынын қалай классификациялауға болатынын қарастырамыз.
Диплом жұмысының зерттеу әдісі
Оқушылардың ғылыми — дүниетанымдық қабілетін қалыптастыру, логикалық ойлау қабілетін дамыту, практикалық дағдылары мен ебедейліктерін дамыту және т.б өзекті мәселелердің ішінде бастауыш сынып оқушылардың қатынас туралы білімін жетілдіру
Диплом жұмысының болжамы
Егер бастауыш сыныпта оқушыларға шамалардың, сандардың қатынасын жетік меңгерте алсақ, онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды және т.б пәндерді оқушылардың жетелей түсінуіне, қазіргі заман талабына сай терең білім алуына ықпал жасайды.
Диплом жұмысының мақсаты
Ой өрісі дамыған, сана сезімі оянған, рухани ойлау дәрежесі биік, математикадан білім деңгейі жоғары, пәнге деген қызығушылығы мол, теориялық білімді терең түсіне алатын оқушыларды тәрбиелеу.
Диплом жұмысының міндеті
Бастауыш мектепте шамалардың, сандардың т.б. қатынасын толық меңгерту арқылы оқушылардың ой — өрісін дамыту мүмкіндіктерін анықтау;
Диплом жұмысының практикалық құндылығы
Бастауыш класта математиқаны оқыту әдістемесін жетілдіруде, бастауыш мұғалімдері мен әдіскерлердің іс — тәжірібесінде қолдануға болады.
І. ШАМАЛАРДЫҢ ЖӘНЕ САНДАРДЫҢ ҚАТЫНАСЫ.
1.1 Шамалардың қатынасы, сандардың қатынасы.
Бір текті екі шаманың қатынасы деп бір шаманың екінші шамадан неше есе артық екендігін немесе ол, осы екінші шаманың қандай бөлігі екендігін көрсететін санды атайды. Мысалы; 4 километрдің 2 километрге қатынасы 2-ге тең, ал 20 сантиметрдің 1 метрге қатынасы 0,2-ге тең.
Бірінші жағдайда қатынас бір текті екі шаманың біреуі (4 км) екіншісінен (2 км-ден) неше есе артық екендігін көрсетеді, ал екінші жағдайда 0,2 қатынасы бірінші шама (20 см) екінші шаманың (1 л/-дің) қандай бөлігі екендігін көрсетеді.
Бұл анықтамаға карағанда бір текті шамалардың қатынасы дерексіз сан екендігі көрінеді.
Әдетте шамалардың орнына олардың сан мәндері алынады. Бұдан қашан болса да шамалардың қатынасының орнына осы шамалардың мәндерін көрсететін сандардың қатынасын алуға болады деп қорытынды шығаруға болады.
Сандардың қатынасы
Сандарды бөлуді қарастырғанымызда біз екі санның қатынасы бір санды екіншісіне бөлгенде шығатын бөлінді екендігін тағайындаған едік. Бөлшектерді енгізуге байланысты бөлуді барлық жағдайларда (әрине, бөлуден басқаларында) орындауға мүмкіншілік туды.
Олай болса, екі санның арасындағы қатынасты анықтау дегеніміз бірінші сан екінші саннан неше есе артық екендігін немесе бірінші сан екіншінің қандай бөлігі екендігін білу деген сөз деп айтуға болады.
Екі санның қатынасы (бөлінді) бірге тең болса, онда бұл — осы екі санның тең екендігін көрсетеді; егер қатынас бірден үлкен болса, онда ол — бірінші сан екінші саннан неше есе артық екендігін көрсетеді, егер қатынас бірден кіші болса, онда ол — бірінші сан екіншінің қандай бөлігі екендігін көрсетеді.
Жоғарыда айтылған анықтамадан, берілген а мен а сандарының b қатынасы, оны q-ға көбейткенде а шығатын сан деп айтуымызға болады.
Әдетте қатынас былай жазылады: a:b=q; a саны қатынастың алдыңғы мүшесі, Ь саны оның жалғас мүшесі, ал — қатынас деп аталады.
Сандарды әріптермен белгілегенде а:Ь жазуы кейде бөлу амалын орындауды емес, бөлудің нәтижесін көрсететінін өскерте кетейік. Осыған сәйкес а:Ь жазуына а санының Ь санына қатынасының белгісі деп карауға болады.
1.2. Қатынас мүшелерінің қасиеттері, кері қатынастар.
Қатынастың алдынғы мүшесі бөлінгіш, жалғас мүшесі бөлгіш, ал қатынас бөлінді болатындықтан, а:б = q қатынастың қасиеттері бөлу амалы компоненттерінің қасиетіндей болады, атап айтқанда, ол қасиеттер мынадай:
1) Алдыңғы мүше жалғас мүше мен қатынастың көбейтіндісіне тең:
a = bq.
- Жалғас мүше алдыңғы мүшені қатынаска бөлгендегі
бөліндіге тең: b = a:q. - Егер алдыңғы мүшені бірнеше есе арттырса немесе
жалғас мүшені сонша есе кемітсе, онда қатынас сонша есе артады:
(ав):Ь = (де); (а:е): Ь= (q :в); бұл жағдайлардыц екеуінде де қатынас е
есе артты. - Егер апдыңғы мүшені бірнеше есе кемтісе немесе жалғас
мүшені сонша есе арттырса, онда қатынас сонша есе кемиді: (а:с): b
= (q:e) немесе a:(be) = (q:e); бұл жағдайлардың екеуінде де қатынас е
есе кеміді.
5) Егер алдыңғы мүшені де, жалғас мүшені де бірдей сан есе
арттырса немесе кемітсе, онда қатынас езгермейді: (ас):( be)- b
немесе (а:е):( b-e)-q; бұл жағдайлардың екеуінде де қатынас өзгерген жоқ. Қатынастың қасиеттеріне сүйеніп: 1) қатынастың кез келген мүшесін табуға, 2) бөлшек сандардын қатынасын бүтін сандардың қатынасымен алмастыруға, 3) қатынастың мүшелерін қысқартуға болады.
6) Алдыңғы мүше кез келген сан бола алады; жалғас мүше
нольдөн басқа кез келген сан бола алады; ноль бола алмайтын себебі
— нольге бөлуге болмайды.
Кері қатынастар
Егер екі қатынастың біреуінін алдыңғы мүшесі екіншісінін жалғас мүшесі, ал біріншісінің жалғас мүшесі екіншісінің алдыңғы мүшесі болып табылса, онда мұндай қатынастар кері қатынастар деп аталады; мысалы, 16:8 = 2 мен 8:16=1/2 кері қатынастар.
Берілген қатынасқа кері қатынас шығарып алу үшін, бірді осы берілген қатынасқа бөлу керек.
Бөлімдері немесе алымдары, бірдей болған жағдайларда, бөлшек сандардың қатынасын бүтін сандардың қатынасымен оңай алмастыруға болады.
Бірінші жағдайда, бөлшек сандардың қатынасын бүтін сандардың қатынасымен алмастырудағыдай, бөлшектердін қатынасы олардың тікелей алымдарының қатынасына тең болады; екінші жағдайда бөлшектердің қатынасы олардың бөлімдерінің кері қатынасына тең болады.
Екі қатынастың теңдігі пропорция деп аталады Мысалы, егер a: b-q және c:d=q болса, онда a:b=c:d теңдігі пропорция деп аталады. Пропорция жасайтын төрт сан пропорционал сандар деп аталады; бұлардың біріншісі мен төртіншісі (а мен d) пропорцияның шеткі мүшелері, ал екіншісі мөн үшіншісі (Ь мен с) орта мүшелері деп аталады.
Тура пропорционал шамалар. Егер А мен В екі шама бұлардың біреуінің кез келген екі мәнінің қатынасы екіншісінің бұларға сәйкес мәндерінің қатынасына тең боларлықтай байланыста болса, онда мұндай шамалар тура пропорционал шамалар деп аталады. Мысалы, егер а],а2,а2…. әріптерімен А шаманың мәндерін, ал ЬХ,Ь2,ЪУ… әріптерімен В шаманың оларға сәйкес мәндерін белгілесек, онда А мен В шамалар а, b, a, b болғанда тура пропорционал болады.
Пропорционал шамалардың мысалы: заттың бағасы тұрақты болғандағы қүны оның массасына тура пропорционал; шеңбердің ұзындығы оның радиусына немесе диаметріне тура пропорционал; бір қалыпты қозғалатын дененің жүретін жолы қозғалыс уақытына тура пропорционал.
Тура пропорционалдықтың белгісі. Егер берілген екі шаманың біреуінің қандай да болса бір мәні бірнеше есе артқанда немесе кемігенде, екіншісінің сәйкес мәні сонша есе артатын немесе кемитін болса, онда бұл екі шама тура пропорционал шамалар болады. Яғни біреуінің кез келген екі мәнінің қатынасы екіншісінің сәйкес екі мәнінің қатынасына тең болады.
Кері пропорционал шамалар. Егер А мен В шамалары біріне — бірі біріншісінің екі мәнінің қатынасы екіншісінің сәйкес екі мәнінің кері қатынасына тең боларлықтай түрде тәуелді болса, онда мұндай шамалар кері пропорционал шамалар деп аталады.
Егер Мысалы, егер ах,а2,аг…. әріптерімен А шаманың мәндерін, ал bl,b2,br… әріптерімен В шаманың оларға сәйкес мәндерін белгілесек, онда А мен В шамалар кері пропорционал болу үшін а] b2 ax b3. Кері пропорционал шамалардың мысалы: арақашықтық тұрақты болғанда, бір қалыпты қозғалыстың жылдамдығы жүріс уақытына кері пропорционал; температура тұрақты болғанда, газдың көлемі қысымға кері пропорционал; ауданы өзгермейтін тік төртбұрышты участоктың табаны мен ені өзара кері пропорционал.
Кері пропорционалдықтың белгісі. Егер екі шаманың біреуінің бір мәндерін бірнеше есе арттырғанда немесе кеміткенде, екінші шаманың сәйкес мәндері бірінші жағдайда сонаш есе кемісе, ал екінші жағдайда сонша есе артса, онда мұндай шамалар кері пропорционал болады.
Пайыздар. Бір санның жүзден бір бөлігі осы санның пайызы деп аталады. Пайыздың анықтамасынан пайзы бөлімі 100 болып келген бөлшектерді өрнектеудің айрықша тәсілі екендігі көрінеді. Пайыз ұғымының түрлендірудің екі түрімен байланысы бар:
Пайыздық есептеулер күнделікті тұрмыста кең түрде қолданылады. Пайыздар, әсіресе жинақ кассаларындағы, банкалардағы, сауда орындарындағы ақша есептерінде басқа да есеп — қисап жұмыстарында жиі қолданылады.
