План
І. Введение
ІІ. Главная часть
- Законы сохранения как следствия законов Ньютона.
а) Закон изменения и сохранение импульса.
б) Закон изменения и сохранение момента импульса.
в) Законы сохранения Ньютоновский механики и свойства
симметрии пространства и времени.
ІІІ. Заключение
- Закон изменения и сохранения механической энергий
Получить законы сохранения как следствия законов Ньютона достаточно просто. Это схема используется и в школьном, и в общем курсах физики. Рассмотрим механическую систему из n взаимодействующих материальных точек во внешнем поле7 Запишем уравнение движения для такой системы – второй закон Ньютона в виде дифференциальных уравнений (8.2)
i=1,2,…,n (15.1)
Где -скорость i-ой частицы;
— внешняя сила, сила действующая на i-ю частицу системы со
стороны внешних, не входящих в систему тел;
— внутренняя сила,сила действующая на i-ю частицу со
стороны других частиц системы;
(15.2)
Внутренние силы взаимодействия между i-ой и j-ой частицами системы удовлетворяет 3-ему закону Ньютона.
(15.3)
Тогда (15.4)
Закон изменения и сохранение импульса.
Просуммируем (1) по всем частицам системы. Меняя местами знаки производной и суммирования, получим
(15.5)
Импульсом частицы называют величину
(15.6)
Тогда величина
(15.7)
дает импульс системы материальных точек.
Используя эти обозначения и условие (4) приведем уравнение (5) к виду
(15.8)
Управление (8) выражает дифференциальную форму теоремы об изменении импульса системы материальных точек: производная по времени импульса системы равна сумм внешних сил, действующих на частицы системы7
Умножив (8) на dt, получим следующую запись данной теоремы
(15,9)
Которую можно сформулировать так: изменение импульса системы материальных точек равно импульсу внешних сил
.
При отсутствии внешних сил, т.е. в замкнутой системе,
(15.10)
и импульс системы не меняется
(15.11)
Иначе говоря, импульс замкнутой системы сохраняется. Это и есть формулировка закона сохранения импульса.
Закон изменения и сохранение момента импульса.
Умножим каждое из уравнений движения (1) векторное слева на — радиус вектор соответствующей частицы. С учетом определения импульса (6) получим
i = 1,2,…,n.
Замечая, дали, что
, (15.12)
Так как коллинеарны перепишем приведенные выше уравнения
i = 1,2,…,n.
Просуммируем эти уравнения
(15.13)
Перепишем первое слагаемое из правой части (13), воспользовались соотношением (2):
.
Законы сохранения Ньютоновский механики и свойства
симметрии пространства и времени.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса замкнутой системы мы получим из уравнения движения Ньютона. Сохранение импульса и момента импульса является следствием 3-го закона Ньютона, а сохранение энергии выполняется только в консервативных системах и в замкнутых системах. Связь законов сохранения механики Ньютона со свойствами симметрии пространства и времени прослеживается в том, что 3-й закон Ньютона справедлив, если пространство однородные и изотропное, а отсутствие зависимости взаимодействия от времени в замкнутой системе следует из однородности времени с
Можно и напрямую показать, что законы сохранения Ньютоновской механики являются следствиями свойств симметрии пространства и времени и получить все результаты предыдущего параграфа.
Проведем подготовительные вычисления. Получим условия, вытекающие из свойств симметрии пространства и времен, которым должна удовлетворять потенциальная энергия замкнутой системы.
В силу однородности и изотропности пространства свойства замкнутой системы не меняются при параллельном переносе и повороте системы как единого целого в пространстве в частности, при таких преобразованиях системы не должна меняться потенциальная энергия замкнутой системы.
Параллельный перенос системы означает, что радиус – векторы всех частиц системы получают одинаковые привращение :
Пусть вектор будет бесконечно малым, тогда изменение потенциальной энергии замкнутой системы при ее параллельном переносе (1) формально можно записать в виде
(16.1)
Но из-за однородности пространства никакого изменнения потенциальной энергии замкнутой системы не должно быть
Так как перенос был, то , значит для замкнутой механической системы
(16.2)
Это и есть требование однородние пространства.
Теперь рассмотрим паворот всей механической системы относительно произвольного направления на некоторый малый угол .
При этом радиус векторы частиц системы меняются на величину (А-3-2).
(16.3)
Такому повороту соответствует преобразование радиус-вектроа
Оценим, какое при этом может произойти изменение потенциальной энергии замкнутой системы.
Циклическая перестановка векторов дает
(16.4)
И опять те, в силу изотропности пространства никаких изменений в потенциальной энергии не должно происходить т.е.
При произвольном этому требованию можно удовлетворить только при
(16.5)
Значит, в изотропном пространстве потенциальная энергия замкнутой системы должна удовлетворять этому условию.
Если время однородные, то в замкнутой системе не должно произойти никаких изменений при преобразовании сдвига во времени
(16.6)
Опять оценим вазможное изменение потенцальной энергии при малых :
Однако, в действительности из – за однородности времени потенциальная энергия замкнутой системы не должна менятся и, чтобы удовлетворить требованию при произвольном , необходимо потребовать
(16.7)
В таком случае
(16.8)
Итак, мы получили три условия (7), (5) и (8) которым должна удовлетворять потенциальная энергия взаимодействия внутри замкнутой системы.
И эти условия диктуются свойствами симметрии пространства и времени. У нас все подготовлено для получения законов сохранения.
Потенциальная энергия замкнутой системы определяет силы, действуюшие между частицами системы. Используя обозначение (6.13) и (6.14) получим силу, действующию на і-ю частицу со стороны остальных частиц системы
(16.9)
Уравнения движения (15.1) для такой замкнутой системы примут вид
і=1,2,…n (16.10)
Просуммируем все уравнения (10)
Но из-за однородности пространства правая часть этого равенства равна нулю (2). Получили закон сохранения.
И сохраняющуюся величину-полной импульс системы.
(16.11)
Итак, сохранение импульса замкнутой механической системы является следствием однородности пространства.
Теперь умножим векторно каждое из уравнений (10) на радиус – векторы соответствующих частиц .
і=1,2,…n
Где -импульс определенной частицы системы .
Преобразуем левую часть этого выражения, используя результат (15.12)., и просуммируем полученные после этого уравнения
И у этого уравнения правая часть равна нулю в соответствии с условием (5) вытекающим из изотропности пространства. По этому должна сохраняться величин
(16.12)
Которая называется моментом импульса механической системы.
Значит, момент импульса замкнутойсистемы сохраняеться в силу изотропности пространства.
Остается разобраться с законам. Сохранения энергии. Умножим уравнения (10) солярно на скорости соответствующих частиц Vі
і=1,2,…n
Левую часть этого равенства привезем к кинетической энергии частицы и просуммируем полученные уравнения.
Величина
— кинетическая энергия системы материальных точек.
При выполнении условия (7), следующего из однородности времени, правая часть этого равенства плавна полной производной по времени от потенциальной энергии (8) в таком случае получим
Это приводит к закону сохранения.
(16.13)
И дает сохраняющуюся величину.
(16.14)
Которая называется механическойэнергией системы.
Таким образом, следствием однородности времени является сохранение механической энергии замкнутой системы.
Литература
К.К. Истеков «Курс тоеритической физики»