Қаржылық операцияларының қайсыларында болса да есептеулер жүргізілетін шамаларға арнаулы атаулар қолданылады. Мысалы, банк немесе жинақ кассасына салынған ақша бастапқы капитал деп аталады; бастапқы капитал бір жылдың ішінде неше пайызға артуы (немесе кемуі) керек екендігін көрсететін сан пайыздық такса деп аталады; бастапқы капиталдың белгілі бір уақыттың ішінде берген өсімі пайыздық ақша неиесе тек, пайыз деп аталады. Пайыздық ақшамен қоса есептегенде бастапқы капитал өскен капитал деп аталады. Қаржылық есеп — қисаптарда бір жылда 360 күн, ал бір айда 30 күн бар деп есептеледі.
Егер пайыз тек бастапқы капиталдан (бір рет) есептелетін болса, онда оны жай пайыз дөп, ал егер ол өскен капиталдан (бірнеше рет) есептелетін болса, онда оны күрделі пайыз деп атайды. Күрделі пайыздар финанстық есептеулерде, халықтың өсуін, жануардың немесе өсімдіктің т.с.с. бір түрінің көбеюін есептегенде жиі қолданылады.
Пайызға берілген есептердің типтері және оларды шығарудың тәсілдері
Практикалық тұрмыста берілген есептердің көбінесе мынадай үш типі кездеседі; 1) берілген саннан пайызды табу; 2) пайызы бойынша санды табу; 3) екі санның пайыздық қатынасын табу. Финанстық операцияларға байланысты пайыздарға берген есептер айрықша орын алады.
ІІ. БАСТАУЫШ МАТЕМАТИКА КУРСЫНДА ҚАТЫНАСТАРДЫ ОҚЫТУ.
2.1. Қатынас ұғымы, қатынастың қасиеттері.
Математикада тек қана объектілер емес (сан, фигура, шама т.с) олардың арасындағы қатынастар, байланыстар да зерттеледі. Натурал сан ұғымын қалыптастыру — бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды. Мысалы: 5 саны 2 санынан артық;
10 саны 8 санынан 2-ге артық;
8 саны 7 санынан кейін келеді, яғни сандар өзара әртүрлі «артық», «қаншаға артық», «кейін келеді» қатынастары арқылы байланысқан.
Геометрияда түзулердің параллельдік,перпендикулярлық, фигуралардың теңдік, ұқсастық т.с.с. геометриялық обьектілердің арасындағы әр түрлі қатынастарды зерттейді.
Жиындарды салыстырып, олар қиылысады немесе тең, біреуі екіншісіне тиісті, т.с.с. яғни жиындар арасында да қатыстар орнатылады.
Математикада көбінесе екі обьектінің арасындағы қатынас қарастырылады. Оны бинарлық қатынас деп атайды. Біз тек қана бинарлық қатынасты қарастыратын болғандықтан, алдағы уақытта «бинарлық» деген сөзді қолданбаймыз.
Сандардың, геометриялық фигуралардың, жиындардың және басқа да обьектілердің арасындағы белгілі бір қатыстар туралы біле отырып, оларда қандай ортақ қасиет бар екенін, әртүрлі қатыстардың жиынын қалай классификациялауға болатынын қарастырамыз. Өзімізге белгілі әртүрлі қатынастардың арасында қандай ортақ мәселе бар екенін анықтайық.
Х={3,4,5,6,8} сандар жиынын қарастырайық. Бұл сандардың арасында «артық» қатынасы бар, 4>3, 5>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4, 6>5,8>5, 8>6
Осы сандардың арасындағы «1-ге артық» деген қатынасты қарастырайық «4саны 3-тен 1-ге артық», «5 сан 4-тен 1-ге артық», «бсаны 5-тен 1-ге артық» болады.
Берілген жиынның элементтерінің арасында «2есе кем» деген де қатынасты орнатуға болады; «3 саны 6 — дан 2 есе кем, «4 саны 8-ден 2есе кем».
Бұл сандардың арасында әлі де бірқатар қатынастар болатынын қарастыруға болады. Біз жоғарғыдағы үш қатынаспен шектелейік.
Мына жағдайға көңіл аударамыз: әрбір қатынасты қарастырғанда элементтері берілген X жиынынан алынған реттелген қостардың жиынын құрдық. «артық»қатысы бұл жиын {(4,3), (5,3), (4,3), (6,3) (8,3), (5,4), (6,4), (8,4), (6,5), (8,5), (8,6),} «1-ге артық» қатысы үшін {(4,3),(5,4),(6,5)}, ал «2-есе кем» қатысы үшін {(3,6),(4,8)} болады. Сонымен, қарастырылған әрбір қатынас Х={3,4,5,6,8} жиынының элементтерінен құрылған қостардың жиынымен анықталады. Реттелген қостардың берілген жиынның өзіне — өзінің декарттық көбейтіндісінің элементтері немесе оның ішкі жиыны болатыны белгілі. Жоғарыда қарастырылған «артық», 1-ге артық, 2-есе кем» қатынастары
Х*Х = {(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,8), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,8), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,8), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,8), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,8)} жиынның ішкі жиыны екенін байқау қиын емес.
Математикада қатынас реттелген қостарды X жиынының элементтерінің арасындағы қатынас деп атайды.
Анықтама: X жиынының элементтерінің арасындағы немесе X жиынындағы қатынас деп Х*Х декарттық көбейтіндісінің кез-келген ішкі жиынын атайды. Қатынасты латынның үлкен әріптерімен белгілейді: P,Q,R,S т.с.с. Сонымен егер X жиынының элементтерінің арасындағы қатынас R болса, онда R(X*X) болады.
Егер қатынас арқылы X жиынында берілсе, оны нүктелердің және оларды қосатын стрелкалардан (бағытталған сызықтардан) тұратын ерекше сызба арқылы көрнекті түрде беруге болады. Бұл сызбаны граф деп атайды.
Мысалы, Х={2,4,6,8,12} жиынның элементтерінің арасындағы «артық» қатынасының графын салайық. Ол үшін осы жиынның элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, өзара «артық» қатысы орындалатын нүктелерді стрелкамен қосамыз. 4/2 болғандықтан стрелка 4-тен 2-ге қарай жүргізіледі.
Осы қатынас орындалатын барлық нүктелер стрелкамен қосылады. Сонымен,Х={2,4,6,8,12} жиынының элементтерінің арасындағы «артық» қатынасының графы алынады. Берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды қосатын стрелкалар графтың қабырғалары деп аталады.
Берілген X жиынында «еселі» деген қатынасты қарастырып, оның графын салайық. Алдыңғы мысалдағыдай X жиынының барлық элементтерін нүктелер арқылы бейнелеп, бірімен — бірі «еселі» қатынаста болатын элементтерді стрелкамен қосамыз. X жиынындағы әрбір элемент өзіне — өзі еселі болғандықтан бұл графта басы да ұшы да беттесетін стрелкалар болады. Мұндай стрелкаларды ілгектер деп атайды.
Қатынастың берілу тәсілдері
Анықтама бойынша X жиынының элементтерінің арасындағы R қатынасы Х*Х жиынының ішкі жиыны, яғни элементтері реттелгөн қостар болатын жиын. Сондықтан қатынастың да берілуі мағынасы жағынан жиынның берілу тәсілдері сияқты болады.
- X жиынында берілген R қатысы X жиынынан
алынған осы қатынаспен байланысқан элементтердің
реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатынастың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін. Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4), (9,5), (9,6), (9,7)} немесе граф арқылы беруге болады.
- Көп жағдайда X жиынындағы R қатынасы осы
қатынаста болатын элементер қостарының жиынының
сипаттамалық қасиетін көрсету арқылы беріледі. Бұл қасиет
екі айнымалысы бар сөйлем ретінде тұжырымдалады.
Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: «х
саны у-тен артық» деген сөйлемді «х/у»,ал «х саны у-тен 3
есе кем» деген сөйлемді «у=х/3 түрінде сәйкес теңсіздік,
теңдік арқылы көрсетуге болады. Жазықтықтағы түзулер
арасындағы «перпендикулярлық», «параллельлдік»,
қатыстары үшін х!у,х//у символдары қолданылады.
Ұшбұрыштар арасындағы «теңдік», «ұқсастық», «конгруэнтті»
қатынастары үшін ABC = А В С; ABC- ABC, ABC = A B C
ерекше символдар қолданылады. Осы көрсетілген жазулардың жалпыламасы ретінде X элементі У элементімен R қатыста болады дегенді xRy түрінде жазады.
Бастауыш мектеп математикасында да, орта мектеп математикасында да қатынас ұғымы жалпы түрде енгізілмейді, тек қана әртүлі обьектілер арасындағы нақты қатынастар қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатынастарға ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа формада жазылған екі айнымалысы бар сөйлем ретінде, таблица толтыру арқылы т.с.с. түрде береді. Қатынастардың көп түрімен бстауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік есептер) шығаруда кездеседі. Мысалы: «Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3 есе артық. Бірінші сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болды. Әрбір сөреде қанша кітап болды» Бұл есепті шығарғанда оқушылар «есе артық», «кем» қатынастарын жақсы білуі керек.
Қатыстың қасиеттері
Математикада екі обьектінің арасында әртүрлі қатынастар қарастырылатынын тағайындадық. Олардың әр қайсысын қандай да бір Х жиынында қарастырылып, қостардың жиынын береді.
Барлық қатысты қалай зерттеп шығуға болады? Ол үшін қатыстың қасиеттерін анықтап, оларды ортақ қасиеттері бойынша классификациялау керек.
Түзулер жиынында параллель, перпендикуляр тең, ұзын қатыстарын қарастырайық. Осы қатынастардың графын салайық.
Параллельдік және теңдік қатынастарының графтарын қарастырайық. Олардың ілгектері бар. Бұл X жиынында алынған кез — келген кесінді өзіне — өзі тең екендігін көрсетеді. Параллельдік және теңдік қатынастары рефлексивтік қасиетке ие, немесе олар рефлексивті деп аталады.
X жиынындағы кез — келген элемент өзі — өзімен R қатыста болса, онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Егер R қатынасы рефлексивті болса, онда оның графының барлық төбесінде ілгек болады. Бұған кері тұжырым да дұрыс болады, яғни әрбір төбесінде ілгек болатын граф қандай да бір рефлексивті қатыстың графы болады.
Рефлексивтік қасиеті болмайтын да қатыстар болады. Мысалы, перпендикулярлық қатысы: X жиыныныда өзі -өзімен перпендикуляр болатын кесінді болмайды.
Енді кесінділердің параллельдік, перпендикулярлық және теңдік қатыстарының графына көңіл аударайық. Бұл графтардың мынада: егер екі элементті бір бағытта қосатын стрелка болады. Бұл стрелкалар:
1)егер бір кесінді екінші кесіндіге параллель болса, онда екінші кесінді бірінші кесіндіге де параллель,
2) егер бір кесінді екінші кесіндіге перпендикуляр болса.онда екінші кесінді бірінші кесіндіге де перпендикуляр,
3)егер бір кесінді екішісіне тең болғандығын көрсетеді.
Осы параллельдік, перпендикулярлық, теңдік қатынастары симметриялық қасиетке ие немесе симметриялы деп аталады, яғни R қатынасы симметриялық.
Симметриялық қатынастың графының ерекшелігі мынада: х-тен у-ке қарай баратын стрелкамен қоса,у-тен х-ке баратын стрелкамен қоса у-тен х-ке қарай баратын стрелка болатын граф симметриялық қатыстың графы болады.
Симметриялық қасиеті болмайтын қатысы болады, мысалы, кесінділер арасындағы «ұзын» қатысы.
Осы қатыстардың графын қарастырайық. Оның ерекшелігі — егер стрелка графтың екі төбесін қосса, ол жалғыз болады. «Ұзын» қатысының антисимметриялық қасиеті бар немесе оны антисимметриялы деп атайды.
Егер X жиынындағы әртүрлі х,у элементтері үшін х элементі у-пен R қатыста болып, ал у элементі х элемөнтімен R қатыста болмаса, онда R қатысы антисимметриялы.
Антисимметриялық графтың графигінің мынандай ерекшелігі бар: егер графтың екі төбесі қайтымды стрелкамен қосылған болса, онда бұл стрелка жалған болады. Бұған кері тұжырым да дұрыс болады.
Барлық қатынастар симметриялық, антисиммөтриялық болып бөлінеді деп ойлауға болмайды. Симметриялық та, антисимметриялық та болмайтын қатынастар болады.
Параллельдік, перпендикулярлық, теңдік, ұзын қатыстарының графтарына тағы да көңіл аударайық: мұнда бірінші элементтен екіншіге, екіншіден үшінші элементке баратын стрелкамен қатар бірінші элементтен үшінші элементке баратын стрелка бар болсын.
Графтың бұл қасиеті берілген қатыстардың транзитивтік қасиетке ие болатынын көрсетеді.
Егер X жиынындағы х элементі у-пен R қатыста, ал у элементі z-пен R қатыста болуымен қоса х элементі де z -пен R қатыста болса, онда R транзитивтік қатыс деп аталады.яғни R транзитивті.
Транзитивтік қатыстың графында кез-келген үш элемент үшін, х-тен у-ке және у-тен z-ке баратын стрелқаның болуымен қатар х-тен у-ке баратын стрелка болады. (64-сызба) Осы айтылғанға кері тұжырым да үнемі орындалады.
Мысалы, жанұяда төртбала бар: Айнұр, Балғын, Арнұр, Талант. Осы балалардың арасындағы «туыстық» қатынас транзитивтік болады. Транзитивтік қасиеті болмайтын қатыстар болады. Мысалы, кесінділердің перпендикулярлығы транзитивті болмайды, егер кесіндісі с-ға перпендикуляр болмайды.
Осы көрсетілген қасиеттер қатынастарды салыстыруға
мүмкіндік береді: жоғарыда қарастырылған параллельдік,
теңдік қатынастары рефлексивтік, симметриялық,
транзитивтік, ал «ұзын» қатысы антисимметриялы және транзитивтік.
Эквиленттік қатыс Бөлшектер жиынында «теңдік» қатынасы берілсін. Осы қатыстың қандай қатыстары бар екенін граф арқылы анықтайық:
- Графтың барлық төбелерінде ілгек болғандыықтан
ол рефлекисвті ; - Графтың төбөлерін қосатын стрелкалар қайтымды
болғандықтан ол симметриялы; - х бөлшегі у-ке тең, у бөлшегі z-ке тең болғандықтан
х бөлшегі у-ке тең болады. Сондықтан бұл қатынас
транзитивті.
Егер X жиынындағы R қатысы рефлексивті.симметриялы және транзитивті болса, онда R эквивалентті қатыс деп аталады. Эквилентті қатынасқа түзулердің параллельдігі, фигуралардың теңдігі мысал бола алады.
Математикада эквиаленттік қатынасы ерекше қарастырады. Бөлшектердің теңдігінің графында үш ішкі жиын көрсетілген; Бұл ішкі жиындар қиылыспайды, ал олардың бірігуі X жиынын береді, яғни теңдік қатысы X жиынын қос -қостан қиылыспайтын кластарға бөледі.
Егер X жиынында эквиваленттік қатынас берілсе, ол осы жиынды қос — қостан қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі.
Кері тұжырым да дүрыс болады: егер X жиынында берілген қандай да бір қатыс оны қос-қостан қиылыспайтын ішкі жиындарғабөлсе,онда бұл қатыс эквивалентті болады.
Егер эквиваленттік қатынастың аты болса, онда кластарға да сол ат беріледі. Мысалы, егер кесінділер жиынында «теңдік» қатысы берілсе, онда кесінділер жиыны тең кесінділер класына бөлінеді. Ұқсастық қатысы үшбұрыштар жиыны ұқсас үшбұрыштар класына бөлінеді.
Жиынды мұндай кластарға бөлудің мынандай маңызы бар: Әрбір эквивалентті класта эквивалентті элементтер бар, яғни бұл элементтердің берілген қатынасқа байланысты бір-бірінен айырмашылығы жоқ. Сондықтан эквиваленттік класс өзінің элементтерімен анықталады.
Тең бөлшектер класының кез — келгенін осы кластағы кез — келген бөлшек арқылы көрсетуге болады. Эквивалентті класты оның бір элементі арқылы көрсету барлық элементтер жиынының орнына осы кластың жеке элементтерін зерттеу жетккілікті екенін көрсетеді. Реттік қатынас Мынандай мысалдарды қарастырайық
1) Сыныптағы оқушылардың жиынында реттілік орнату үшін оларды бойларына қарай сапқа түрғызуға болады. Практикада бұл процесті жүзеге асыру үшін оқушыларды қос-қостан салыстырып, олардың арасында бойы «ұзын» қатынасын қарастырамыз.
Бұл қатынас антисимметриялы және транзитивті
2) Сыныптағы оқушылар жиынын олардың жас мөлшеріне қарап реттеуге де болады, яғни « жасы үлкен» қатысы енгізіледі. Бұл қатынастың да антисимметриялы және транзитивті екенін байқаймыз.
3) Қазақ алфавитіндегі әріптер жиыны «кейін келеді» деген қатынас арқылы реттелген. Бұл қатынас та антисимметриялы және транзитивті.
X жиынында берілген R қатынасы антисимметриялы және транзитивті болса, оны реттік қатынас деп атайды. Х={2,8,12,32} жиынының элементтерін «кем» қатынасы арқылы реттеуге болады немесе «еселі» қатынасымен де реттейік.
«Кем» және «еселі» қатынастары берілген жиынды әртүрлі реттейді. «Кем» қатынасы X жиынындағы кез-келген екі элментті салыстырса, «еселі» қатысында мұндай қасиет жоқ. Мысалы,12 және 8 сандары бұл қасиетпен байланыспағандықтан; 8 саны 12-ге немесе 12 саны 8-ге еселі емөс.
Барлық қатынастар не эквивалентті, не реттік болып бөлінеді деп ойлауға болмайды. Эквивалентті де, ретті де болмайтын қатыстың түрлері өте көп.
Бастауыш мектепте «артық», «кем», «ұзын», «қысқа» қатыстары қарастырылып, сандардың және кесінділердің жиынында реттілік орнатылады.
Егер жиында реттік қатынас бар болса, онда ол реттелген жиын деп аталады. Мысалы, натурал жиынында «артық» қатынасы орындалады, яғни әрбір натурал сан өзінен бұрынғы саннан артық. Сондықтан N натурал сан өзінен бұрынғы саннан артық. Сондықтан N натурал сандар жиыны реттелген жиын болып табылады.
«Артық», «кем» қатынастары қатаң реттелген қатынас деп аталады. Осы қатынастармен қатар «артық немесе тең», «кем немесе тең» қатынастары қарастырылады. Бұл қатыстар да реттік қатынас болады. Оларды қатаң емес реттік қатынас деп атайды.
Қатаң емес реттік қатынастың графының ерекшелігі -оның төбесінде міндетті түрде ілгегі болады.
2.2 Сәйкестік туралы ұғым.
Екі жиынның элементтерінің арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында, жазықтықтағы нүктелер мен нақты сандар қосының арасында сәйкестік бар.
X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жиыны болатын қостардың жиының айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестік график арқылы көрнекті түрде бейнелеуге болады. Мысалы, X = {3, 5, 7, 9}, У = {4, 6} жиындарының арасындағы «артық» (үлкен) деген сәйкестік график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін көскіндейтін нүктеден У жиынының элементін кескіндейтін нүктені стрелкамен қосамыз, сонда элементтердің арасындағы «артық» сәйкестігі орындалуы керек. 5 > 4 болғандықтан стрелка 5 — тен 4 — ке қарай; 7 > 4, 7 > 6 болғандықтан 7 — ден 4 — ке, 7 — ден 6 — ға қарай т.с.с. бағытталуы тиіс. (1-сызба).
(1-сызба)
Сонда шыққан сызба X және У жиындарының элементтерінің арасындағы «артық» деген сәйкестіктің графы болады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық жазықтықтағы график арқылы да көруге болады. Ол үшін қандай да бір R сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер арқылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Жоғарыда қарастырылған мысалдағы «артық» сәйкестігінің графигін сызайық. Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын жазайық: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4), (9,6). X жиынының элементтерін Ох осінің бойынан, У жиынының элементтерін Оу осінің бойынан алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін нүктелерді координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының элементтерінің арасындағы «артық» сәйкестігінің графигін аламыз (2 -сызба).
Енді «артық» сәйкестігін X = R және У = {4, 6} жиындарында қарастырып, оның гафигін салайық. Бұл жағдайда X жиынының элементтері бүкіл Ох осінің бойындағы нүктелерден, ал У жиыны екі элементтен тұрады. X және У жиындарының элементтері үшін «артық» сәйкестігі берілгендіктен, X жиынындағы 4 — тен артық болатын сандарды Ох осінің бойындағы 4 санына сәйкес келетін нүктенің оң жағында орналасқан. Демек, абсциссасы (4; °°) аралығынан алынған, ал ординатасы 4 — ке тең болатын АВ сәулесі 4 — тен артық сандардың графигін береді.
АВ сәулесінің басы (4;4) нүктесі графикке енбейді, себебі 4 > 4 сәйкестігі жалған. Дәл осылайша, абсциссасы (6; °°) аралығынан, ординатасы 6 — ға тең болатын СД сәулесі 6 — дан үлкен сандардың графигі болады (3 — сызба).
(3 — сызба)
Сонымен, X = R, Ү = {4, 6} жиындарының арасындағы «арық» сәйкестігінің графигі А және С нүктелері енбейтін АВ және СД сәулелері болады.
Әртүрлі жиындар арасындағы бір ғана «артық» сәйкестігінің граиктерінің әртүрлі екенін көрдік.
Енді нақты сандар жиынында х = R, у = R болғанда (х > у ) «артық» сәйкестігінің графигін салайық. Абсциссасы мен ординатасы тең болатын сандар I және III кординаталық ширектерден өтетін биссектрисаның бойында жатады. Абсциссасы ординатасынан үлкен болатын нүктелер осы биссектрисаның төменгі жағына орналасады (4 — сызба).
(4 — сызба)
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады. Сонымен қатар кез келген ғылымда объөктілердің өздері ғана емес, олардың арасындағы байланыстар да зерттеледі. Мысалы, географияда қалалар жиыны X және елдер жиыны У арасындағы «X қаласы У еліне қарайды» деген сәйкестік қарастырылады. Физикада «х денесінің массасы у-ке тең», химияда «х затының таңбасы у болады», математикада «х фигурасының ауданы у — ке тең» деген т.с.с. сәйкестіктер қарастырылады.
Кері сәйкестік X = {3, 5, 7}, У = {4, 6} жиындарының элементтерінің арасындағы R — «артық» сәйкөстігі берілсін. Сонда R = {5,4}, {7,4}, {7, 6} және оның графы 5 — сызбадағыдай болады.
Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У және X жиындарының элементтерінің арасындағы «кем» сәйкестігінің графигі алынады (6 — сызба).
(5 — сызба) (6 — сызба)
Графы 5- сызбада кескінделген сәйкестік берілген R сәйкөстігіне кері сәйкестік деп аталып, R01 арқылы белгіленеді.
X және У жиындарының арасындағы сәйкестік R болса, онда У және X жиындарының арасындағы yRD1x болатындай RD1 сәйкестігі xRy болғанда және тек сонда ғана R сәйкестігіне кері сәйкестік деп аталады.
R және RD1 сәйкестері өзара кері сәйкестіктер деп аталады. Өзара кері сәйкестіктердің графиктерінің қандай ерөкшеліктері болатынын анықтайық.
R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} сәйкестігінің графигін салайық (6 -сызба). RD1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} сәйкестігінің графигін салғанда қостың бірінші компонентін У жиынынан екінші компонентін X жиынынан алу керек. RD1 сәйкестігінің графигі R сәйкестігінің графигімен беттесетінін көреміз.
Бұл графиктерді ажырату өте қолайсыз. Сондықтан RD1 сәйкестігіндегі қостардың бірінші компонентін абсцисса осінен, екінші компонентін ордината осінен алу келісілген.
Мысалы, (5, 4) € R, онда (5, 4) € RD1.
Координаталары (5, 4) және (4, 5), жалпы жағдайда (х, у) және (у, х) болатын нүктелер I және III координаттық бұрыштардың биссөктрисасына қарағанда симметриялы болады. Сонымен, R сәйкестігіне кері R01 сәйкестігінің графигі R сәйкестінінің графигінің нүктелеріне I және III координаттық бұрыштар арқылы өтетін биссектрисаға қарағанда симметриялы нүктелерден тұрады. Сондықтан RD1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} болатын сәйкестіктің графигі 8 -сызбада бояп көрсетілген нүктелер жиынынан тұрады.
Натурал сандар жиынындағы R «х кем у-тен» сәйкестігі болса, оған кері RD1 сәйкестігі «х артық у — тен» болады. Кесінділер арасындағы «х кесіндісі у — тен ұзын» сәйкестігіне «х кесіндісі у — тен қысқа» деген сәйкестік кері болады.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп көңіл бөлінеді. Оқушылар 5 > 3 болғандықтан 3 < 5 екенін, егер АВ кесіндісі СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа болатынын терең түсінуі керек.
Өзара бірмәндік сәйкестік. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы барлық мүмкін сәйкестіктердің ішінен X жиынындағы әрбір элементке У жиынынан жалғыз элөмент және керісінше, У жиынының әрбір элементіне X жиынының жалғыз элементі сәйкес келетін сәйкестікті қарастырамыз. Мұндай сәйкестікті өзара бірмәнді сәйкестікдеп атайды.
Осындай сәйкестіктерге мысалдар қарастырайық.
- A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} болсын. Бұл жиындардың
элементтерінің арасындағы сәйкестік былайша көрсетілген
.
А жиынындағы әрбір элементке В жиынындағы жалғыз элөмент сәйкес келеді. Сонымен қатар керісінше, В жиынындағы әрбір элементке А жиынынан жалғыз элемент сәйкес келеді. Сондықт ан A және В жиындарынының арасыандағы сәйкестік өзара бірмәнді болады.
- X координаттық түзудің бойындағы нүктелер жиыны, у = R
болсын. Координаттық түзуді енгізуге байланысты түзудегі әрбір
нүктеге бір нақты сан (сол нүктенің координатасы) сәйкес келеді және
кез — келген нақты санға түзудің бойынан бір нүкте сәйкес келеді.
Сонда бұл сәйкестік те өзара бірмәнді болады. - X — координаттық жазықтықтағы нүктелер жиыны, ал У — нақты
сандардың қостарының жиыны болсын. Егер жазықтықтағы әрбір
нүктеге нақты сандардың жалғыз қосы (нүктенің координаталары)
сәйкес келсе және нақты сандардың әрбір қосына жазықтықтан бір нүкте сәйкес келсе, онда жазықтықтағы нүктелер жиыны мөн нақты сандардың қостарының жиынының арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылады.
Математиқаның бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы айқын түрде қолданылмайды: оған санау және сандарды салыстыру процесі негізделген. Мысалы, 3 = 3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір — біріне беттестіріп қояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с), яғни қызыл және көк түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылады. 3 < 4 теңсіздігін көрсету үшін үш элементті жиын мен төрт элементті жиынның үш элементті ішкі жиындарының арасында өзара бірмәндік сәйкестік орнатылады.
2.3. Бөлінгіштік қатынасы туралы ұғым.
Үлкен натурал сан a — ны кіші натурал сан Ь — ге бөлінгенде қалдық нольге тең болса, а санының b санына бүтіндей бөлінетінін білеміз. Сондай — ақ, егер натурал сан a , натурал сан Ь — ден артық болса, онда әрқашан да мынадай теңдікті қанағаттандыратын q мен г екі санды табуға болатындығы да тағайындалады: a = bq + г, мұндағы q мен г өкі санды табуға болатындығы да тағайындалады: a = bg+ r, мұндағы q — үлкен санды (a — ны) кіші санға (Ь — ге) бөлгендегі бөлінді де, г — қалдық. Қалдықсыз бөліну натурал сандардың осы жалпы қасиетінің бір дербес жағдайы екендігі, атап айтқанда, г — 0 болып, a = bq теңдігі шығатын жағдай екендігі айқын.
Бұл жағдайда а саны(бөлінгіш) Ь санының еселігі деп, ал Ь саны a — санының бөлгіші деп аталады.
а саны Ь санына бөлінеді, а саны Ь санының бөлгіші деген сөйлемдердің мағына жағынан бір — біріне барабар екендігін ескерейік.
a = bq теңдігіне қарағанда қандай да бір натурал санның (Ь) еселігі (а) ол сан мен екінші бір натурал санның (q) көбейтіндісі болып табылатындығы шығады. Егер a — bq болса, онда бөлудің мағынасы бойынша a ; q — Ь; демек, а саны q санының да еселігі болып табылады. Бұдан көбейтінді (а) өзінің әрбір көбейткіштерінің (Ь мөн q -дың) еселігі болып табылатындығы шығады. Көбейтудің терімділік және ауыстырымдылық заңдарын пайдалана отырып, бұл қортындының көбейткіштер саны қанша болса да тура болатындығын дәлелдеу оңай.
Дұрысында да, егер N — abc.f болса, онда терімділік қасиеті бойынша N : a = bc.f.
Демек, А/ саны — көбейткіш a — ның еселігію екінші жағынан, егер N = abc…f болса, онда ауыстырымдылық қасиеті бойынша N = bac.f ; терімділік қасиеті бойынша N = b(ac.f), ал бөлудің мағынаса бойынша N : b = ac.f.
Демек, N көбейткіш b — нің де еселігі.
Осылайша N саны өзінің басқа да қалған көбейткіштерінің әрқайсысының еселігі болып табылатындығын тағайындауға болады.
Бөлінгіштік қатынасын белгілеу үшін ерекше таңба — тігінен орналасқан үш нүкте қолданылатындығын еске саламыз.
Сонда a : b жазуын былай оқу керек: а саны Ь санына қалдықсыз бөлінеді немесе а саны Ь санының еселігі. Ал бұл қатыс орындалмайтын болса, онда бұл жағдайда «а саны Ь — ге бөлінбейді» дейтін боламыз.
Сандардың бөлгіштігінің белгілері.
Сандардың 2 — ге, 5 — ке, 4 — ке, 25 — ке, 8 — ге, 125 — ке, 3 — ке және 9 — ға бөлінгіштігінің белгілері.
2 — ге бөлінгіштік белгісі. Берілген санның соңғы цифры 2 — ге бөлінетін болса сондай сандар, төк қана сондай сандар 2 — ге бөлінеді.
5 — ке бөлінгіштік белгісі. Берілген санның ондық жүйеде жазылуындағы соңғы цифры 0 немесе 5 болса, тек сонда ол сан 5 — ке бөлінеді.
4 — ке және 25 — ке бөлінгіштік белгілері. Берілген санның ондық жүйеде жазылуы екі нольмен аяқталса немесе оның соңғы екі цифрымен өрнектелетін сан 4 — ке (немесе 25 — ке) бөлінетін болса, сондай сандар, тек қана сондай сандар, 4 — ке (нөмесе 25 — ке) бөлінеді.
8 — ге және 125 — ке бөлінгіштік белгілері. Берілген санның ондық жүйеде жазылуы үш нольмен аяқталатын болса немесе оның соңғы үш цифрымен өрнектелетін сан 8 — ге (немесе 125 — ке) бөлінетін болса, сондай сандар, тек қана сондай сандар, 8 — гө (немесе 125- ке) бөлінеді.
3 — ке және 9 — ға бөлінгіштік белгісі. Санның ондық жүйеде жазылуындағы цифрларының қосындысы 3 — ке немесе 9 — ға бөлінетін сандар, тек қана сондай сандар 3 — ке (немесе 9 — ға) бөлінеді.
Соңында бір немесе бірнеше нольдері бар бірмен өрнектелген сандардың қандайы болса да немесе 10 — ның натурал дәрежелері түріндегі сандар 9 — ға өселік сан мен бірдің қосындысы болып табылады.
2.4. Геометриялық фигуралар және олардың қатынастары.
Геометриялық білімінің пайда болатын көзі біреу, ол тәжірибе. Ойын, әртүрлі жұмыс т.с.с. түрінде айналадағы табиғат, тіршілік жағдайларымен танысудан балалар геометрияның негізгі түсініктері туралы ұғым алады. Тәжірибе және бақылау, геометриялық білімінің бастапқы көздері болады.
Геометриялық білімінің пайда болуының екінші жолы логикалық ойлау болып табылады. Жоғарыда келтірілгендер геометриялық білімінің пайда болу көздері. Дұрысында, бақылау тәжірибе қандай оңай болғанмен де, қандай нақтылы түрде кездескенмен де, оқушы тіпті жеңіл желпі түрде болса да талқылап тексермей, логикалық жүйеге соқпай кете алмайды. Мысалы, шырпыдан салынған үщбұрыш пен квадратты салыстырғанда көрінеді.
Бастауыш сыныптарда геометрияны оқыту кезінде, әр материалға байланысты, геометриялық ойлау қабілетін дамыту барысындағы мүғалімінің ең негізгі мәселесі әдістемелік бағытты анықтап алу керек.
Геометриялық фигуралар және олардың қатынастары жөніндегі түсінік оны елестете білуге дейін жүргізіле береді.
Геометриялық фигуралардың әртүрлі модельдерімен танысу кезінде, оқушылар олардың материалына, түсіне, салмағына тэуелсіз жағдайларын ескере отырып, геометриялық фигуралардың жалпы қасиеттерін анықтайды.
Мұның барлығын да геометриалық объектілерге материалдарда қолдану нәтижесінде қол жеткізеді. Мысалы, сызғышты пайдаланып түзу сызық сызғанда, ол тек объект ғана емес, керілген жіп, екі жазықтықтың қиылысуынан пайда болған сызық (мысалы, қабырға жазықтығы мен еден жазықтығы) материалдық заттарды пайдалана отырып, оқушылар геометриялық елестетуді меңгере бастайды. 1 сыныпта қоршаған ортадағы материалдық заттармен, фигуралармен алғашқы таныстық және олардың аттарымен танысу кезеңі аяқталады. Оқушыларда бірте -бірте фигураларды оқу схемасы өңделе бастайды, оларға анализ және синтез жасау схемасы, сөйтіп, әрбір фигураның қасиетін меңгеруі жеңіл түрде жүреді.
Әдістемеде геометриялық фигураларды қою және қарама-қарсы қою тәсілдеріне ерекше орын беріледі. 1 сыныпта фигуралар жиыны ішінен шеңбер жиынын, кеп бұрыш жиынын және т.б. бөліп алуға көңіл аударылса, ал 2 — 3 сыныптарда фигуралардың қасиеттерін нақтылауға және классификациялауға мэн беріледі. Жазық фигуралар (шеңбер -көпбұрыш, дөңгелек -шеңбер және т.б.) иен кеңістік фигураларды (квадрат-куб, шеңбер, шар және т.с.с.) қою және қарама-қарсы қоюға ерекше назар аудару керек. Мысалы, кубпен таныстырғанда, оның нүктелерін, кесінділерін, көпбұрыштарын табуды көрсету қажет.
Оқушылардың 3 сыныпта геометриялық елестетуін қалыптастыруда фигуралардың қасиеттеріне сүйене отырып, олардың өзара орналасу қатыстығын қолдану. Мысалы, кесінді мен жазықтықтағы түзудің өзара орналасу қатыстығын (қиылысу) қолдану, оқушылардың кесідінің шектілігі мен түзүдің шексіздігіне көз жеткізуге мүмкіндік береді. Бұл қалыптасқан геометриялық ұғымдарды қалыптастыруға негіз болып табылады.
Бастауыш математика курстарында оқып үйренудегі басқа материалдармен байланысыны ерекше айтқан жөн. Бұл байланыстың негізі болып сан мен фигура арасындағы қатынасты орнату мүмкіндігі. Бұл сан түсінігін қалыптастырудағы сан қасиеті, оларға қолданылатын амалдардан фигураны қолдану керісінше, геометриялық образдарды оқып үйренуден сан ұғымын қолдану.
1 сыныпта фигура модельдерін санау үшін қолданады. Кейінірек объекті ретінде фигура элементтері пайдаланылады. Мысалы, көпбұрыштың төбелері, қабырғалары. Сонымен қатар оқушылар кесінділерді ©лшеумен де танысады. Бұл кесінді мен сан арасында байланыс орнатуға септігін тигізеді. Ал 2 сыныпта кесінділер (нүктелер) және сандар арасында тікелей байланыс орнатылады. Ертеректе кесінділерді өлшеумен танысқандықтан натурал сан, санаудың ондық өлшемі (сантиметр-бірлік, дециметр, ондық, метр жүздік), сандарға амалдар қолдану (масштабты сызғыш сан, санау қүралы) сияқты түсінігін қалыптасытруда маңызы үлкен. Геометриялық фигуралар оқушылардың бірлік үлестерімен танысу кезінде де қолдану қажет.
Бастауыш сыныптың білімнің жаңа мазмұнына етуі, оқыту әдістері құрамының жаңаруы — бұл болашақ педагогикалық іздену үшін негіз болып табылады. Мұндай жағдайда пәнаралық байланыстық көлемі мәселелері маңызды роль атқарады.
Бастауыштың әртүрлі оқу пәндерін оқыту кезінде оқушылар сабақ үстінде қоршаған орта құбылыстары туралы, оның қасиеттері жайында нақтылай түсініктер алады. Мысалы, балалар графикалық сауаттылыққа үйрену үшін, таяқшаларды салады, торкөзді белгілейді және т.б.
Геометриялық фигуралар жайлы алған білімдерін бекітуде басқа пәндердің мүмкіндіктерін де айтуға болады. Мысалы, табиғаттану сабағында оқушылар горизонт сызығы және горизонтпен танысу кезінде, оларда дөңгелек және шеңбер женінде түсінік ала алады. Геометриялық фигуралардың қасиетін оқыту болып табылады. Сондықтан да, геометриялық фигуралардың қасиетін оқыту барысында оқушылар ткелей олармен практика жүзінде танысып жұмыстар жүргізу керек. Мысалы, балалар математика сабағында өлшеу және салу жұмыстарын атқарады. Еңбек сабағында формаларын илеп жасап, модельдерін қиып, ал сурет сабағында бейнелеу жұмыстарын атқару керек. Келтірілген мысалдардан, әртүрлі пәндерді оқи отырып, геометриялық формалар жайында білімдер жинақтайды. Олардың нақтылы және абстрактылы ойлау қабілеттері өңделеді. Сонымен қатар, геометриялық форма, геометриялық фигура, фигуралардың қасиеттері мен қатынастары туралы сапалы түрдегі түсініктері қалыптаса бастайды. Осы мәселелер түгелге жуық әдіскер A.M. Пышкалоның еңбектерінде қарастырылған.
Бастауыш математикасында геометриялық материалдарды оқытудағы негізгі әдіс теориялық — жиындық және фигураларды, онық қатынастары мен қассиеттерін оқытуда қарапайым логикалық -математикалық түсінік болып табылады. 1-3 сыныптардан -ақ бұрыштар жиыны туралы қарапайым классификацилау (түзу және түзу емес — 1 сыныпта, 2 сыныпта -түзу сүйір, доғал) үшбұрыштар жиыны (қабырғасы, бұрышы бойынша) көпбұрыштар жиыны (бұрыштар санына байланысты және т.б.
Геометриялық материалдарды оқыту мектеп курсының барлық оқу жылына бірдей етіп бөлінеді. Қазіргі 1 сынып математика оқулығы да осылай қүрылған. Геометриялық есептер мен жаттығуларға арналған. Заттардың ұзындығы, олардың кеңістікте езара орналасу мен қатынастары жайлы алғашқы түсінік беру.
Балалар мектепке дейінгі кезеңнің өзінде-ақ олар кеңістік туралы қоршаған ортадағы әртүрлі заттардың формасы, өлшемі, және өзара орналасуы жайында кеп түсінік жинақтайды. Осы түсінік келешекте негізгі геометриялық түсініктерді, сосын ұғымдарды қалыптастыруда қажет негіз болып табылады. «Кубиктерден» (кубик құрамында призма, пирамида және т.б. көп бұрыштардан басқа да шар, күрделі формалы цилиндрлер кездеседі) әртүрлі қүрылыс салу кезінде, балалар заттардың өзара қатыстарымен: «жоғары» ,»төмен», «ортада», «астында», «үстінде», «оң жағы», «сол жағы», «арасында» және т.б. сөздермен кездеседі, сөйтіп заттардың салыстырмалы елшемдеріне:
» үлкен», » кіші» , «ұзын», «қысқа», және т. б . сөздерге көңіл аударады. Сонымен бірге ойын үстінде, практика жүзінде заттардың формаларымен, олардың жеке бөліктерімен танысады. Мысалы, дөңгелек (цилиндр) немесе доптың ( шар ) секіретін қасиетке ие екендігін, ал қорапша да (призма) мұндай қасиет жоқтығын балалар бірден — ақ аңғарады. Осы физикалық қасиеттерде балалалар интуитивті түрде дене формасымен байланыстырады. Балалар жинақтаған тэжирбе және терминдік зөздер кездейсоқ болғандықтан оқытудың міндеттерінің бірі жинақталған түсініктерді анықтау және сэйкес терминдерді меңгеру. Осы бағытта жүйелі түрде әртүрлі жаттығулар беру керек Заттар арасындағы қатынастар: «бірдей», «әртүрлі», «үлкен», «кем», және т.б. сөздер нақты заттармен (қағаз белігі, таяқша, доп, және т.б.) немесе солардың кескінімен (сурет, сызба) орнатылады. Осы қатынастарды түсіндірудегі мысалдарда негізгі белгілер «дәл» көрініс табуы қажет.
Салыстыру, мысалы, берілгені екі таяқшаның қайсысы «үлкен» деген сұрақты қойғанда, екі таяқшаның да қалындығы бірдей болу керек (немесе ұзындығы бірдей). Барлық кезде де екі затты салыстырғанда «салыстыру белгісі» айқын көріну қажет немсе оқушылар бірден ажарататындай болуы керек. Диаметрі мен түсі әртүрлі шарларды салыстыру оңай, ал шарлардың диаметрі әртүрлі болып түсі бірдей болған жағдайда қиын соғады (бірінші кезде). Бұл жағдайда оқушылар «Шарлар бірдей «(түсіне қарап) деп жауап береді. Оқыту барысында заттың геометриялық қасиетін оқыту барысында ол заттың қандай материалдан жасалғандығы, түсі ескерілмейді, оның өлшемі, элементтерінің өзара орналасуы, формасы ескеріледі.
«Бірдей» термині конгурентті (тең) деген мағынада бұл термин «тең» терминімен (мысалы, тең кесінділер) алмастырылады.
Көрсетілген қиындылардың қайсы «үлкен» («кіші» деп сұрақ қоюға болмайды. Одан қайта, бұл қиындалардың қайсы жіңішке (жуан), қысқа (ұзын) деп қойған орынды.
Геометриялық фигура — бұл нүктелер жиыны, геометриялық фигураға жеке бір нүктеде , және шекті, шексіз алынған нүктелер жиыны да жатады. Сондықтан да, біз оларды абстрактылы дейміз.
Практикада біз, реальды заттардан жасалған фигуралардың модельдерін қарастырамыз. Мысалы, қаламсаптың ұшы нүкте болады және т.б. Заттардың формасы, қасиеті, өлшемі массасын ескермей, оны геометриялық фигура туралы түсінік аламыз.
Геометрия негіздерін оқытуда жақсы нәтижеге жету үшін оқушылардың кеңістік түсінігін қалыптастыру жұмыстарын жүйелі түрде жүргізу қажет. Геометриялық оқыту бұл оқушылардың ғылыми — дүние танымдық қабілетін артырудың бірден — бір жолы.
2.5. Математикадан алғашқы ұғым беру
Осы заманғы мектеп 1 класқа келетіндердің ойлау, қабылдау процестері, өмірге қажетті білім — дағдылары жан-жақты жетілген, бақылап көрген заттар мен құбылыстар жайлы өздігінен қарапайым ой қорытындылары жасай, талдай, жинақтай білетін балалар болуын қалайды.
Осыған орай жалпы білім беретін қалалық, селолық мектептер жанынан эксперименттік даярлық кластар ашылды. Мектептің 1 класына балалар бақшасынан келетін оқушылармен салыстырғанда отбасыдан келген 6 жастағы балалардың тек білім дәрежесі ғана төмен болып қоймайды, сонымен қатар олардың ұжымдық еңбек етуге икемі аз, «өзімшілдігі» басым, зейіні тұрақсыз келеді.
Сондықтан оларды даярлық кластарында жеке пәндер бойынша оқытудың, соның ішінде, математикадан алғашқы ұғым берудің маңызы зор. Оқытудың негізгі мақсаты оларға тиянақты білім берумен қоса, коллективтік еңбек ете білуге жолдастық достыққа баулу болып табылады. Мұның өзі даярлық кластарындағы бүкіл оқу және тәрбие беру нақты болуын талап етеді. Мұндай жүйелілік пен сабақтастық оқу-тәрбие жұмыстарының мазмұнын ұйымдастырудан бастап, бүкіл жұмыс формаларында, әдіс-тәсілдерінде сақталып, жүзеге асырылады.
Математикадан алғашқы ұғым берудің мазмұнын анықтай отырып, бағдарлама жасағанда 6 жастағы балаларды кеңістікті бағдарлай білу, заттарды және олардың жиынтықтарын салыстыруға қажетті негізгі математикалық алғашқы ұғымдарды меңгерту мәселелерін қарастырдық. Өйткені бұл мәселелер даярлық кластарындағы балаларға берілуге тиісті алғашқы математикалық білім — дағдыларға кіріспе болып табылады.
Сөбебі «биік — аласа», «ұзын — қысқа», «кең — тар», «жуан — жіңішке», «үлкен — кіші» деген заттардың салыстырмалы қасиеттері мен қатынастары туралы, «көп — аз», «көп — бір», «көп — емес» т.б. осылар сияқты заттың сандық қатынасы туралы, «оң — сол», «оң жақта», «сол жақта», «жоғарыда — төменде», «алдында — артында», «алыс-жақын», сияқты заттардың кеңістіктегі орны туралы түсініктерсіз 6 жастағы балаларға математиқаның негізгі ұғымдарын меңгерту мүмкін емес. Ендеше бағдарлама бұл түсініктердің кіріспесінің орнында тұруы кездейсоқ емес.
Сонымен біз математиканың алғашқы «ұғым беру» бағдарламасын жасауда отбасыдағы, балалар бақшасындағы, мектептің даярлық кластарындағы балаларға жүргізілген эксперименттік байқау нәтижелерін негізге алдық. Бағдарламаға өзгерістер өнгізіп, қайта қарап, бірсыдырғы жетілдірдік.
Бағдарлама: Кеңістікті бағдарлай білу, негізгі түсініктерді меңгерту.
- 1,2,3,4,5 сандары 5 көлеміндегі сандардың натурал қатары.
- Қарапайым геометриялық фигуралар. Бояу түстерімен
таныстыру. - Заттардың көп немесе аз қатынастарын әр түрлі өлшеуіштер
арқылы салыстыру. - Арифметикалық амалдардың таңбаларымен таныстыру.
- 6, 7, 8, 9, 10 сандарының натурал қатары.
- 11, 12, 13, 14, 15 сандарының натурал қатары.
- 16, 17, 18, 19, 20 сандарының натурал қатары.
- Монеталар саны мен жыл, мезгілдері, ай аттары, аптадағы күн
аттарымен таныстыру — деген 9 бөлімнен құралды.
Бағдарламалық материалды оқытудың тиімді формалары серуен, экскурсия және кластағы сабақ, болып табылады. Серуен мен экскурсия кезінде балалар жоғарыда айтылған түсініктерді айналасындағы заттарды тікелей көріп, бақылау, зерттеу негізінде меңгереді. Мұның зор танымдық тәрбиелік маңызы бар. Балалардың білімі нақтылы болып ұзақ есте қалады (білімнің нақтылығы, беріктігі), ұмытылмайды; кеңістікті бағдарлай білуге, кеңістіктегі заттардың салыстырмалы орнын, қасиеттерін анықтай білуге дағдыланады; білім мен өмірдің байланысын түсінулеріне мүмкіндік туады.
Ұжыммен бірге жүру, заттарды бақылау, балаларды ұжымшылдыққа баулып, ұжымда еңбектенудің алғашқы дағдысын қалыптастырады. Ал, класта өтілетін сабақта серуен мен экскурсияға қорытынды жасалады.
Сабақ өткізудің әдіс-тәсілдері бүкіл жұмыстың мазмұнымен, ұйымдастырылу түрімен, әр жұмыстың білімдік және тәрбиелік мақсатымен, балалардың танымдық мүмкіндіктерімен біте қайнасып ұштасып жатады. Әсіресе әңгімелесу әдісі жетекші роль атқарады.
Әңгімелесу даярлық класындағы балалардың жас ерекшеліктеріне, танысдық мүмкіндіктеріне толық сәйкес келеді. Мысалы, 6 жастағы балалардың зейіні тұрақсыз болады, олар біркелкі жұмыстар, айтайық мұғалімнің ұзақ әңгімесінен тез зерігеді. Олардың зейінін үнемі қажетті бағытқа аударып отыру үшін жұмысты әңгімелесу, ойын әдістері арқылы жүргізу қажет. Сонымен қатар, балалар білімді айналадағы нақтылы заттарды, олардың кеңістіктегі орнын, санын тікелей бақылап, көру арқылы алатын болғандықтан, олардың бұл танымдық әрекетін мүғалім тек әңгімелесі әдісі негізінде ғана дүрыс бағыттап, басқара алады. 6 жастағы балаларға математикадан басқа тақырыптар бойынша да алғашқы ұғымдар берудің мазмұны, әдісі жағынан құрылу логикасы оысндай.
Даярлық кластағы балаларға математикадан алғашқы ұғымдарды қалыптастыра отырып, бағдарламада берілген 1-ден 5-ке дейінгі натурал сандар қатары туралы түсіндіру қажет. Балалар бұл сандардың цифрымен танысып, ауызша тура және кері санауға үйренеді. Келесі кезекте бағдарламада геометриялық фигуралармен, түстермен таныстыру қарастырылады. Бұл ұғымдарды балаларға серуен кезінде, айналадағы заттарды: үйлерді, ағаштарды т.б. және олардың көлемін, формасын тікелей бақылата отырып меңгерту көзделеді. Осыдан соң балаларға берілген білімнің мазмұнында сүйық және сусымалы заттарды көз мөлшері және өлшеуіштің көмегімен өлшеп үйрету қарастырылады. Ондағы мақсат — баланы тек үстірт санауға ғана жаттықтырмай, ой еңбегіне бейімдеп, олардың қимылын, зейінін дамыту, өлшеген заттарын санап естерінде үзақ сақтауға саналы түрде түсінуге дағдыландыру. Сонымен қатар 6 жастағы балалар қосу (+), алу (-) амалдардың таңбаларымен және теңдік
белгісімен (=) таныстырылып, кеспе цифрлар мен таңбаларды, ауызша есеп құрастырып шешіп үйренеді.
Даярлық класындағы балалар цифрларды жазбайды. Олар түрлі геометриялық фигуралар мен жемістердің суретін тор көз дәптерге салып, қолын жазуға жаттықтырады. Сонымен 6 жастағы балаларда бүкіл оқу жылы ішінде жоғарыда көрсөтілген нақтылы материалдар негізінде сандар және олардың натурал қатары туралы жалпылама ұғымдар қалыптасады. Балалар тек қана сандардың атын атап, олардың бөлгілерін үғынып қана қоймайды, сонымен қатар 10 санының реттік орнын білуге дағдыланады.
Санау сабағы негізінен оқушылардың тілін дамытуға көмектесетіндей және көбіне ойын ретінде өткізіледі. Біз алты жастағы балаларға бірінші ондық туралы білім бере отырып, оларды 20 көлеміндегі сандардың натурал қатарын ауызша санауға үйретуді ұсынып отырмыз. Сондықтан мұғалім оқушылардың 10 көлеміндегі білімдерін тиянақтап, бекіте отырып, балаларды 20-ға дейін тек ауызша санай білуге дағдыландырады. 20 көлеміндегі сандарды үйретуге сол сандардың түзілу заңдылығына, бірліктерден түратынына олардың натурал қатардағы орындарын ажыратуға, осы сандарды көрсететін заттардың негізгі топтарын атай білуге және кейбір санға байланысты заттардың санын анықтауға немесе белгілі бір заттан құрауға көңіл бөлінеді.
Сондай-ақ балаларды 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 тиындық монеталар жиынтығымен және оларды үқсатумен таныстыру көзделінеді. Бұл жұмыстар сабақ кезінде көрнекі түрде түсіндіріледі. Мұғалім сабақ үстінде балаларды өздігінен жұмыс істеу дағдыларына жаттықтырады. (Мысалы, заттарды тең бөліктерге бөлу: алманы, қағазды, нанды т.б.) Ол бөліктерді атау, «екіден бір», «үштен бір» т.б. Осы атаулардың мәні түсіндіріледі.
Сондықтан оларға берілетін білімнің мазмұнында автоматты түрде орындау дәрежесіне жеткізілген есептеу дағдыларын, балаларға саналы түрде, әрі берік қалыптастыру мәселесіне айрықша назар аударылды. Балаларға берілетін білімнің мазмұнында негізгі көзделген принциптердің бірі, әрбір жаңа мәселені жоғары дәрежеде жалпылау тұрғысынан түсіндіру. Алайда ол 6 жастағы балалардың шама — шарқынан асып кетпейтіндей көлемде қарастырылуы керек.
Математикалық алғашқы ұғымдарды қалыптастыру сабақтарында ауыз әдебиеті нұсқауларын — санамақтарды қазақ балалар жазушыларының ойынға, санамаққа лайықты еңбектерін пайдалану керек.
Сабақтың тақырбы: Биік. Аласа. Кең. Tap. Үлкен. Кіші. Ұзын. Қысқа.
Сабақтың мақсаты: Балаларды заттар мен шамаларды салыстыра білуге үйрету. Биік — аласа, кең — тар, ұзын — қысқа қатынастарымен таныстыру. Ұғымдардың мағынасын түсініп, бір -бірінен ажыратуға баулу. Ойын-тілін, танымдық әрекетін дамытып, баланы өзін қоршаған ортаға деген сүйіспеншілікке тәрбиелеу.
Сабақтың барысы:
- I. Ұйымдастыру
Пәнді оқытудың мақсаты — міндеттерін ұғындыру.
- II. Жаңа сабақ мазмұны:
III. А) Жаңа материалды түсіндірмес бүрын сынып бөлмесінен,
ондағы заттарды таныстырып, салыстыру жұмыстары жүргізіледі.
Сыныптың бөлмесі қандай? (Кең).
Терезелері қандай? (Үлкен). Мектептің дәлізі қандай? (Кең, Ұзын). Мектеп үйі ше? (Биік, үлкен), т.с.с.
ә) Оқулықпен жұмыс
- Бала оқулықтағы екі үйді салыстырады. Мұғалім не тәрбиешілерінің сұрақтары арқылы екі үйдің айырмашылықтары айтылады. Екі үйдің біреуі биік әрі үлкен, екіншісі аласа, әрі кіші екендігін; үлкен үйдің бөлмелері тар, дәліздері де ұзын, бірінікі қысқа болуы мүмкін екөндігі анықталады. Үйдің төңірегіндегі ағаштардың көлемі, биіктігі салыстырылады. Шыршалардың биіктігі бірдей немесе олардың біреуі екіншісінөн биігірек, болмаса аласа т.б.
- Оқулық дәптердегі суретте көлік жүретін үлкен көше мен
тротуардың ені ұзындығы қарастырылады. Көше кең. Тротуар тар. - Екі оқушы баланың бойы мен жасы салыстырылады.
Олардың бірі-үлкен, екіншісі — кіші. Үлкенің бойы — кішісінен
(немесе інісінен) биік, інісінің бойы — аласа. Ағасының киімі інісіне кең, інісінікі ағасына тар болатынын сұрақ — жауап арқылы анықтау қажет. Ағасы үлкен доппен, інісі кіші доппен ойнайды. Үлкен доп — футбол, волейбол, баскетбол ойнау үшін қажетті айтылады.
Доптар бір — бірінен үлкенірек, кішірек болатыны, жасалған материалына қарай қатты, жұмсақтығы анықталады. Сондай-ақ, киімдердің ұзын — қысқалығы, кең — тарлығы, үлен кішілігі айтылады. Қылқалам қарындаштардың ұзындықтары салыстырып ажыратылады.
б) ойындар.
Бұл сабақта «Өз үйіңді тап», «Үй тұрғызайық», «Сипаттамасы бойынша тап» деген дидактикалық ойындар ойнау ұсынылады.
в) Дәптермен жұмыс.
Өтілген ұғымдарға сәйкес оқулық дәптөрде берілген тапсырмалар орындалады. Онда торкөзді санап отырып, шыршаларды салып, биіктіктерін салыстыру қажет. Үйлердің қабырғасының еніне қарап кең таралығын анықтап, үзік сызықты бастыра жүргізді. Сол сияқты басқа берілген тапсырмалар осы үлгіні башылыққа алады. Жаңа ұғымдарды меңгертуде дидактикалық материалды, жұмбақ, жаңылтпаш, мақал-мәтелдерді пайдаланып, балалардың танымдық қабілеттерін дамытады.
Қорытынды
Сонымен, бұл сабақта бала өзен қоршаған ортадан, күнделікті тіршілік тынысынан биік — аласа, үлкен — кіші, кең — тар, ұзын — қысқа қатынастарын танып — біліп, заттарды салыстырып, ажыратуды меңгереді.
Сабақтың тақырыбы: Жуан. Жіңішке. Қалың. Жұқа. Жалпақ. Жіңішке.
Сабақтың мақсаты: Балаларды жуан — жіңішке, қалың — жұқа, жалпа — жіңішке ұғымдарымен таныстыру. Ұғымдардың мағынасын түсініп, бір — бірінен ажырата білуге үйрету:
Баланың тілін, ойын, танымдық қабілетін дамыту.
Сабақтың барысы:
- I. Ұйымдастыру .
а)математикалық жұмбақ, жаңылтпаш, мақал-мәтел, санамақтар мен балалардың зейінін пәнге аудару.
ә) сабаққа қажет құрал — жабдықтарды дайындау.
- II. Жаңа сабақ мазмұны:
а) жаңа материалды өткен сабақпен байланыстырып, биіктіктерін салыстырған ағатардың жуандықтарын салыстыратынын қабарлайды.
Ағаш пайдасы, оның қолданылу аясы жайлы әңгімедейді. Ағаш діңдерін салыстырып, жуан -жіңішке ұғымдары мен таныстырады.
ә) Оқулық пен жұмыс.
Оқулық дәптерде берілген суреттердегі екі ағаштың жуандығын салыстырып, қайсысы жіңішке екнін ажыратады. Енді сол ағаш кескінділерінің қалыңдығы салыстырылады. Қайсысы қалың? Қайсысы жұқа? Оны практикалық жолмен, ағаш кескінділерін балалардың қолдарына ұстатып, анықтауға болады. Бірнеше тақтайшаларды салыстырып біреуі -жалпақ, екіншісі жіңішке екендігін анықтайды.
Жеңішке ұғымының жуан сөзіне де, жалпақ сөзіне де қарсы мағыналы сөз екендігі ескеріледі. Ұғымдарды тиянақты мақсатында екі қарындаштың жуандығы, кітап пен дәптердің қалыңдығы, екі сызығыштың жалпақтығы салыстырылады. Тапқышпек тапсырмасындағы балалардың кимдері (қалың-жұқа) үстел бетінің жалпақтағы, аяғының жуандығы салыстырылады.
Дәптермен жұмыс
Дәптерде көрсөтілген үлгідегі үзік сызықпен берілген заттардың суретін бастырып салып, бояйды. Жұмысты орындау кезінде бала, өзі салған заттарды қалыңдығын, жалпақтығын, жуандығын көз мөлшерімен, әрі тор көзбен есептеп жетілдіреді.
Ойындар.
«Өз пәтеріңе жайғас », «Өз үйінді тап», «қапшықтан неше ойыншық алдың?» ойындарын осы ұғымдарды тиянақтауға септігін тигізеді.
Қорытынды.
Сонымен, бұл сабақта жуан-жіңішке, қалың — жүқа, жалпақ -жіңішке ұғымдарын бір-бірінен ажыратып ұғымдарды дүрыс, орынды қолданып, торкөзбен жұмыс жасауға үйренеді.
Сабақтың тақырбы: Жоғарғы. Төмен, Оң жақта. Сол жақта.
Алдында. Артында. Жанында. Астында. Үстінде. Соңында, Арасында. Ішінде. Бірінші. Екінші. Жыл-дам. Баяу.
Сабақтың мақсаты: Балаларды кеңестіктік қатынастармен таныстыру, заттардың өзара орналасуын орнын ажырата білуге үйрету. Балалардың кеңестік туралы ұғымдарын қалыптастыру, танымдық қабілеттерін дамыту. Сабақтың барысы: I. Ұйымдастыру кезеңі.
А) оң, сол, жоғары, төмен ұғымдарына байланысты өлең тақырыптар арқылы бой сөргіту жаттығуын ұйымдастыру.
- II. Жаңа материалдың мазмұны.
А) сабақты мектептің не балабақшаның спорт алаңынан саяхат жасаудан бастаған жөн. Ондағы балалардың іс әрекеті,
Орны жайлы әңгіме жүргізуге болады.
Сондай — ақ, сыныптағы заттардың орналасуы, оларды бір -бірімен салыстырғандағы орны сұрақ — жауап арқылы жүргізіледі.
Оқулықпен жұмыс
Оқулық дәптердегі суретте балалрдың іс-әрекеті мен орындары, доптардың орнына қарап сұрақ-жауап жүргізіліп жоғары, төмен, жанында, алдында, артында, оң жағында, сол жағында ұғымдары мен таныстырылады.
ІІ-суреттегі тұғырға қарап жүгіріп келе жатқан балалардың ретімен атау; бірінші, екінші, үшінші. Балалардың қимылдарына қарай жылдам, баяу екендігі айтылады.
III. Суреттегі ұл бала мен қыз баланың іс әрекетіне қарай
бетінде, үстінде астында ұғымдармен танысады.
«Шалқан» Ертегісінің мазмұны ашылып, мұндағы атасы, апасы, немересі, күшік, мысық, тышқаның орнын ажыратып, арасында, ортасында, соңында ұғымдарын түсінуді тереңдеттеді.
Дәптермен жұмыс.
- Торкөзді салып, бояу.
- Торкөздің оң жағындағысын-қызыл, сол жағындағысын көк
түспен бояу. - Торкөздің жоғарғы жағындағысын — жасыл, төменгі
жағындағысын сары түспен бояу. - Торкөздің оң, сол, жоғарғы, төменгі жағындағыларын әрбір
бала өзіне ұнаған бояуды пайдаланып бояйды. - Дөңгелектерді де өзіңе ұнаған бояумен боя.
- Берілген геометриялық фигуралдарды ретімен салу.
Ойындар.
Жоғарыдағы ұғымдарды меңгерту мақсатында «Орнын тап», «қол соғу», «Қалай жүріп, нені тапқың келеді?» ойындарын пайдалануға болады.
Қорытынды.
Балалар, бұл сабақта заттардың кеңестікте өзара орналасуы мен орнын ажыратып, ұғымдарды дұрыс пайдаланып, торкөзбен нақты танысып, ұқыпты жұмыс жасауға үйренеді.
Сабақтың тақырбы: Көп. Аз. Артық. Кем. Сонша. Теңестіру.
Сабақтың мақсаты: Заттарды санына қарай салыстыру арқылы көп — аз, артық — кем, сонша қатынастарымен таныстыру. Саны бір-бірінен артық — кем заттарды теңестіруге үйрету. Теңестірудің екі жолын практикалық жолмен меңгерту. Сонша, қанша болса, сонша ұғымдарын игерту.
Сабақтың барысы:
I Ұйымдастыру кезеңі
А) Қажетті материалдары дайындау.
Б) «Санамақ» жаттау.
- II. Жаңа материалдардың мазмұны.
А) Сыныптағы парталарды, заттарды, т.б. санау.
ә) Заттардың санының көп-аздығын, тең екендігін анықтау.
Оқулықпен жұмыс
Оқулық дәптердегі сәбіз бен бұрыштың санын салыстыру. Неше сәбіз? (алты), неше бұрыш? (төрт). Сәбіз көп пе, әлдө бұрыш көп не? (сәбіз көп, бұрыш сәбізге қарағанда аз).
Қайсысы артық ? Қайсысы кем? (сәбіз артық, бұрыштың саны кем),
Сәбіздің бұрыштан қаншасы артық? (екеуі). Бұрыштың сәбізден нешеуі кем? (екеуі).
Помидор мен қиярдың санын салыстыр. Помидор-алтау, қияр да алтау. Помидор, қанша болса да, қияр сонша, екеуінің саны бірдей немесе тең.
Сәбіз бен бұрыштың санын қалай теңестіруге болады? Деген сұраққа балалардың ізденіс жұмыс ұйымдастыру керек. Сәбіздің бұрыштан екеуі артық, бұрыштың санын сәбізге теңестіру үшін екі бұрыш кесу немесе бұрыштың санын теңестіру үшін екі сәбізді алу керектігін балалрдың өздеріне тапқызған дұрыс.
Сәбіз бен бұрыштың санын теңестіргенде неше сәбіз болса, сонша бұрыш болады деген ұғымды балалрдың түсініп білгені жөн.
Көкөністердің әрқайсының санын тауып, оны санына қарай тиісті қораптарға салдыру жұмысын жүргіземіз. Мысалы: Төрт памидор оларды төртінші қорапқа салуға болады, т.с.с.
Дәптермен жұмыс
- Геометриялық фгуралардың санын салыстырып, тиісті түспен
бояу. - Геометриялық фигуралардың санын теңестіру.
- Ыдыстардң әрқайсысын өз қақпағын тауып, сызықө арқылы
қосу. - Үшінші қатардағы сұрақ белгісінің орнына әр қатардағы
ыдыстардың сиымдылығы бірдей болса, қандай ыдыс тұратындығын
табу.
Екі торсықтың сиымдылығы бір торсықпен 4 кесеге тең болса, сұрақ белгісінің орынына бір торсықтың суретін салу керектігін балалрдың өздеріне тапқызу керек.
Сабақты «Көп-аз, бір», «Қай қолымда көп» ойындар мен қортындылауға болады.
Қорытынды
Сабақта заттардың саннын қалай салыстыру арқылы олардың бір — бірінен артық -кемін, қайсысының көп — аздығын, оларды теңестіру жолдарын, сонша ұғымның тең деген ұғымымен пара — пар екендігін үйренеді.
Қорытынды.
Бастауыш мектеп математикасында да, орта мөктеп математикасында да қатынас ұғымы жалпы түрде енгізілмейді, тек қана әртүлі обьектілер арасындағы нақты қатынастар қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатынастарға ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа формада жазылған екі айнымалысы бар сөйлем ретінде, таблица толтыру арқылы т.с.с. түрде береді. Қатынастардың көп түрімен бстауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік есептер) шығаруда кездеседі. Мысалы: «Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3 есе артық. Бірінші сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болды. Әрбір сөреде қанша кітап болды» Бұл есепті шығарғанда оқушылар «есе артық», «кем» қатынастарын жақсы білуі керек. Бастауыш сыныпта қатынас ұғымын оқытуды қорытындылай келе:
І.Қатынас ұғымын оқыту балалардың логикалық ой-өрісін дамытады, пәнге дегн қызығушылын арттырады.
- Қатынас ұғымын оқыту балалрдың теориялық алған білімдерін практикада қолдана білуге, шығармашылық дамуына әсер етеді.
- Қатынас ұғымын оқытуды практикада қолдануда балаларды ізденімпаздыққа, төзімділікке баулиды.
Пайдаланылған әдебиеттер
- Бантова М.А. и др. «Методика преподавания математика в
начальных классах». Москва «Просвеицение» 1976ж. - Байдыбекова Е., Ерғазиева Т. «Есептердің практикалық
танымдық жәнө тәрбиелік мәні». Бастауыш мектеп №2.1988ж. - Б.Баймұханов. Математика есептерін шығаруға үйрету.
- білқасымова А.Е., Көбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш Ә.С.
«Математиқаны оқытудың теориясы мен әдістемесі». Алматы
«Білім» 1998ж - А.Б.Жанәділ. «Математика сабақтарын түрлендіріп өткізу».
Бастауыш мектеп №8-9. 1998ж. 41 бет. - Дүйсенбекова «Оқушылардың танымдық әрекеттерін дамыту».
Бастауыш мектеп №10. 1999ж. 27 бет. - Ж.Қайыңбаев. «Математиқаны оқыту ерекшеліктері». Бастауыш
мектеп №5. 1999ж. 9 бөт. - Баймұқанов Б., Мубараков А. «Математиқаны оқытудағы
сабақтастық». Бастауыш мөктеп №1. 2000ж. 25 бет. - Б.М.Қосанов. «Математикадан сыныптан тыс жұмыстарда
оқушыларға экономикалық тәрбие беру». Алматы «Іскер» 1998ж. - Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. Под ред. М. И. Моро, А. М. Пышкало.- М. Педагогика, 1977-208с. 2 Основой методики начального обучения математике. Под. Ред. А.
- С. Пчелко.-М. Просвещение, 1965-375с.
- Амонашвили Ш. А. Как живете, дети? М: Педагогика, 1986-176с.
- Алиева К.С. Қатынастар Шымкент 1995ж.
- Абаляев Р. Н. Сборник задач по арифметике с практическим
содержанием. М: Просвещение, 1960-108с. - Анциферова Л. И. О закономерностях элементарной по
знавательной деятельности. -М: Изд-во АН СССР, 1961-151с. - Аристова Л. П. Активность учения школьников. -М: Просвещение,
1968-139с. - Арнольд И. В. Принцип отбора и составление арифметических
задач \\ Известия АПН РСФСР. — 1946-Вып. б.-с. 7-28. - Асадова Р. Научная организация труда учителя начальных классов.
Ашхабад: Нлым, 1987-286с. - Баранов С. П. Чувственный опыт ребенка в начальном обучени.
М: 1963-144с. - Баранов Г. П. Лабараторные и практические работы VI — VII
классах по геометри \\ математика в школе, 1961, №6 . - Бикбаева Н. У. И др. Математика: Учебник для III класса четырех
летней начальной школы.-Ташкент: Укитувчи, 1991-176с. - Бабавский Ф. К. Оптимизация процесса обучения. М., 1977.
- алл Г,А , О психологическом содержание и пониятие
«задач» Вопрос психологи, 1970, №6 с. 75-85. - Н. Богоявленскии Орфография и творческое письмо . Рускии
язык в школе , 1948, №2 - Богоявленскии Д.Н. Менчинская Н. А Психология усвоения
знании в школе-М.Изд-во АПН РСФСР 1959-347с - Бумашкина Н.Б система развивающих заданий в процесс
обчения. Проблемы методов обучения в современной
общеобразовальнои школе Под ред Ю.К.Бабанского, И. Д.
Эверева, Э.И. Маносаона.-М. Педагогика, 1980-с. 137-143 - Бантона М.А Методика формирования знаний конкретного
смысла арифметических действий . Начальная школа, 1979, №1 - Бантова М.А. К вопросу об оценке усвоения учащимися
теоретических знаний по математике . Начальная школа, 1973, №2 - Грунөр Дж Процесс обучения. — М: Изд-во АПН РСФСР, 1962.
- Л. А. Венгер, В. С. Мухина.Психология. М: Просвещөниөі988-336 с.
- Выгодский Л.С. Умственное развитие детей в процессе обучения
-М . Л., 1935. - Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников.
Под. Ред. Эльконина, В.В Давыдова М. 1962. - Выгодский Л.С Мышление и речь. М.- Л. 1934
- Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы
школы) Под. Ред. Л.Р. Эльконина .М. 1966 - Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М. 1967
- Венгер Л.А. Восприятие и обучение. М. 1969
- Вилькеев Л.В. Применение гипотезы в познавательной
деятельности школьников по проблемам обучения. -Казань,1974- 66 - Выбор методов обучения в средней школе. Под. Ред. Ю.К.
Бабанского . — М: Педагогика, 1981-176с. - Вапняр Н.Ф и др. Тетрадь по математике для 1-класс — М
Просвещение,1981-48 с. - Виленкин Н. Я. О некоторых аспектах преподавания математики в
младших классах. Математика в школе. — 1965 , №1ъ - Виленкин Н.Я. Голубкова Н.И. Математика 1- класс -М НИИ
ОПАПН СССР, 1979-150 с. - Виноградов А. Самарина В. А Формирование понятия о
переместителыности сложения в 1-классе Ученые записи ЛГПИ им.
А.И. Герцина. — 1961-Т. 209 — с 75-90. - Громов М.К. Развитие мышления младшего школьника. — Психология младшего школьника. М. 1960
- Гибш И. А. Принципы, формы и методы обучения математике.
Известия АПН РСФСР . Вып. 92, М. 1958 - Гайбұллаев Н.Р. Практическая направленность обучения матиематике в школе.-Т: Фан — 1987, — 120 с.
- Гайбұллаев Н.Р. Практические занятия как средство повышения
эффективности обучения математике. -Т: Укитувчи: 1979-244 с. - Гайбұллаев Н.Р. , Дырченко И. И. Психология математических
способностей. Т. Укитувчи: 1988. - Гальперин П. Я. Психология мышления и учение о по этапном
формировании умственных действй — В кн. Исследование мышления
в светской психологии — М. Наука, 1966 с 236-27 - Гальперин П.Я Умственные действия как основа формирования
мысли и образа / Вопросы психологии — 1957 — №6 -с.58 - Гальперин П.Я Управление процессом усвоения. / Новые
исследования в педагогических науках — 1965 — Сб. IV -с 15-20 - Галтперин П.Я, Георгиев А.А К вопросу формирования
начальных математических понятий . Доклады АПН РСФСР -160: с
31-36: №-3 37-42: №4 с 49-52: №5-с. 41-44-1961, №1 - Гигиенические рекомендации к организации учебно —
воспитательного процесса к приему детей плостилетнего возраста
в 1 класс школы. М. МП СССР 1985. - Голденберг А.И. Методика начальной арифметики — СББ, 1910-
192 с. - Геркулова О. И др. Типовые рекомендации по организации
работы в подготовительных классах общеобразовательных школ
(подготовка к узечению математики) — М, 1978 — 106 с.
